Cuestionario: Introduction aux concepts fondamentaux en mathématiques — 24 preguntas

1. Dans la chaîne d’inclusions des ensembles de nombres, quel est l’ordre correct du plus simple au plus général ?

A. ℤ ⊂ ℕ ⊂ ℚ ⊂ 𝔻 ⊂ ℝ

B. ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

C. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ 𝔻 ⊂ ℝ

D. ℕ ⊂ 𝔻 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Answer: (B)

Explicación

L’ordre correct est bien ℕ⊂ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ. Chaque ensemble contient le précédent, des naturels jusqu’aux réels.

2. Que vaut l’amplitude d’un encadrement de la forme a ≤ x ≤ b ?

A. b − a

B. a − b

C. b + a

D. |x|

Answer: (A)

Explicación

L’amplitude d’un encadrement est la différence entre les bornes, donc b−a. Ce n’est pas une valeur liée à x lui-même.

3. Pour une équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0, que permet de déterminer le discriminant Δ ?

A. Le signe de a uniquement

B. Le degré du polynôme

C. Le nombre de solutions réelles

D. La somme des racines uniquement

Answer: (C)

Explicación

Le discriminant sert à savoir combien de solutions réelles l’équation admet. Selon son signe, on obtient deux, une ou aucune solution réelle.

4. Si un système de Cramer vérifie D = 0 et D′ = 0, quelle est sa nature ?

A. Il n’admet aucune solution

B. Il admet exactement deux solutions

C. Il admet une unique solution

D. Il admet une infinité de solutions

Answer: (D)

Explicación

Dans le cas D=0 et D′=0, le système a une infinité de solutions. L’unicité nécessite au contraire D ≠ 0.

5. Quelle identité correspond à la formule de cosinus d’une somme ?

A. cos(a+b)=cos a cos b + sin a sin b

B. cos(a+b)=cos a cos b − sin a sin b

C. cos(a+b)=sin a cos b + cos a sin b

D. cos(a+b)=2cos a cos b

Answer: (B)

Explicación

La formule correcte est cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b. Le signe « − » est essentiel et distingue cette identité de celle du cosinus d’une différence.

6. Quelle expression est égale à sin(2x) ?

A. sin²x − cos²x

B. 2sin x cos x

C. 1 − 2sin²x

D. 2cos²x − 1

Answer: (B)

Explicación

La formule du double angle donne sin(2x)=2sin x cos x. Les autres propositions correspondent à des formes de cos(2x).

7. Quelle limite en 0 est égale à a pour tout réel a ?

A. lim_{x→0} (sin(ax))/x

B. lim_{x→0} (cos(ax))/x

C. lim_{x→0} (cos(ax)−1)/x

D. lim_{x→0} (tan(ax))/x²

Answer: (A)

Explicación

On a bien lim_{x→0} sin(ax)/x = a. C’est une limite usuelle fondamentale des fonctions trigonométriques près de 0.

8. Quelle conclusion peut-on tirer si, sur un intervalle à partir d’un certain rang, f(x) ≤ g(x) et lim_{x→+∞} g(x) = +∞ ?

A. On ne peut rien conclure

B. f(x) tend vers une valeur finie

C. f(x) tend vers +∞

D. f(x) tend vers −∞

Answer: (C)

Explicación

Si f est minorée par une fonction qui tend vers +∞, alors f tend aussi vers +∞. C’est un principe de comparaison à l’infini.

9. Quand une fonction est-elle continue sur [a,b] ?

A. Si elle est monotone sur [a,b]

B. Si elle est continue à droite en a et à gauche en b, et sur ]a,b[

C. Si elle est continue sur ]a,b[ seulement

D. Si elle admet des dérivées à droite et à gauche en a et b

Answer: (B)

Explicación

La continuité sur [a,b] exige la continuité sur l’intervalle ouvert, plus la continuité à droite en a et à gauche en b. Les dérivées ne sont pas nécessaires.

10. Quelle fonction est continue sur tout ℝ ?

A. x ↦ 1/x

B. x ↦ √x

C. x ↦ sin x

D. x ↦ tan x

Answer: (C)

Explicación

La fonction sinus est continue sur tout ℝ. En revanche, 1/x et tan x ne sont pas définies partout, et √x n’est continue que sur [0,+∞[.

11. Quelle relation caractérise le nombre dérivé d’une fonction en un point a lorsque le taux d’accroissement admet une limite finie ?

A. La dérivée seconde de f en a

B. La variation de f entre a et a+1

C. La valeur de \(f(a)\) divisée par a

D. La limite de \((f(x)-f(a))/(x-a)\) quand \(x\to a\)

Answer: (D)

Explicación

Le nombre dérivé en a est précisément la limite du taux d’accroissement quand elle existe et est finie. Les autres propositions ne définissent pas la dérivée.

12. Si une fonction f est dérivable en a et si f'(a) est non nul, quelle est la dérivée de sa fonction réciproque en b=f(a) ?

A. \(f'(a)\)

B. \(1/f'(a)\)

C. \(-f'(a)\)

D. \(1/f(a)\)

Answer: (B)

Explicación

La dérivée de la réciproque en b vaut l’inverse de la pente : \((f^{-1})'(b)=1/f'(a)\). Cela n’est valable que si \(f'(a)\neq 0\).

13. Quelle condition permet d’affirmer que la droite x=a est une asymptote verticale à la courbe d’une fonction ?

A. La fonction admet une tangente horizontale en a

B. La fonction admet une limite finie en a

C. La fonction tend vers ±∞ quand x tend vers a

D. La fonction est continue en a

Answer: (C)

Explicación

Une asymptote verticale apparaît lorsque la fonction diverge vers \(\pm\infty\) au voisinage de \(a\). Une limite finie exclut cette situation.

14. Comment étudie-t-on la position d’une courbe par rapport à une droite d’équation y=ax+b sur un intervalle ?

A. En cherchant le point où f(x)=a

B. En étudiant le signe de f(x)-(ax+b)

C. En comparant les valeurs de f à 0

D. En calculant seulement la dérivée seconde de f

Answer: (B)

Explicación

La position relative de la courbe et de la droite se lit sur le signe de \(f(x)-(ax+b)\). Un signe positif ou négatif indique si la courbe est au-dessus ou au-dessous de la droite.

15. Quelle propriété garantit qu’une suite croissante est convergente ?

A. Être arithmétique

B. Être croissante et strictement positive

C. Être croissante et majorée

D. Être bornée inférieurement seulement

Answer: (C)

Explicación

Toute suite croissante et majorée converge. La majoration est indispensable : une suite croissante seule peut diverger vers +∞.

16. Si F est une primitive de f sur un intervalle I, comment s’écrivent toutes les primitives de f sur I ?

A. F(x)²+k

B. F(x-k)

C. F(x)+k, avec k réel

D. k·F(x), avec k réel

Answer: (C)

Explicación

Toutes les primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante additive. On écrit donc \(F(x)+k\) avec \(k\in\mathbb R\).

17. Quelle est la dérivée de la fonction ln|u(x)| lorsque u est dérivable et ne s’annule pas ?

A. \(u(x)/u'(x)\)

B. \(\ln(u'(x))\)

C. \(1/u(x)^2\)

D. \(u'(x)/u(x)\)

Answer: (D)

Explicación

On a \((\ln|u(x)|)'=u'(x)/u(x)\) dès que u est dérivable et ne s’annule pas. Le signe de u importe peu grâce à la valeur absolue.

18. Quelle identité d’Euler relie l’exponentielle complexe à cosinus et sinus ?

A. \(e^{i\theta}=\cos\theta-\sin\theta\)

B. \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

C. \(e^{i\theta}=\sin\theta+i\cos\theta\)

D. \(e^{\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

Answer: (B)

Explicación

La formule d’Euler est \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\). Elle permet d’écrire un nombre complexe de module 1 sous forme trigonométrique.

19. Quelle forme générale admet la solution d’une équation différentielle y'+ay=b avec a≠0 ?

A. \(y(x)=\frac{a}{b}+kx\)

B. \(y(x)=ke^{ax}\)

C. \(y(x)=be^{-x}+a\)

D. \(y(x)=\frac{b}{a}+ke^{-ax}\)

Answer: (D)

Explicación

Les solutions de \(y'+ay=b\) s’écrivent comme une constante particulière \(b/a\) plus une solution de l’équation homogène \(ke^{-ax}\). C’est la forme donnée pour ce type d’équation linéaire du premier ordre.

20. Pour une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants, quelle forme prennent les solutions lorsque l’équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées p±iq ?

A. e^{px}(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx))

B. (\alpha+\beta x)e^{px}

C. \alpha e^{r_1 x}+\beta e^{r_2 x}

D. \alpha\cos(px)+\beta\sin(qx)

Answer: (A)

Explicación

Quand les racines de l’équation caractéristique sont complexes conjuguées p±iq, les solutions réelles s’écrivent sous la forme exponentielle-trigonométrique e^{px}(\alpha\cos(qx)+\beta\sin(qx)). La forme (\alpha+\beta x)e^{px} correspond au cas de racine double réelle.

21. Quelle est la forme générale des solutions de l’équation différentielle y' + a y = b, avec a ≠ 0 ?

A. y(x) = k e^{ax} + b

B. y(x) = \frac{b}{a} + kx e^{-ax}

C. y(x) = \frac{b}{a} + k e^{-ax}

D. y(x) = k e^{-bx} + a

Answer: (C)

Explicación

Pour une équation linéaire du premier ordre y' + ay = b, les solutions s’écrivent comme la solution particulière constante b/a, plus la solution de l’équation homogène k e^{-ax}. Les autres formes ne respectent pas la structure générale donnée.

22. Dans un repère orthonormé, quelle formule donne la distance d’un point Ω au plan d’équation ax + by + cz + d = 0 ?

A. d(Ω,(P)) = |a xΩ + b yΩ + c zΩ + d| / √(a² + b² + c²)

B. d(Ω,(P)) = √(a² + b² + c²) / |a xΩ + b yΩ + c zΩ + d|

C. d(Ω,(P)) = |a xΩ + b yΩ + c zΩ + d| / (a² + b² + c²)

D. d(Ω,(P)) = a xΩ + b yΩ + c zΩ + d

Answer: (A)

Explicación

La distance d’un point à un plan est la valeur absolue de l’expression du plan évaluée en ce point, divisée par la norme du vecteur normal. Les autres expressions oublient la valeur absolue, inversent le quotient ou confondent distance et équation du plan.

23. Dans un repère orthonormé, quelle forme a l’équation cartésienne d’un plan et que représente son triplet de coefficients ?

A. x^2 + y^2 + z^2 = 0, avec (a,b,c) vecteur normal au plan

B. ax + by + cz + d = 0, avec (a,b,c) vecteur normal au plan

C. ax + by + cz = d, avec (a,b,c) vecteur tangent au plan

D. ax + by + cz + d = 1, avec (a,b,c) vecteur directeur du plan

Answer: (B)

Explicación

Un plan s’écrit ax+by+cz+d=0 et le vecteur (a,b,c) est normal au plan. Les autres propositions confondent la forme de l’équation et la nature du vecteur associé.

24. Quelle relation donne l’aire d’un triangle ABC à partir du produit vectoriel de deux côtés ?

A. \|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\|

B. \frac{\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|}{4}

C. \frac12\,\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|

D. \|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\|

Answer: (C)

Explicación

L’aire du triangle ABC vaut la moitié de celle du parallélogramme construit sur AB et AC, donc \frac12\|AB\wedge AC\|. Le produit scalaire mesure plutôt un angle, pas une aire.