Introduction à l'Analyse Mathématique

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels
2. Fonctions
3. Dérivées
4. Intégrales
5. Suites
6. Théorèmes fondamentaux
7. Calcul différentiel
8. Calcul intégral

📖 1. Nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des nombres réels : L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, regroupe tous les nombres pouvant être représentés sur une droite numérique, incluant rationnels et irrationnels.
• Propriétés des nombres réels (ordre, densité) : Les réels sont munis d’un ordre total (pour tout a, b ∈ ℝ, soit a ≤ b, soit b ≤ a) et sont denses (entre deux réels quelconques, il existe un autre réel). AUTEUR (date) : cette propriété est fondamentale pour l’analyse, notamment pour la définition des limites et la continuité.
• Valeur absolue : La valeur absolue |x| d’un réel x est sa distance à 0 sur la droite numérique, définie par |x| = x si x ≥ 0, et |x| = -x si x < 0. Elle vérifie la propriété triangulaire : |x + y| ≤ |x| + |y|.
• Intervalle : Un ensemble de réels compris entre deux bornes. Un intervalle fermé [a, b] inclut ses bornes, un ouvert (a, b) ne les inclut pas, et un semi-ouvert [a, b) ou (a, b] inclut une borne mais pas l’autre.
• Nombre rationnel et irrationnel :
  • Rationnel : tout réel pouvant s’écrire sous la forme p/q avec p, q ∈ ℤ, q ≠ 0.
  • Irrationnel : tout réel qui ne peut pas s’écrire sous cette forme, comme π ou √2. AUTEUR (date) : la densité des rationnels et irrationnels dans ℝ est essentielle pour l’analyse.