Hoja de repaso: Introduction à la trigonométrie et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Origines et développement de la trigonométrie
2. Radian et cercle trigonométrique
3. Enroulement de la droite et tour complet
4. Correspondance degrés et radians
5. Mesure d’un angle orienté et mesure principale
6. Propriétés des angles orientés
7. Cosinus et sinus d’un angle
8. Angles associés et relations trigonométriques
9. Équations trigonométriques cos x et sin x

📖 1. Origines et développement de la trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Tables astronomiques babyloniennes : Les tables astronomiques babyloniennes sont les premières traces de données chiffrées liées à l’observation du ciel, bien avant la trigonométrie formalisée.
• Hipparque de Nicée : Hipparque de Nicée est l’astronome auquel on attribue les premières tables trigonométriques reliant angle au centre et corde interceptée.
• Claude Ptolémée : Claude Ptolémée est l’auteur de l’Almageste, qui reprend les travaux d’Hipparque avec une meilleure précision et introduit des formules.
• Regiomontanus : Regiomontanus est l’astronome et mathématicien présenté comme ayant développé la trigonométrie comme branche indépendante et popularisé le terme sinus.
• François Viète : François Viète est présenté comme ayant fait évoluer la trigonométrie au XVIe siècle vers la forme qu’on connaît aujourd’hui.

📝 Points essentiels

• Les premières traces de tables astronomiques remontent aux babyloniens, environ 2000 ans avant notre ère.
• La trigonométrie est décrite comme une géométrie appliquée à l’étude de l’univers et de l’astronomie.
• Les tables d’Hipparque mettent en correspondance l’angle au centre et la longueur de la corde interceptée.
• L’Almageste de Ptolémée améliore la précision et introduit des premières formules de trigonométrie.
• Regiomontanus développe la trigonométrie comme branche indépendante et serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.
• Au XVIe siècle, Viète fait évoluer la trigonométrie vers le caractère qu’on lui connaît aujourd’hui.

💡 Astuce mémo

Repères chronologiques : Babyloniens (tables) → Hipparque (angle↔corde) → Ptolémée (formules) → Regiomontanus (branche + sinus) → Viète (forme moderne).

📖 2. Radian et cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Le radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur un cercle de rayon 1.
• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé orienté dans le sens direct.
• Sens direct : Le sens direct est le sens positif, défini comme le sens contraire des aiguilles d’une montre.

📝 Points essentiels

• Le radian est défini sur un cercle de centre O et de rayon 1.
• Un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique.
• Le cercle trigonométrique a pour centre O et pour rayon 1.
• Le repère orthonormé est noté avec les vecteurs $\vec i$ et $\vec j$ et le plan est orienté dans le sens direct.
• Le sens trigonométrique (sens direct) correspond au sens contraire des aiguilles d’une montre.

💡 Astuce mémo

Radian = arc de longueur 1 sur un cercle de rayon 1 ; cercle trigonométrique = rayon 1, centre O, sens direct.

📖 3. Enroulement de la droite et tour complet

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite d’enroulement : La droite d’enroulement est la droite orientée associée au cercle trigonométrique pour faire correspondre chaque abscisse à un point du cercle.
• Arc AM : L’arc $AM$ est l’arc du cercle trigonométrique correspondant à la longueur de l’intervalle sur la droite d’enroulement.
• Angle plein : Un angle plein est un tour complet autour du cercle, correspondant à l’angle total $2\pi$ radians.

📝 Points essentiels

• On associe à tout point $N$ d’abscisse $x$ sur la droite orientée un unique point $M$ sur le cercle.
• La longueur de l’arc $AM$ est égale à la longueur $AN$ (correspondance longueur↔arc).
• La longueur du cercle trigonométrique vaut $2\pi$ car son rayon est 1.
• La mesure de l’angle est proportionnelle à la longueur de l’arc intercepté.
• Un angle plein (tour complet) mesure $2\pi$ radians.
• Les enroulements multiples peuvent faire correspondre plusieurs abscisses différentes à un même point du cercle.

💡 Astuce mémo

Tour complet : rayon 1 ⇒ périmètre $2\pi$ ⇒ angle plein $2\pi$ ; enroulement = même point pour des abscisses séparées de $2\pi$.

📖 4. Correspondance degrés et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Correspondance 360° et 2π radians : La correspondance 360° et $2\pi$ radians relie un tour complet en degrés à un tour complet en radians.
• Conversion degrés→radians : La conversion degrés→radians est un calcul par proportionnalité à partir de la relation $360° \leftrightarrow 2\pi$.
• Conversion radians→degrés : La conversion radians→degrés est un calcul par proportionnalité à partir de la relation $2\pi \leftrightarrow 360°$.

📝 Points essentiels

• À $2\pi$ radians (tour complet) correspond $360°$.
• La conversion se fait par proportionnalité entre $2\pi$ et $360°$.
• Exemple : $33°$ correspond à $\alpha=33\times\frac{2\pi}{360}=\frac{11\pi}{60}$.
• Exemple : $\beta=\frac{3\pi}{8}$ rad correspond à $\beta=\frac{3\pi}{8}\times\frac{360}{2\pi}=67{,}5°$.
• Le tableau donne des valeurs repères : $30°\leftrightarrow\frac{\pi}{6}$, $45°\leftrightarrow\frac{\pi}{4}$, $60°\leftrightarrow\frac{\pi}{3}$, $90°\leftrightarrow\frac{\pi}{2}$, $180°\leftrightarrow\pi$, $360°\leftright
• \leftrightarrow 2\pi$.

💡 Astuce mémo

Repère : $180°\leftrightarrow\pi$ ; donc $90°\leftrightarrow\frac{\pi}{2}$, $45°\leftrightarrow\frac{\pi}{4}$, $30°\leftrightarrow\frac{\pi}{6}$.

📖 5. Mesure d’un angle orienté et mesure principale

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure d’un angle orienté : La mesure d’un angle orienté est la différence $y-x$ entre les abscisses des points associés sur la droite d’enroulement.
• Mesures d’un angle orienté : Les mesures d’un angle orienté sont toutes les valeurs obtenues en ajoutant un multiple de $2\pi$ à une mesure donnée.
• Mesure principale : La mesure principale d’un angle orienté est la mesure unique située dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

📝 Points essentiels

• Pour des vecteurs unitaires $\vec u$ et $\vec v$, une mesure de l’angle orienté $\vec u;\vec v$ vaut $y-x$.
• Toutes les mesures d’un angle orienté ont la forme $\alpha+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.
• La différence $y-x$ correspond à l’écart entre les abscisses des points associés au cercle.
• Changer d’enroulement revient à modifier l’abscisse de départ et d’arrivée de multiples de $2\pi$.
• La mesure principale est celle qui appartient à $]-\pi;\pi]$.
• Exemple : pour un angle orienté de mesure $5\pi$, une mesure principale est $\pi$ (car $5\pi-4\pi=\pi$).

💡 Astuce mémo

Angle orienté : $y-x$ ; toutes les mesures : $+2k\pi$ ; mesure principale : ramener dans $]-\pi;\pi]$.

📖 6. Propriétés des angles orientés

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle nul : L’angle nul est l’angle orienté formé par un vecteur non nul avec lui-même, de mesure 0.
• Angle plat : L’angle plat est l’angle orienté formé par un vecteur non nul et son opposé, de mesure $\pi$.
• Relation de Chasles : La relation de Chasles exprime la somme des mesures d’angles orientés enchaînés comme une mesure unique entre le premier et le dernier vecteur.

📝 Points essentiels

• Pour tout vecteur $\vec u$ non nul, $\vec u;\vec u=0$.
• Pour tout vecteur $\vec u$ non nul, $\vec u;-\vec u=\pi$.
• La relation de Chasles s’applique à trois vecteurs non nuls $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$.
• On a $\vec u;\vec v+\vec v;\vec w=\vec u;\vec w$.
• Les propriétés d’angle nul et d’angle plat sont données en termes de vecteurs orientés.
• Les mesures concernées sont des mesures d’angles orientés (donc compatibles avec la notion de sens).

💡 Astuce mémo

Cas limites : même vecteur ⇒ 0 ; vecteur opposé ⇒ $\pi$ ; enchaînement : Chasles = “premier→dernier”.

📖 7. Cosinus et sinus d’un angle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Le cosinus d’un réel $x$ est l’abscisse du point $M$ associé sur le cercle trigonométrique.
• Sinus : Le sinus d’un réel $x$ est l’ordonnée du point $M$ associé sur le cercle trigonométrique.
• Valeurs remarquables : Les valeurs remarquables sont les couples $(\cos x,\sin x)$ donnés pour des angles repères comme $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$.
• Angles associés : Des angles associés sont des angles qui ont des cosinus et des sinus égaux ou opposés.

📝 Points essentiels

• Pour un réel $x$, on associe un point $N$ d’abscisse $x$ sur la droite d’enroulement puis un point $M$ sur le cercle.
• Le cosinus $\cos x$ est l’abscisse de $M$.
• Le sinus $\sin x$ est l’ordonnée de $M$.
• Pour un angle orienté $\vec u;\vec v$ de mesure $x$, on a $\cos(\vec u;\vec v)=\cos x$ et $\sin(\vec u;\vec v)=\sin x$.
• Les bornes sont $-1\le \cos x\le 1$ et $-1\le \sin x\le 1$.
• L’identité fondamentale est $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle : $\cos$ = abscisse, $\sin$ = ordonnée ; et toujours $\cos^2+\sin^2=1$.

📖 8. Angles associés et relations trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Angles associés : Les angles associés sont ceux dont le cosinus et le sinus sont égaux ou opposés, ce qui entraîne des relations de symétrie.
• Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : La symétrie $x\mapsto -x$ correspond à un changement de signe du sinus mais pas du cosinus.
• Symétrie par rapport à l’axe des abscisses : La transformation $x\mapsto \pi-x$ échange les signes de cosinus et de sinus selon les formules données.
• Rotation de $\frac{\pi}{2}$ : La transformation $x\mapsto \frac{\pi}{2}+x$ échange cosinus et sinus avec un changement de signe.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$.
• Pour tout réel $x$, $\cos(\pi+x)=-\cos x$ et $\sin(\pi+x)=-\sin x$.
• Pour tout réel $x$, $\cos(\pi-x)=-\cos x$ et $\sin(\pi-x)=\sin x$.
• Pour tout réel $x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$.
• Pour tout réel $x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$.
• Ces relations proviennent de symétries sur le cercle trigonométrique (démonstrations par symétries).

💡 Astuce mémo

Miroirs : $-x$ ⇒ sinus change de signe ; $\pi+x$ ⇒ cos et sin changent ; $\frac{\pi}{2}\pm x$ ⇒ échange cos/sin avec signe.

📖 9. Équations trigonométriques cos x et sin x

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation $\cos x=\cos a$ : L’équation $\cos x=\cos a$ décrit tous les angles $x$ dont le cosinus coïncide avec celui de $a$.
• Équation $\sin x=\sin a$ : L’équation $\sin x=\sin a$ décrit tous les angles $x$ dont le sinus coïncide avec celui de $a$.
• Solutions par symétrie sur le cercle : Les solutions des équations trigonométriques sont obtenues en repérant sur le cercle les points ayant la même abscisse (pour cos) ou la même ordonnée (pour sin).

📝 Points essentiels

• Si $\cos x=\cos a$, alors les solutions sont $x=a+2k\pi$ et $x=-a+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.
• La justification utilise l’existence de deux points du cercle ayant la même abscisse $\cos a$.
• Si $\sin x=\sin a$, alors les solutions sont $x=a+2k\pi$ et $x=\pi-a+2k\pi$ avec $k$ entier relatif.
• La justification utilise l’existence de deux points du cercle ayant la même ordonnée $\sin a$.
• Exemple : $\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ donne $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$.
• Exemple : $\sin x=-0{,}5$ revient à $\sin x=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, donc $x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$.

💡 Astuce mémo

Cos : solutions symétriques $a$ et $-a$ ; Sin : solutions $a$ et $\pi-a$ (puis $+2k\pi$ partout).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Conversions d’angles repères

Équations cos et sin : forme des solutions

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre radian et degré : $2\pi$ correspond à $360°$, pas à $180°$.
2. Oublier que toutes les mesures d’un angle orienté diffèrent de $2k\pi$.
3. Prendre une mesure principale sans la ramener dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
4. Inverser les formules de symétrie : $\sin(-x)=-\sin x$ mais $\cos(-x)=\cos x$.
5. Pour $\cos x=\cos a$, écrire à tort $\pi-a$ au lieu de $-a$ (et réciproquement pour $\sin x=\sin a$).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir le radian et le cercle trigonométrique (rayon 1, centre O, sens direct).
2. Savoir relier enroulement et arc : associer une abscisse $x$ à un point du cercle et utiliser la proportionnalité arc↔angle.
3. Savoir que l’angle plein vaut $2\pi$ radians et convertir entre degrés et radians par proportionnalité.
4. Savoir calculer une mesure d’angle orienté comme $y-x$ et donner toutes les mesures sous la forme $\alpha+2k\pi$.
5. Savoir déterminer la mesure principale d’un angle orienté en la ramenant dans $]-\pi;\pi]$.
6. Savoir appliquer les propriétés : angle nul ($\vec u;\vec u=0$), angle plat ($\vec u;-\vec u=\pi$) et relation de Chasles.
7. Savoir définir $\cos x$ (abscisse) et $\sin x$ (ordonnée) sur le cercle trigonométrique et utiliser $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.
8. Savoir utiliser les relations trigonométriques pour $-x$, $\pi+x$, $\pi-x$, $\frac{\pi}{2}\pm x$.
9. Savoir résoudre $\cos x=\cos a$ et $\sin x=\sin a$ en donnant les deux familles de solutions avec $+2k\pi$.