Cuestionario: Introduction à la dérivée et ses applications — 14 preguntas

1. Que mesure principalement la dérivée d’une fonction au voisinage d’un point ?

A. L’aire sous la courbe au voisinage de ce point

B. La variation instantanée de la fonction autour de ce point

C. La valeur moyenne de la fonction sur tout l’intervalle

D. Le nombre de zéros de la fonction dans cet intervalle

Answer: (B)

Explicación

La dérivée mesure la variation instantanée au voisinage d’un point. Le taux moyen correspond plutôt au quotient d’accroissement avant la limite.

2. Dans l’interprétation géométrique, que représente la dérivée en un point ?

A. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point

B. La longueur de la courbe sur un petit intervalle

C. L’ordonnée à l’origine de la courbe en ce point

D. Le point d’intersection avec l’axe des abscisses

Answer: (A)

Explicación

La dérivée au point donne la pente, donc le coefficient directeur de la tangente. Ce n’est ni une ordonnée ni une intersection avec un axe.

3. Quelle est la dérivée de la fonction constante f(x)=k ?

A. x

B. 1

C. k

D. 0

Answer: (D)

Explicación

La dérivée d’une fonction constante est nulle partout. Elle ne dépend pas de x.

4. Quelle formule correspond à la règle de la chaîne pour une composition f(g(x)) ?

A. f'(x)+g'(x)

B. f(g'(x))

C. f'(g(x))·g'(x)

D. f'(x)·g(x)

Answer: (C)

Explicación

La règle de la chaîne donne la dérivée de la fonction extérieure évaluée en g(x), multipliée par g'(x). Les autres propositions oublient un facteur ou mélangent les rôles.

5. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f en x=a ?

A. y=f'(a)(x-a)+f(a)

B. y=f(a)(x-a)+f'(a)

C. y=f(a)+f'(a)x

D. y=f'(x)(a-x)+f(a)

Answer: (A)

Explicación

L’équation de la tangente utilise la pente f'(a) et le point de contact f(a). Elle s’écrit donc y=f'(a)(x-a)+f(a).

6. Que peut-on conclure si f'(x)<0 sur un intervalle ?

A. La fonction est convexe sur cet intervalle

B. La fonction est constante sur cet intervalle

C. La fonction est décroissante sur cet intervalle

D. La fonction admet forcément un maximum

Answer: (C)

Explicación

Un signe négatif de la dérivée indique que la fonction descend. La convexité dépend de f'' et non du signe de f'.

7. Quelle condition est nécessaire pour qu’un point a soit un extremum dans le cadre du cours ?

A. f(a)=0

B. f'(a)=0

C. f''(a)=0

D. f'(a)>0

Answer: (B)

Explicación

Le cours indique que f'(a)=0 est une condition nécessaire pour un extremum. Elle n’est pas suffisante à elle seule, comme le montre l’exemple de x^3.

8. Que permet de conclure le signe de la dérivée seconde ?

A. f''(x)>0 implique une courbe convexe

B. f''(x)=0 implique toujours un maximum

C. f''(x)>0 implique une courbe concave

D. f''(x)<0 implique une tangente horizontale

Answer: (A)

Explicación

Une dérivée seconde positive indique une convexité de la courbe. Une dérivée seconde négative correspond au contraire à une concavité.

9. Quelle approximation locale est utilisée près d’un point a ?

A. f(x)≈f(a)(x-a)+f'(a)

B. f(x)≈f(a)+f''(a)(x-a)

C. f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)

D. f(x)≈f'(a)+f(a)x

Answer: (C)

Explicación

L’approximation affine près de a est donnée par la valeur en a plus la pente multipliée par le déplacement. Elle reprend directement l’idée de la tangente.

10. Quelle est une application citée de l’approximation locale ?

A. Le calcul exact de toutes les primitives

B. La factorisation systématique des polynômes

C. La résolution de toute équation différentielle

D. L’optimisation et la descente de gradient en informatique

Answer: (D)

Explicación

Le cours cite l’optimisation et la descente de gradient parmi les applications de l’approximation locale. Les autres propositions ne correspondent pas aux usages mentionnés.

11. Quelle relation entre continuité et dérivabilité est correcte ?

A. Une fonction continue est toujours dérivable

B. Une fonction non continue peut être dérivable

C. Une fonction dérivable est toujours continue

D. La continuité et la dérivabilité sont équivalentes

Answer: (C)

Explicación

Une fonction dérivable est continue, mais l’inverse est faux. L’exemple de la valeur absolue montre qu’une fonction peut être continue en 0 sans être dérivable en 0.

12. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=e^{x^2} ?

A. x e^{x^2}

B. 2e^{x^2}

C. 2x e^{x^2}

D. e^{2x}

Answer: (C)

Explicación

On applique la règle de chaîne : la dérivée de e^{u} est u' e^{u} avec u=x^2, donc u'=2x. On obtient ainsi 2x e^{x^2}.

13. En dérivant implicitement l’équation x^2+y^2=1, quelle expression obtient-on avant d’isoler y' ?

A. x^2+2y y'=1

B. 2x+y^2=0

C. 2x+2y=0

D. 2x+2y y'=0

Answer: (D)

Explicación

On dérive chaque terme par rapport à x : la dérivée de x^2 est 2x et celle de y^2 est 2y y' par la règle de chaîne. On obtient donc 2x+2y y'=0.

14. Quelle est une primitive de 3x^2 ?

A. x^3+C

B. x^2+C

C. 3x^3+C

D. 3x+C

Answer: (A)

Explicación

Une primitive est une fonction dont la dérivée redonne la fonction de départ. Comme la dérivée de x^3 vaut 3x^2, une primitive de 3x^2 est x^3+C.