Hoja de repaso: Introduction aux fonctions et lecture graphique

📋 Plan du Cours

1. Lecture graphique d’une température
2. Définition et vocabulaire des fonctions
3. Représentations d’une fonction
4. Équations et inéquations graphiques
5. Taux de variation et sécantes
6. Variations et monotonicité

📖 1. Lecture graphique d’une température

🔑 Notions clés & Définitions

• Température en fonction du temps : Une fonction peut modéliser la température selon l’heure, en associant à chaque heure sa valeur de température.
• Abscisse horaire : L’abscisse représente l’heure de la journée dans le repère de la courbe.
• Ordonnée température : L’ordonnée représente la température mesurée associée à l’heure correspondante.

📝 Points essentiels

• La valeur de la fonction en une heure donnée se lit sur l’ordonnée du point de la courbe correspondant à cette abscisse.
• Résoudre l’équation f(x)=k graphiquement revient à lire les abscisses des points d’intersection avec la droite y=k.
• Résoudre l’inéquation f(x)≥k (ou f(x)<k) revient à relever les abscisses où la courbe est au-dessus (ou sous) la droite y=k, sur l’intervalle étudié.

💡 Astuce mémo

Abscisse = quand, ordonnée = combien.

📖 2. Définition et vocabulaire des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque valeur d’entrée un unique nombre réel en sortie.
• Ensemble de définition : L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée pour lesquelles la fonction est définie.
• Image : L’image est le nombre réel obtenu quand on remplace la variable par une valeur d’entrée.
• Antécédent : Un antécédent est une valeur d’entrée dont l’image vaut une valeur donnée.

📝 Points essentiels

• Définir une fonction de D vers ℝ revient à associer à tout x de D un UNIQUE réel noté f(x.
• Le réel x est la variable, tandis que f(x) est l’image de x par la fonction.
• Un réel a est un antécédent de y si et seulement si f(a)=y.
• On peut noter aussi f : x ↦ y pour exprimer l’association entre entrée et sortie.

💡 Astuce mémo

Définition = qui est autorisé en entrée, Image/Antécédent = qui sort et d’où ça vient.

📖 3. Représentations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule : Une représentation par formule donne la fonction via une expression de calcul reliant f(x) à x.
• Tableau de valeurs : Une représentation par tableau liste des couples (x, f(x)) pour certaines valeurs de x.
• Courbe représentative : Une courbe représentative est l’ensemble des points M(x,y) tels que y=f(x) dans un repère.
• Équation de la courbe : L’équation de la courbe est l’égalité reliant y et x qui traduit le fait que y vaut f(x).

📝 Points essentiels

• Pour construire une courbe représentative, on fait un tableau de valeurs, on place les points, puis on relie de façon fluide sans suivre une règle comme une suite de segments.
• La courbe de la fonction f correspond à l’ensemble des points M(x;y) avec x dans l’ensemble de définition et y=f(x).
• À partir d’une courbe, on peut lire des images (en prenant des x) et des antécédents (en cherchant des y).
• Dans un modèle physique, l’ensemble de définition peut être un intervalle lié à la positivité d’une grandeur comme le temps.

💡 Astuce mémo

3 étapes : Calculer, Placer, Tracer (puis “lire”).

📖 4. Équations et inéquations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation graphique : Une équation graphique correspond à trouver les abscisses où la courbe satisfait une égalité du type f(x)=k.
• Inéquation graphique : Une inéquation graphique consiste à repérer sur quels x la courbe est au-dessus, en dessous ou sur une droite d’ordonnée fixée.
• Droite y = k : La droite y=k sert de référence pour comparer la courbe à une valeur cible k.
• Signe de la fonction : Le signe de f(x) décrit si f(x) est positif, nul ou négatif selon la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• Résoudre f(x)=k graphiquement revient à tracer y=k puis lire les abscisses des points d’intersection avec la courbe.
• Pour résoudre une inéquation, on repère les points situés en dessous ou au-dessus de la droite y=k puis on retient l’ensemble des abscisses sur l’intervalle demandé.
• Le signe est lu par rapport à l’axe des abscisses : au-dessus signifie positif, en dessous signifie négatif, intersection signifie nul.
• Sur un intervalle, le tableau de signes synthétise les valeurs où f(x) est positive, nulle ou négative.

💡 Astuce mémo

Égalité = coupe ; inégalité = zone (au-dessus/au-dessous) ; signe = position par rapport à l’axe x.

📖 5. Taux de variation et sécantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation mesure le changement moyen de la fonction entre deux abscisses, via un quotient de différences.
• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement est un autre nom du taux de variation entre deux valeurs de la variable.
• Sécante : La sécante est la droite passant par deux points distincts de la courbe, utilisée pour relier le taux de variation à une pente.
• Pente de la sécante : La pente de la droite joignant (a,f(a)) et (b,f(b)) correspond au taux de variation entre a et b.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation de f entre a et b (a≠b) vaut (f(b)−f(a))/(b−a).
• Pour une fonction affine f(x)=mx+p, le taux de variation entre a et b est m, donc indépendant de a et b.
• Le taux de variation correspond à la pente de la sécante reliant les deux points (a,f(a)) et (b,f(b)).
• La vitesse moyenne entre t1 et t2 s’écrit comme un taux de variation de la distance par rapport au temps : d(t2)−d(t1) sur t2−t1.

💡 Astuce mémo

Taux de variation = pente (sécante) : plus c’est pentu, plus ça change vite.

📖 6. Variations et monotonicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissante stricte : Une fonction est strictement croissante sur un intervalle si des entrées plus grandes donnent des sorties plus grandes.
• Décroissante stricte : Une fonction est strictement décroissante sur un intervalle si des entrées plus grandes donnent des sorties plus petites.
• Constante : Une fonction est constante sur un intervalle si toutes ses valeurs de sortie sont identiques pour tout x de cet intervalle.
• Monotonie : La monotonie regroupe les comportements croissant, décroissant ou constant selon les définitions strictes ou simples.

📝 Points essentiels

• f est strictement croissante sur I si pour tous a<b dans I on a f(a)<f(b).
• f est strictement décroissante sur I si pour tous a<b dans I on a f(a)>f(b).
• f est strictement constante sur I s’il existe k tel que f(x)=k pour tout x de I.
• Pour déterminer le sens de variation à partir du signe du taux de variation : τ(a,b)>0 implique croissante, τ(a,b)<0 implique décroissante, et τ(a,b)=0 implique constante sur l’intervalle étudié.

💡 Astuce mémo

Croissance ⇔ f(a)<f(b) (et décroissance inverse) ; constante ⇔ f(a)=f(b).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre abscisse et ordonnée : lire une température avec l’heure changera totalement l’interprétation de f(x).
2. Résoudre une équation sans utiliser l’intersection avec la droite y=k : confondre “couper” et “être au-dessus” mène à des erreurs de solutions.
3. Prendre le signe de f(x) sans regarder la position par rapport à l’axe des abscisses : au-dessus correspond à positif, en dessous à négatif, sur l’axe à nul.
4. Oublier que le taux de variation utilise le quotient (f(b)−f(a))/(b−a) et donc échanger a et b change le signe.
5. Croire qu’une fonction affine peut avoir un taux de variation dépendant de a et b : il reste égal à m.
6. Dire “croissante” en gardant une définition “stricte” ou inversement : strict impose une inégalité stricte entre f(a) et f(b).

✅ Checklist Examen

1. Savoir interpréter une lecture graphique : heure en abscisse et température en ordonnée, puis formuler la phrase réponse.
2. Savoir traduire graphiquement une question “à quelle heure la température vaut k” en équation f(x)=k.
3. Savoir traduire graphiquement “la température est au moins k” en inéquation et déterminer les abscisses sur l’intervalle donné.
4. Savoir donner la définition d’une fonction comme association à chaque entrée d’une unique sortie.
5. Savoir distinguer variable (x), ensemble de définition (D), image (f(x)) et antécédent.
6. Savoir reconnaître qu’une représentation peut être une formule, un tableau de valeurs ou une courbe représentative.
7. Savoir écrire la définition de la courbe représentative comme points M(x,y) avec y=f(x).
8. Savoir résoudre graphiquement une équation f(x)=k en lisant les abscisses des intersections avec y=k.
9. Savoir résoudre graphiquement une inéquation f(x)≥k ou f(x)<k en repérant la zone au-dessus ou au-dessous de y=k.
10. Savoir calculer le taux de variation τ(a,b)=(f(b)−f(a))/(b−a) et relier ce nombre à la pente de la sécante.
11. Savoir utiliser le cas affine f(x)=mx+p : le taux de variation vaut m.
12. Savoir déterminer le sens de variation (croissante, décroissante, constante) à partir des comparaisons f(a) vs f(b) ou du signe du taux de variation.