Hoja de repaso: Introduction aux fonctions et équations

📋 Plan du Cours

1. Rappels sur le second degré
2. Dérivabilité et réciproque d’une fonction
3. Généralités sur les fonctions
4. Fonctions logarithme népérien et exponentielle
5. Nombres complexes et similitudes directes
6. Primitives, calcul intégral et équations différentielles
7. Dénombrement et probabilités

📖 1. Rappels sur le second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une expression de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Discriminant : Le discriminant est le réel $\Delta=b^2-4ac$ qui détermine le nombre et la nature des racines du trinôme.
• Factorisation du trinôme : La factorisation du trinôme consiste à écrire $f(x)$ comme produit de facteurs linéaires à partir de ses racines.
• Tableau de signe : Un tableau de signe indique le signe de $f(x)$ sur les intervalles séparés par ses racines.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, donc l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$.
• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0=\dfrac{-b}{2a}$, donc l’équation admet une unique solution réelle $x_0$.
• Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution dans $\mathbb{R}$.
• Pour le signe quand $\Delta>0$ et en supposant $x_1<x_2$, le trinôme a le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe de $-a$ entre $x_1$ et $x_2$.
• Pour le signe quand $\Delta=0$, $f(x)$ a le signe de $a$ sauf en $x_0$ où il s’annule ; quand $\Delta<0$, $f(x)$ garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ décide : $+$ deux racines, $0$ racine double, $-$ aucune racine réelle.

📖 2. Dérivabilité et réciproque d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réciproque : Une fonction réciproque échange les rôles des entrées et des sorties d’une fonction bijective, ce qui permet de résoudre des équations sous la forme inverse.
• Ensemble de définition : L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs autorisées pour la variable, sur lequel les expressions et la réciproque ont un sens.
• Dérivabilité en un point : Une fonction est dérivable en un point si sa limite du taux d’accroissement existe en ce point, ce qui donne une valeur de dérivée.
• Dérivée de la réciproque : La dérivée de la réciproque se relie à celle de la fonction initiale via une formule utilisant la dérivée en l’antécédent.

📝 Points essentiels

• Si une fonction g est une restriction de f sur un intervalle où g est bijective, alors g^{-1} existe sur l’image de cet intervalle.
• Pour que g^{-1} soit dérivable en un point y, il faut que g soit dérivable en x=g^{-1}(y) et que g'(x) soit non nul.
• L’équation g^{-1}(x)=e se résout en cherchant le réel y tel que g(e)=x, ou plus directement en remplaçant x par g(e) selon la définition de la réciproque.
• Dans les exercices, l’ensemble de dérivabilité de g^{-1} se déduit de celui de g en retirant les points où g n’est pas dérivable ou où g'(x)=0.
• Pour étudier la dérivabilité en 0 d’une fonction définie par morceaux, on compare les dérivées à gauche et à droite et on vérifie qu’elles coïncident pour conclure à la dérivabilité.

💡 Astuce mémo

Réciproque : bijection d’abord, puis dérivabilité seulement là où la pente de g n’est pas nulle (g'(x)≠0).

📖 3. Généralités sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive d’une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F'(x)=f(x) pour tout x de I.
• Intégrale définie : L’intégrale définie de f de a à b est le nombre réel ∫_a^b f(x)dx égal à F(b)−F(a) où F est une primitive de f sur l’intervalle.
• Fonction intégrale : La fonction intégrale de f est la fonction ϕ définie par ϕ(x)=∫_a^x f(t)dt, qui est une primitive de f et s’annule en a.
• Équation différentielle : Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction et où interviennent cette fonction et ses dérivées.

📝 Points essentiels

• Si f est continue sur un intervalle I, elle admet une infinité de primitives sur I.
• Toutes les primitives de f sur I diffèrent d’une constante : si F est une primitive, alors les autres sont F+k.
• Pour tout (x0,y0) avec x0∈I, il existe une unique primitive F0 de f telle que F0(x0)=y0.
• Si u et v sont dérivables et si v est dérivable sur un intervalle contenant u(I), alors la fonction composée u'(v(u)) admet une primitive donnée par v comme dans la règle de composition du cours.
• ∫_a^b f(x)dx existe dès que f est continue sur [a;b] (ou sur [b;a]) et vaut F(b)−F(a).
• Si f est positive sur [a;b], ∫_a^b f(x)dx représente l’aire sous la courbe ; si f est négative, −∫_a^b f(x)dx est cette aire.

💡 Astuce mémo

Primitive = “dériver pour retomber sur f” : F' = f ; Intégrale = “différence de primitives” : ∫_a^b f = F(b)−F(a).

📖 4. Fonctions logarithme népérien et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Fonction qui associe à tout réel strictement positif un nombre réel, noté $\ln(x)$, tel que $e^{\ln(x)}=x$.
• Exponentielle : Fonction qui associe à tout réel $x$ le nombre $e^x$, toujours strictement positif, et réciproque du logarithme népérien sur $]0,+\infty[$.
• Fonction $\ln(1+x)$ : Fonction définie pour $x>-1$ qui apparaît fréquemment dans les primitives et dans les études de dérivées.
• Fonction $\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| : Fonction utilisant un logarithme de valeur absolue, définie sur les réels où l’expression à l’intérieur n’est pas nulle et où elle est définie.

📝 Points essentiels

• Pour tout $x>0$, on a $\ln(x)=y \iff x=e^y$, ce qui permet de passer d’une équation en $\ln$ à une équation en exponentielle.
• La dérivée du logarithme népérien vérifie $\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$ pour $x>0$, et sert directement au calcul de dérivées de formes $\ln(\text{expression})$.
• La dérivée de l’exponentielle vérifie $\frac{d}{dx}e^x=e^x$, ce qui simplifie les équations différentielles où $e^x$ apparaît.
• Pour $x\ge 0$, la fonction $\ln(1+x)$ est définie et son comportement est exploité via des limites et des dérivées dans les problèmes.
• Dans les expressions de type $\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|$, le domaine exclut les valeurs qui annulent $x-1$ et impose que le quotient soit défini (et non nul si on veut un logarithme).

💡 Astuce mémo

Réciproque : $\ln$ “défait” $e^x$ et $e^x$ “défait” $\ln(x)$ : $e^{\ln(x)}=x$ (pour $x>0$) et $\ln(e^x)=x$.

📖 5. Nombres complexes et similitudes directes

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : L’affixe est le nombre complexe associé à un point du plan, permettant de traduire des propriétés géométriques par des calculs sur ℂ.
• Cercle de diamètre : Un cercle de diamètre est l’ensemble des points dont l’angle droit est porté par le segment reliant deux points donnés.
• Argument : L’argument d’un nombre complexe est l’angle (modulo $2\pi$) entre l’axe réel positif et le vecteur représentant le complexe.
• Similitude directe : Une similitude directe est une transformation qui conserve les angles orientés et multiplie les distances par un même facteur positif.

📝 Points essentiels

• Comparer $-i$ et $(\frac{\sqrt3-i}{2})^3$ revient à calculer leurs valeurs dans ℂ puis conclure par égalité ou non.
• Résoudre $z^3-1=0$ consiste à trouver les racines cubiques de $1$ dans ℂ.
• Résoudre $z^3=-i$ revient à déterminer les trois racines cubiques du complexe $-i$.
• Pour $\frac{z-i}{z-1}$ imaginaire pur, l’ensemble des points $M(z)$ est un cercle de diamètre $[AB]$ privé d’un point selon le cas proposé.
• Dans le cas $A(1)$ et $B(i)$, la bonne proposition parmi a), b), c), d) dépend de quel point est exclu par la condition $\frac{z-i}{z-1}\in i\mathbb{R}$.
• Pour $U_{n+2}=\frac32U_{n+1}-\frac12U_n$, poser $V_n=U_{n+1}-U_n$ permet de tester si $(V_n)$ est constante, arithmétique, géométrique ou divergente selon la relation obtenue.

💡 Astuce mémo

Imaginaire pur : $\frac{z-i}{z-1}\in i\mathbb{R}$ ⇒ géométrie de cercle (diamètre $[AB]$) avec exclusion d’un point.

📖 6. Primitives, calcul intégral et équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation logarithmique : Équation où l’inconnue apparaît à l’intérieur de fonctions logarithmes, résolue en imposant d’abord les conditions de définition puis en remplaçant $\ln x$ par une variable.
• Méthode de Horner : Méthode de factorisation d’un polynôme qui permet de déterminer rapidement un quotient $Q(X)$ et de résoudre $P(X)=0$.
• Changement de variable $X=\ln x$ : Substitution qui transforme une équation ou inéquation en une condition algébrique sur $X$, plus simple à résoudre.
• Résolution d’une équation exponentielle : Technique consistant à remplacer des expressions exponentielles par une variable (souvent $X=e^x$) pour obtenir une équation polynomiale.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation du type $\ln x = a$, on obtient directement $x=e^a$ en respectant $x>0$.
• Pour une inéquation $\ln A-\ln B\ge 0$, on impose d’abord $A>0$ et $B>0$, puis on utilise $\ln A\ge \ln B\iff A\ge B$.
• Pour une équation $\ln\big(\frac{x+1}{x-1}\big)\le 0$, on impose $\frac{x+1}{x-1}>0$ puis $\ln\big(\frac{x+1}{x-1}\big)\le 0\iff \frac{x+1}{x-1}\le 1$.
• Pour une équation exponentielle $e^{2-x}=e^{x-2}$, on remplace par une condition sur $x$ (ici $2-x=x-2$) puis on résout l’équation obtenue.
• Pour une équation du type $e^{x}-2e^{-x}=-1$, on pose $X=e^x$ afin d’obtenir une équation du second degré en $X$, puis on rejette les solutions incompatibles avec $X=e^x>0$.
• Pour une équation polynomiale $P(X)=0$ factorisée via Horner, on détermine $Q(X)$ puis on résout les facteurs (ici $X=-2$ ou $X=1$), avant de revenir à $X=\ln x$.

💡 Astuce mémo

Pense à la chaîne : conditions de définition (positivité) → substitution ($X=\ln x$ ou $X=e^x$) → résolution algébrique → retour à $x$ (avec $x>0$ ou $X>0$).

📖 7. Dénombrement et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : Une combinaison compte des choix sans ordre, donc deux choix contenant les mêmes éléments sont considérés identiques.
• Arrangement : Un arrangement compte des choix avec ordre, donc changer l’ordre des éléments produit un résultat différent.
• p-liste : Une p-liste compte des choix avec ordre et répétitions autorisées, ce qui permet qu’un même élément apparaisse plusieurs fois.
• Principe multiplicatif : Le principe multiplicatif permet de multiplier les nombres de choix successifs quand chaque choix ne dépend pas des précédents.

📝 Points essentiels

• Un bureau sans cumul et avec 3 postes précis correspond à une combinaison de 3 éléments parmi 10, donc C10^3 = 120.
• Un bureau avec 3 postes précis et sans cumul correspond à un arrangement de 3 éléments parmi 10, donc A10^3 = 720.
• Un bureau avec 3 postes précis et cumul autorisé correspond à une p-liste de 3 éléments parmi 10, donc 10^3 = 1000.
• Pour un podium (1er, 2e, 3e) sans cumul sur 8 athlètes, le nombre est A8^3 = 336.
• Pour une main de 5 cartes (combinaison) avec 2 valets : C4^2 × C28^3 = 19656.
• Pour une main avec plus de 2 dames : C4^3 × C28^2 + C4^4 × C28^1 = 1540 (principe additif).

💡 Astuce mémo

Ordre ? Répétition ? Sans ordre→combinaison ; ordre→arrangement ; ordre + répétition→p-liste.

📊 Tableaux de synthèse

Second degré : discriminant et solutions

Condition sur Δ	Forme factorisée	Solutions réelles
Δ>0	a(x-x1)(x-x2)	deux solutions réelles x1 et x2
Δ=0	a(x-x0)^2	une unique solution réelle x0
Δ<0	—	aucune solution dans ℝ

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le signe du trinôme avec le signe de a : pour Δ>0, le signe est celui de a à l’extérieur des racines et celui de −a entre x1 et x2.
2. Oublier les conditions de définition avant de résoudre une équation logarithmique : ln(x) impose x>0 et ln((x+1)/(x-1)) impose le quotient défini et >0 selon l’inéquation.
3. Penser que la réciproque est dérivable partout : pour g^{-1}, il faut g dérivable en x=g^{-1}(y) et g'(x)≠0.
4. Pour une fonction définie par morceaux, conclure à la dérivabilité sans comparer dérivées à gauche et à droite au point de raccord.
5. Dans les limites, traiter une forme indéterminée sans transformation : par exemple 0·∞ ou 0/0 nécessite une réécriture (conjugué, factorisation, etc.).
6. Mélanger p-liste, arrangement et combinaison : répétition autorisée ⇒ p-liste, ordre compté ⇒ arrangement, simultané ⇒ combinaison.
7. En dénombrement, oublier que “au moins” et “au plus” changent l’inégalité : “au moins un” se traite souvent par complémentaire “pas de”.

✅ Checklist Examen

1. Second degré : calculer Δ=b^2-4ac puis donner la factorisation et le nombre/nature des solutions selon Δ>0, Δ=0, Δ<0.
2. Second degré : établir le tableau de signe du trinôme à partir des racines (ou de x0 en Δ=0) et lire les solutions d’une inéquation.
3. Factorisation de polynôme : utiliser la notion de racine P(a)=0 et, si besoin, la méthode de Horner pour déterminer le quotient.
4. Valeur absolue : résoudre |f|=|g| via f=g ou f=−g, et résoudre |f|≤a ou |f|≥a en traduisant en inégalités sur f.
5. Fonctions logarithme/exponentielle : imposer les conditions de définition, puis résoudre en remplaçant ln par e^ et en respectant les domaines.
6. Dérivées : appliquer d/dx ln(x)=1/x (x>0) et d/dx e^x=e^x, puis enchaîner avec la règle de composition pour ln(u(x)) et e^{u(x)}.
7. Réciproque : vérifier bijectivité sur l’intervalle, déterminer l’ensemble de définition de g^{-1}, puis utiliser la formule (g^{-1})'(y)=1/g'(x) avec x=g^{-1}(y).
8. Continuité/dérivabilité en un point : vérifier lim_{x→x0}f(x)=f(x0) et, pour la dérivabilité, comparer dérivées à gauche et à droite (ou conclure non dérivable si elles diffèrent).
9. Suites : reconnaître monotone/bornée/convergente, et utiliser les résultats “croissante majorée” et “décroissante minorée”, puis suites arithmétiques/géométriques.
10. Suites : pour une suite définie par récurrence U_{n+1}=f(U_n), résoudre f(x)=x pour trouver la limite éventuelle.
11. Primitives/intégrales : construire une primitive F avec F'=f, utiliser ∫_a^b f=F(b)−F(a), et interpréter l’aire si f garde un signe.
12. Intégration : appliquer Chasles, linéarité, et intégrer par parties ∫u'v=[uv]_a^b−∫uv'.
13. Équations différentielles : résoudre ay'+by=0 et ay''+by'+cy=0 via l’équation caractéristique (racines réelles distinctes, racine double, ou complexes conjuguées).
14. Dénombrement : identifier p-liste/arrangement/combinaison selon ordre et répétition, puis utiliser principe multiplicatif/additif et formules C_n^p, A_n^p, n!.