Hoja de repaso: Introduction aux fonctions et équations fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Ensembles, nombres et intervalles
2. Puissances, racines et calcul littéral
3. Développement et factorisation
4. Fonctions affines et quadratiques
5. Équations polynomiales et racines
6. Fonctions polynomiales de degré supérieur
7. Équations rationnelles, irrationnelles et logarithmes
8. Inéquations et étude des signes
9. Trigonométrie et vecteurs
10. Plans, fonctions et optimisation

📖 1. Ensembles, nombres et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Un ensemble est une collection d’éléments, notée entre accolades, dont la taille s’appelle la cardinalité.
• Sous-ensemble : Un sous-ensemble est une partie d’un ensemble E, notée ⊂, et l’ensemble vide ∅ ne contient aucun élément.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un quotient a/b de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul, et il a une écriture décimale finie ou périodique.
• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de réels décrits avec des bornes, avec des crochets pour l’inclusion et des parenthèses pour l’exclusion.

📝 Points essentiels

• L’appartenance s’écrit x ∈ E (resp. x ∉ E), et les quantificateurs s’écrivent ∀x ∈ E et ∃x ∈ E.
• Si A ⊂ B, alors tout élément de A est dans B, et l’ensemble vide est noté ∅.
• Un rationnel a/b n’a pas de sens si b = 0, et deux fractions sont égales ssi a·d = b·c (produit en croix).
• Une fraction est simplifiée en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre non nul, et une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée.
• Addition/soustraction de fractions : on met au même dénominateur commun (ppcm) puis on additionne/soustrait les numérateurs, et la division vérifie a/b ÷ c/d = a·d/(b·c).
• Ordre des opérations : d’abord parenthèses, puis puissances et racines, puis multiplications/divisions, puis additions/soustractions.

💡 Astuce mémo

Mémo ordre des opérations : Parenthèses → Puissances/Racines → Multiplications/Divisions → Additions/Soustractions (PP-MD-AS).

📖 2. Puissances, racines et calcul littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Une puissance entière $a^n$ est la multiplication de $a$ par lui-même $n$ fois, avec $n$ entier strictement positif.
• Exposant négatif : Un exposant négatif encode l’inverse, car $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ pour $a\neq 0$.
• Racine nième : La racine nième $\sqrt[n]{a}$ est le nombre réel positif $c$ tel que $c^n=a$ (pour $n\in\mathbb{N}^*$).
• Notation scientifique : La notation scientifique écrit un réel $c$ sous la forme $\pm a\cdot 10^n$ avec $1\le a<10$ et $n\in\mathbb{Z}$.
• Expression algébrique : Une expression algébrique (ou littérale) est une suite d’opérations utilisant des nombres et des lettres qui symbolisent des valeurs.

📝 Points essentiels

• Pour $n,m\in\mathbb{Z}$ et $a,b\in\mathbb{R}^*$, on a notamment $a^0=1$, $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ et $(ab)^n=a^n b^n$.
• Pour $a\neq 0$ et $n\in\mathbb{Z}$, on a aussi $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$, et donc $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ quand $b\neq 0$.
• Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on définit $\sqrt[n]{a}$ comme l’opération réciproque de la puissance nième, avec $\sqrt[n]{a}=c$ équivaut à $c^n=a$ (et $c>0$).
• Les racines paires d’un nombre négatif ne sont pas définies dans les réels : si $a<0$, alors $\sqrt{a}$, $\sqrt[4]{a}$, etc. n’existent pas.
• En notation scientifique, tout réel s’écrit sous la forme $\pm a\cdot 10^n$ avec $1\le a<10$, ce qui regroupe la magnitude dans $10^n$.
• En calcul littéral, une variable représente une valeur quelconque alors qu’une constante représente un nombre fixé, et un monôme est un coefficient multiplié par des variables élevées à des puissances tandis qu’un…

💡 Astuce mémo

Exposant négatif = inverse : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📖 3. Développement et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Un polynôme est une somme de monômes, où chaque monôme est un produit de puissances de variables avec un coefficient.
• Monômes semblables : Des monômes sont semblables s’ils ont exactement les mêmes parties littérales, ce qui permet de regrouper et additionner leurs coefficients.
• Développement : Développer un produit consiste à appliquer la distributivité pour transformer le produit en une somme de monômes.
• Factorisation : Factoriser un polynôme consiste à l’écrire comme un produit de polynômes et/ou de monômes.
• Identités remarquables : Les identités remarquables sont des égalités algébriques reconnaissables qui permettent de passer d’une forme à une autre, notamment pour factoriser.

📝 Points essentiels

• Addition de polynômes : on regroupe les monômes semblables et on additionne leurs coefficients en conservant la même partie littérale.
• Soustraction de polynômes : $P-Q=P+(-1)\cdot Q$, puis on applique la distributivité pour combiner les monômes semblables.
• Multiplication de polynômes : on effectue tous les produits croisés entre monômes puis on additionne pour obtenir une somme de monômes.
• Mise en évidence : si $ab+ac=a(b+c)$, on peut factoriser un facteur commun en le faisant ressortir des termes concernés.
• Identités remarquables à savoir reconnaître : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$.
• Exemple-clé : $t^2-10t+25=(t-5)^2$ grâce à $(a-b)^2$ ; en revanche $3t+5$ et $x^2+1$ ne sont pas factorisables en produit de polynômes du cours (sur les nombres réels).

💡 Astuce mémo

Reconnaître les formes : carré $(a\pm b)^2$ et différence de carrés $(a+b)(a-b)$ (ces deux-là “font ressortir” directement des facteurs).

📖 4. Fonctions affines et quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a$ non nul, dont l’allure correspond à une droite.
• Fonction quadratique : Une fonction quadratique est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$ non nul, dont le graphe est une parabole.

📝 Points essentiels

• Pour une inéquation portant sur un polynôme du 1er degré, isoler $x$ suffit pour obtenir l’ensemble solution.
• Pour une inéquation sur un polynôme du 2e degré, on cherche d’abord ses zéros (intersections avec l’axe des abscisses) où le signe peut changer.
• Si $f(x)$ du 2e degré est factorisée sous la forme $(x-r_1)(x-r_2)$, l’étude du signe se fait en combinant le signe de chaque facteur sur les intervalles séparés par $r_1$ et $r_2$.
• Dans le cas $x^2-x-2 eq?0$ : $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, ses zéros sont $-1$ et $2$, et on obtient une solution par lecture du tableau de signes en respectant $>$, $<$, $\ge$ ou $\le$.
• Pour une inéquation du 2e degré de type $f(x)\ge 0$ ou $f(x)\le 0$, la continuité de la parabole impose que le signe ne change qu’aux zéros (hors valeurs interdites si le contexte en introduit).
• Pour une inéquation quadratique stricte (ex. $x^2-x-2>0$), les zéros sont exclus, tandis que pour $\ge$/$\le$ ils sont inclus.

💡 Astuce mémo

AffinE: isoler $x$. QuadrAtique: zéros → factoriser → tableau de signes (entre deux zéros, le signe reste constant).

📖 5. Équations polynomiales et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines d’un polynôme : Les racines d’un polynôme sont les valeurs de l’inconnue qui annulent le polynôme et vérifient donc l’équation associée.
• Factorisation en facteurs : La factorisation en facteurs consiste à réécrire un polynôme comme produit de facteurs, ce qui simplifie la recherche des valeurs annulantes.
• Égalité de produit : L’égalité de produit relie une équation factorisée de type (expression) · (expression) = 0 à des conditions sur chaque facteur.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du cours, après substitution on obtient l’équation factorisée (x + 2)(x − 1) = 0, donc x ∈ S = {−2; 1}.
• Pour trouver l’autre inconnue (y) il faut réinjecter chaque valeur de x dans une des équations du système.
• Toute valeur trouvée doit être vérifiée dans le système original pour s’assurer qu’elle correspond bien à un couple solution.

💡 Astuce mémo

Produit nul : si (A)(B)=0, alors A=0 ou B=0 (et on teste la réinjection pour trouver toutes les autres inconnues).

📖 6. Fonctions polynomiales de degré supérieur

📖 7. Équations rationnelles, irrationnelles et logarithmes

📖 8. Inéquations et étude des signes

📖 9. Trigonométrie et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Conversion radians degrés : Une conversion radians–degrés relie une mesure angulaire exprimée en radians à sa valeur en degrés via le facteur $\pi/180$.
• Longueur d’arc : La longueur d’arc correspond à la distance parcourue sur un cercle pour un angle central, avec la relation $l=r\,\theta$ quand $\theta$ est en radians.
• Vecteur vitesse : Un vecteur vitesse décrit une direction et une norme, et permet de modéliser un déplacement soumis à un courant.
• Décomposition vectorielle : La décomposition d’un vecteur en composantes revient à donner ses projections sur les axes $x$ et $y$.

📝 Points essentiels

• Le radian correspond à l’angle pour lequel la longueur d’arc vaut le rayon : si $l=r\,\theta$ alors $\theta=l/r$ en radians.
• Pour convertir $\theta$ de degrés en radians, on utilise $\theta_{rad}=\theta_{deg}\,\pi/180$ (et inversement $\theta_{deg}=\theta_{rad}\,180/\pi$).
• Le couple vitesse résultante avec courant se fait en addition vectorielle : la vitesse sur l’eau et le courant se somment pour donner la vitesse réelle sur la trajectoire.
• Sur l’axe des abscisses positif, un vecteur de norme $\|\vec u\|=15$ fait un angle $\theta$ tel que ses composantes sont $u_1=15\cos\theta$ et $u_2=15\sin\theta$ (avec $\theta$ en degrés).
• Dans le modèle “cap par rapport au nord”, l’angle $\varphi$ est l’angle entre la direction nord et la vitesse résultante (vitesse sur l’eau + courant).

💡 Astuce mémo

Reste simple : $\theta$ en radians → $l=r\theta$ ; vecteurs → somme des composantes, cap = angle de la résultante.

📖 10. Plans, fonctions et optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : Une fonction dérivée associe à chaque $x$ de l’intervalle la pente de la tangente à la courbe de la fonction d’origine au point correspondant.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en $x_0$ est la limite du taux d’accroissement $\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ quand $\Delta x\to 0$ et s’il existe.
• Point critique : Un point critique est un $x_0$ où la dérivée vaut $0$, et où l’on doit vérifier si la fonction atteint un maximum ou un minimum.
• Problème d’optimisation : Un problème d’optimisation consiste à modéliser une situation afin de trouver une valeur maximale ou minimale d’une quantité en fonction de variables.

📝 Points essentiels

• La pente de la tangente en $(x_0,f(x_0))$ vaut $p_T=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ quand cette limite existe.
• La dérivabilité en $x_0$ impose que la limite donnant la pente soit la même pour $\Delta x>0$ et $\Delta x<0$ au voisinage de $0$.
• Si $f'(x_0)=0$ et que $f'$ passe de $+$ à $-$ au voisinage de $x_0$, alors $f$ admet un maximum en $x_0$.
• Si $f'(x_0)=0$ et que $f'$ passe de $-$ à $+$ au voisinage de $x_0$, alors $f$ admet un minimum en $x_0$.
• Un point critique n’est pas forcément un extremum : il faut que la dérivée change de signe autour de ce point.
• Pour résoudre un problème d’optimisation : exprimer la quantité $Q$ à optimiser, relier les variables par des équations (si $n$ variables alors $n-1$ équations), réduire à une seule variable, puis chercher les extrema…

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ : + puis − ⇒ maximum ; − puis + ⇒ minimum.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
2009	Monographies de la Commission Romande de Mathématique, Société Suisse des Professeurs de Mathématique et de Physique : Notions élémentaires, 2009
1986	Monographies de la Commission Romande de Mathématique : Algèbre, 1986
2011	Monographies de la Commission Romande de Mathématique : Géométrique vectorielle et analytique plane, 2011

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre x∈E et x⊂E : x est un élément d’un ensemble, tandis que ⊂ décrit une relation entre ensembles.
2. Simplifier une fraction avec un mauvais nombre : il faut diviser numérateur et dénominateur par le même nombre non nul (ou multiplier les deux), sans toucher au signe isolé seulement.
3. Pour les racines, oublier que dans R les racines paires de nombres négatifs n’existent pas (ex. √a, √[4]{a} si a<0).
4. Rater l’ordre des opérations : parenthèses → puissances/racines → multiplications/divisions → additions/soustractions (PP-MD-AS).
5. En inéquations polynomiales, inclure/exclure les zéros selon le signe demandé : strict (>) exclut, large (≥) inclut.
6. Dans une équation avec racine, élever au carré peut créer des solutions parasites : il faut toujours vérifier dans l’équation de départ.
7. Éviter de diviser une équation polynomiale par x : le cours précise que 0 peut être une solution (ex. méthode de mise en évidence).

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire et utiliser ensembles/sous-ensembles : ∅, ⊂, et quantificateurs ∀x∈E, ∃x∈E, avec appartenance x∈E / x∉E.
2. Savoir caractériser Q : fraction a/b avec b≠0, égalité par produit en croix, simplification et opérations sur fractions (ppcm, +/−, ×, ÷).
3. Savoir appliquer l’ordre des opérations et les règles sur puissances/racines : a^0=1, a^n·a^m=a^{n+m}, a^{-n}=1/a^n, (ab)^n=a^n b^n, racine nième comme inverse de la puissance.
4. Savoir gérer le calcul littéral : distinguer variable/constante, regrouper les monômes semblables, et utiliser la distributivité pour développer/factoriser.
5. Savoir reconnaître et utiliser les identités remarquables : (a+b)^2, (a−b)^2, (a+b)(a−b), (x+a)(x+b), et savoir “mettre en évidence” un facteur commun.
6. Savoir résoudre une équation de degré 1 en isolant x et distinguer les cas : aucune solution S=∅ et solution indéfinie S=R.
7. Savoir résoudre une équation du degré 2 : zéros via règle de Viète (discriminant) et/ou factorisation, puis résoudre en respectant x±, ≥/≤ si l’on passe à des inéquations.
8. Savoir résoudre les équations rationnelles : domaine de définition, mise sous forme P(x)/Q(x)=0, annuler le numérateur, puis éliminer les solutions hors domaine.
9. Savoir résoudre avec racines : isoler la racine, élever au carré, puis vérifier les solutions dans l’équation de départ pour éliminer les parasites.
10. Savoir résoudre une inéquation : chercher zéros, factoriser si possible, faire le tableau de signes, et conclure avec les intervalles en tenant compte des valeurs interdites.
11. Savoir trigonométrie et angles : radians↔degrés, longueur d’arc l=r·θ, et résoudre triangle rectangle via sin/cos/tan + inverses sin^{-1}, cos^{-1}, tan^{-1} (mode radians/degrés).
12. Savoir vecteurs : norme par Pythagore, addition/soustraction, produit scalaire ⃗a·⃗b=‖⃗a‖‖⃗b‖cos(θ) et critères orthogonalité/angle.
13. Savoir produit vectoriel : norme ‖⃗a∧⃗b‖=‖⃗a‖‖⃗b‖sin(θ), règle de la main droite, et expression cartésienne avec composantes.
14. Savoir dérivée/optimisation : pentes tangente via limite, dérivée f'(x), extrema par points critiques (f'(x0)=0 et changement de signe), et méthode d’optimisation (exprimer Q puis contraintes, réduire, chercher extrema).