Hoja de repaso: Introduction aux fonctions en 3ème

1. 📌 L'essentiel

• Définition : fonction est une relation associant chaque réel $x$ à un seul réel $f(x)$.
• Domaine : ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est défini.
• Image : ensemble des valeurs possibles de $f(x)$.
• Représentation graphique : courbe dans un repère $(O, i, j)$.
• Fonction linéaire : $f(x) = ax + b$, avec $a, b \in \mathbb{R}$.
• Fonction quadratique : $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$.
• Variations : $f$ est croissante si $f'(x) > 0$, décroissante si $f'(x) < 0$.
• Symétries : fonction paire si $f(-x) = f(x)$, impaire si $f(-x) = -f(x)$.
• Résolution : trouver $x$ tel que $f(x) = y$.
• La maîtrise de ces concepts permet de modéliser et résoudre des problèmes concrets.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Domaine de définition — ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini.
• Image — ensemble des $f(x)$ pour $x$ dans le domaine.
• Représentation graphique — courbe dans un repère cartésien.
• Fonction linéaire — droite, $f(x) = ax + b$, caractérisée par sa pente $a$ et son ordonnée à l’origine $b$.
• Fonction quadratique — parabole, $f(x) = ax^2 + bx + c$, caractérisée par son sommet, son ouverture.
• Variations — déterminées par la dérivée $f'(x)$.
• Symétries — fonction paire ou impaire.
• Résolution d’équations — méthode graphique ou algébrique pour $f(x) = y$.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

• La fonction associe chaque $x$ à un seul $f(x)$, relation univoque.
• Le domaine $D_f$ délimite les $x$ admissibles.
• La courbe graphique visualise la relation et ses variations.
• La pente $a$ dans $f(x) = ax + b$ indique la croissance ou décroissance.
• La dérivée $f'(x)$ indique la tendance de $f$ : croissante si positive, décroissante si négative.
• La parabole a un sommet, un axe de symétrie, sens d’ouverture selon $a$.
• La symétrie influence la forme du graphique (paire ou impaire).
• La résolution d’une équation $f(x) = y$ peut se faire graphiquement ou algébriquement.
• La variation de $f$ dépend de $f'(x)$, qui est la pente en chaque point.

4. Tableau synthétique

Élément	Caractéristiques clés	Notes / Différences
Fonction	$f : x \mapsto y$, relation univoque	Associant un seul $y$ à chaque $x$
Domaine	Ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini	Noté $D_f$
Image	Ensemble des $f(x)$ pour $x \in D_f$	Noté $f(D_f)$
Représentation graphique	Courbe dans un repère $(O, i, j)$	Visualise la fonction
Fonction linéaire	$f(x) = ax + b$, droite, pente $a$, ordonnée à l’origine $b$	Croît si $a > 0$, décroît si $a < 0$
Fonction quadratique	$f(x) = ax^2 + bx + c$, parabole, sommet, ouverture selon $a$	$a > 0$ : parabole vers le haut, $a < 0$ : vers le bas
Variations	$f'(x) > 0$ croissante, $f'(x) < 0$ décroissante	Déterminé par dérivée
Symétries	$f$ paire si $f(-x) = f(x)$, impaire si $f(-x) = -f(x)$	Vérification par substitution
Résolution d’équation	$f(x) = y$, solutions selon la forme de $f$	Graphique ou algébrique

5. Diagramme hiérarchique ASCII

Fonction
 ├─ Définition : x ↦ y
 ├─ Domaine : D_f
 ├─ Image : f(D_f)
 ├─ Représentation graphique
 ├─ Types
 │   ├─ Linéaire : ax + b
 │   ├─ Quadratique : ax^2 + bx + c
 │   └─ Affine : linéaire + constante
 ├─ Propriétés
 │   ├─ Variations (croissance/décroissance)
 │   ├─ Symétries (paire, impaire)
 │   └─ Résolution d’équations

6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

• Confondre fonction paire et impaire.
• Confondre la pente $a$ positive ou négative.
• Oublier que la fonction quadratique a un sommet.
• Confondre domaine et image.
• Négliger l’importance de la dérivée pour les variations.
• Confondre graphique de la fonction et ses solutions.
• Confondre fonction affine et linéaire (avec ou sans constante).
• Oublier que $f'(x)$ indique la croissance ou décroissance.
• Confondre symétrie paire et impaire avec la forme graphique.
• Résoudre une équation sans étudier la fonction ou son graphique.

7. ✅ Checklist Examen Final

• Savoir définir une fonction et donner sa notation.
• Identifier le domaine et l’image d’une fonction.
• Représenter graphiquement une fonction donnée.
• Reconnaître une fonction linéaire, affine ou quadratique.
• Calculer la dérivée pour analyser les variations.
• Déterminer si une fonction est paire ou impaire.
• Résoudre une équation $f(x) = y$ graphiquement ou algébriquement.
• Savoir tracer la courbe d’une parabole et identifier son sommet.
• Comprendre la relation entre la dérivée et la sens de variation.
• Maîtriser la classification des fonctions par leur forme.
• Identifier la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite.
• Vérifier la symétrie d’une fonction par substitution.
• Analyser le sens d’ouverture d’une parabole selon $a$.
• Utiliser le tableau de variations pour décrire le comportement d’une fonction.
• Savoir distinguer une fonction linéaire d’une fonction affine.
• Être capable de résoudre une équation en utilisant la représentation graphique ou l’algèbre.
• Comprendre l’impact de la dérivée sur la croissance ou décroissance.
• Anticiper les pièges liés à la confusion entre domaine, image, et graphique.
• Savoir utiliser la formule de la dérivée pour analyser les variations.