Espace vectoriel : Un ensemble E muni de deux opérations, une interne + : E × E → E, et une externe · : K × E → E, où K est un corps (R ou C), tel que le triplet (E, +, ·) vérifie huit axiomes précis. Ces axiomes garantissent que l’ensemble possède une structure algébrique permettant de faire des opérations de combinaison linéaire.
Opération interne : La loi + qui associe à deux vecteurs u et v de E un vecteur u + v dans E. Elle doit être associative et commutative, et admettre un vecteur nul et un opposé pour chaque vecteur.
Opération externe : La loi · qui associe à un scalaire λ de K et un vecteur u de E un vecteur λ · u dans E. Elle doit respecter la distributivité à gauche et à droite, l’associativité avec la multiplication scalaire, et l’existence d’un élément neutre (1 · u = u).
Vecteur nul : Élément unique 0E dans E tel que, pour tout u dans E, u + 0E = u. Il sert de référence pour définir l’opposé d’un vecteur.
Opposé d’un vecteur : Pour chaque u dans E, un vecteur v tel que u + v = 0E. Il est unique et permet de réaliser des opérations de soustraction.
1. Quel est le rôle principal de la définition d’un espace vectoriel ?
2. Quel est l'auteur du concept d'exemples d'espaces Rn et Cn comme espaces vectoriels?
3. Au cours de quelle période la notion formelle de sous-espace vectoriel a-t-elle été principalement stabilisée dans la littérature mathématique?
Espace vectoriel — définition ?
Ensemble avec addition et multiplication scalaires respectant 8 axiomes.
Exemples Rn et Cn
Vecteurs n-uplets réels ou complexes, avec opérations coordonnées usuelles.
Sous-espace — propriété clé ?
Stable par addition, multiplication scalaire, contient 0E.
Intersection de sous-espaces — propriété ?
Toujours un sous-espace vectoriel.
Somme de sous-espaces — définition ?
Ensemble des sommes u+v avec u dans F, v dans G.
Sous-espace engendré — définition ?
L’ensemble de toutes combinaisons linéaires d’une famille de vecteurs.
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