Hoja de repaso: Introduction aux fonctions et suites fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Second degré
2. Suites numériques
3. Suites géométriques
4. Dérivation et tangentes
5. Probabilités conditionnelles
6. Variables aléatoires
7. Applications de la dérivation
8. Fonction exponentielle
9. Droites et cercles

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme : Un trinôme est une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par $A(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit $A(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$ qui détermine le nombre et la nature des solutions de $A(x)=0$.
• Racines : Les racines sont les valeurs de $x$ qui vérifient l’équation $A(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole admet un minimum atteint en $x=\alpha$ et sa valeur vaut $\beta$, tandis que si $a<0$ elle admet un maximum en $x=\alpha$ et vaut $\beta$ aussi.
• Pour tout trinôme, $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)= -\dfrac{\Delta}{4a}$, ce qui permet d’obtenir la forme canonique rapidement.
• Si $\Delta<0$, alors $A(x)=0$ n’a pas de solution réelle, et $A(x)$ reste toujours du signe de $a$.
• Si $\Delta=0$, alors $A(x)=0$ admet une unique solution réelle $x_0=\alpha$, et $A(x)=a(x-\alpha)^2$.
• Si $\Delta>0$, alors $A(x)=0$ admet deux solutions $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $A(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta>0$, on a aussi $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$, et le signe de $A(x)$ suit celui de $a$ à l’extérieur de $x_1$ et $x_2$.

💡 Astuce mémo

$\Delta=b^2-4ac$ : $-$ pas de racine réelle, $0$ racine double, $+$ deux racines et factorisation en $a(x-x_1)(x-x_2)$.

📖 2. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb N$ et qui associe à chaque entier $n$ un terme noté $u_n$ (ou $u(n)$).
• Terme d’indice n : Le terme d’indice $n$ d’une suite $u$ est la valeur $u(n)$, aussi notée $u_n$, obtenue pour l’entier naturel $n$.
• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe une raison réelle $r$ telle que $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n\in\mathbb N$.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison $r$ d’une suite arithmétique est le nombre réel ajouté à chaque passage de $u_n$ à $u_{n+1}$.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe une raison réelle $q$ telle que $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout $n\in\mathbb N$.

📝 Points essentiels

• Si $u$ est arithmétique de raison $r$, alors $u_n=u_p+(n-p)r$ et en particulier $u_n=u_0+nr$.
• Une suite est croissante à partir de l’indice $p$ si pour tout $n>p$, $u_{n+1}>u_n$, et décroissante si pour tout $n>p$, $u_{n+1}\le u_n$.
• Si $u$ est arithmétique, alors la somme $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n\in\mathbb N^*$.
• Si $u$ est géométrique de raison $q$, alors $u_n=u_p\,q^{n-p}$ et en particulier $u_n=u_0\,q^n$.
• Si $q\ne 1$, alors $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour tout $n\in\mathbb N$.
• Une suite géométrique (ou arithmétique) reste identifiée par l’existence d’une relation de passage entre $u_{n+1}$ et $u_n$ en multipliant (ou ajoutant) toujours le même réel.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = +r, Géométrique = ×q.

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Raison q : La raison q d’une suite géométrique est le nombre réel qui multiplie un terme pour donner le terme suivant.
• Somme géométrique : La somme géométrique est la somme des termes d’une suite géométrique, calculable avec une formule fermée quand la raison est différente de 1.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique de raison q vérifie pour tout n, u_{n+1}=q\times u_n avec q non nul.
• Si (u_n) est géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p, u_n=u_p\times q^{n-p}.
• En particulier, pour tout n, u_n=u_0\times q^n.
• Si q\neq 1, alors pour tout entier naturel n, la somme 1+q+q^2+\cdots+q^n vaut (1-q^{n+1})/(1-q).

💡 Astuce mémo

GÉO = même multiplicateur : u_{n+1}=q,u_n, donc u_n=u_0,q^n.

📖 4. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement mesure l’évolution de f entre a et a+h en calculant le quotient des variations par h.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0, si cette limite existe.
• Tangente : La tangente en a est la droite passant par A(a ; f(a)) dont le coefficient directeur vaut f'(a).
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x le nombre dérivé f'(x) lorsque f est dérivable sur son ensemble de définition.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en a signifie que \u007f\u007f\u007flim\u007fh\u21920\u00a0\u007e\u00a0\u007f\u007f\u007ff(a+h)-f(a)\u007f\u007e\u007f existe comme réel et définit f'(a).
• Si f est dérivable en a, l’équation de la tangente au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Pour $k\u00a0\u2208\u00a0\u211d$, la dérivation est linéaire : $(k\,u)'=k\,u'$ et $(u+v)'=u'+v'$.
• Règle de produit : $(u\,v)'=u'v+v'u$, et règle de quotient : $(u/v)'=(u'v-v'u)/v^2$ quand $v\u2260 0$.
• Formules usuelles : $(x^2)'=2x$, $(x^n)'=n x^{n-1}$ (n entier), $(1/x)'=-1/x^2$, $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ et $(e^x)'=e^x$.
• La tangente parallèle à l’axe des abscisses correspond à un coefficient directeur nul, donc à $f'(a)=0$.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement puis h→0 : f'(a) = pente limite de la tangente.

📖 5. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité sachant A : La probabilité sachant A mesure la chance que B se produise en supposant que A est réalisé, avec $P(A)\neq 0$.
• Indépendance d’événements : Deux événements indépendants gardent la même probabilité conditionnelle : la réalisation de l’un ne modifie pas celle de l’autre.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré représente la décomposition d’un événement par étapes, avec des branches associées à des probabilités.
• Partition de l’univers : Une partition de l’univers décompose l’espace en événements incompatibles dont la réunion vaut tout l’univers.

📝 Points essentiels

• Pour $P(A)\neq 0$, la probabilité conditionnelle vérifie $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ et donc $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, et comme conséquence $P_A(B)=P(B)$ quand $P(A)\neq 0$.
• Avec une partition $(E_i)$ de l’univers, on additionne les probabilités des chemins menant à $D$ : $P(D)=\sum_i P(E_i\cap D)=\sum_i P(E_i)\times P_{E_i}(D)$.
• Dans l’exercice urne (2 blanches, 3 noires), $P(B_2\mid N_1)=\dfrac12$.
• Dans l’exercice urne, $P(B_1\cap B_2)=0{,}1$, donc $P(B_2)=0{,}4$ et $P(B_1\cup B_2)=0{,}7$.
• Pour une répétition indépendante, la probabilité d’un couple d’issues est le produit des probabilités des issues, par exemple $P(e_3,e_1)=p_3\times p_1$.

💡 Astuce mémo

Intersection = P(A) × probabilité sachant A : $P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)$.

📖 6. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque issue d’une expérience aléatoire une valeur réelle.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable aléatoire décrit, pour chaque valeur possible $x_i$, la probabilité $P(X=x_i)$.
• Espérance mathématique : L’espérance d’une variable aléatoire mesure sa valeur moyenne pondérée par les probabilités des valeurs prises.
• Variance et écart-type : La variance et l’écart-type quantifient l’ampleur des écarts de $X$ par rapport à sa moyenne, via $V(X)$ puis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

📝 Points essentiels

• Si $X$ prend les valeurs $x_1,x_2,x_3$ avec probabilités $p_1,p_2,p_3$, alors $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3$.
• Pour ces valeurs, $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+p_3(x_3-E(X))^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Dans l’exemple des mois de 2021 (loi d’équiprobabilité), la moyenne vaut environ $E(X)\approx 30,42$ jours.
• Toujours dans le même exemple, on obtient environ $V(X)\approx 0,743$ et $\sigma(X)\approx 0,862$ jours.
• Pour une variable discrète, sa loi s’écrit sous forme de tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $P(X=x_i)$.
• L’écart-type $\sigma(X)$ correspond à l’écart moyen (en valeur “typique”) des réalisations de $X$ autour de $E(X)$.

📖 7. Applications de la dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations d’une fonction : Les variations d’une fonction décrivent si elle augmente, diminue ou reste constante sur un intervalle donné.
• Signe de la dérivée : Le signe de $f'(x)$ indique si la fonction dérivable $f$ monte ou descend localement.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume le signe de $f'$ et les sens de variation de $f$ sur les sous-intervalles.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur $I$ et que $f'(x)>0$ (sauf éventuellement en points isolés où $f'(x)=0$), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f$ est dérivable sur $I$ et que $f'(x)<0$ (sauf éventuellement en points isolés où $f'(x)=0$), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est constante sur $I$.
• Pour dresser le tableau de variations, on lit le signe de $f'$ puis on déduit le sens de variation de $f$ sur chaque intervalle séparé par les zéros de $f'$.

💡 Astuce mémo

$f'(x)$ dit la pente : $+$ montée, $-$ descente, $0$ plateau.

📖 8. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée vaut elle-même et qu’elle prend la valeur 1 en 0.
• Nombre e : Le nombre $e$ est la valeur de xp(1), obtenue à partir de la fonction exponentielle et notée aussi $e pprox 2,718$.
• Exposant e^x : Pour tout réel $x$, l’écriture $e^x$ désigne xp(x), et elle vérifie notamment $(e^x)'=e^x$.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle est l’unique fonction f telle que f'(x)=f(x) pour tout x et f(0)=1, donc f(0)=1.
• La fonction $x\mapsto e^x$ est dérivable sur ℝ, et sa dérivée est $\left(e^x\right)'=e^x$.
• Sur ℝ, la fonction $e^x$ est strictement croissante et strictement positive (donc jamais nulle).
• Pour tous réels x et y, on a $e^{x+y}=e^x\times e^y$, $e^{x-y}=e^x/e^y$ et $(e^x)^n=e^{nx}$ pour $n\in\mathbb N$.
• Pour tous réels a et b, $e^a=e^b\iff a=b$ et $e^a<e^b\iff a<b$.
• Si $u$ est dérivable sur un intervalle I, alors la dérivée de $x\mapsto e^{u(x)}$ est $\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}$.

💡 Astuce mémo

Idée clé : $e^x$ a la même vitesse que sa hauteur, car $\left(e^x\right)'=e^x$.

📖 9. Droites et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Un vecteur normal est un vecteur non nul orthogonal au vecteur directeur d’une droite.
• Équation cartésienne de droite : Une droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 lorsque (a,b) est un vecteur normal.
• Cercle : Un cercle est défini par son centre Ω(a,b) et son rayon R.
• Équation cartésienne de cercle : Une équation cartésienne d’un cercle de centre Ω(a,b) et de rayon R s’écrit (x − a)2 + (y − b)2 = R2.

📝 Points essentiels

• Une droite de vecteur directeur u admet un vecteur normal n non nul précisément quand n · u = 0.
• Si une droite admet une équation ax + by + c = 0 alors (a,b) est un vecteur normal à la droite.
• Pour trouver une équation cartésienne d’une droite passant par A(xA,yA) avec vecteur normal (a,b), on utilise ax + by + c = 0 puis on calcule c avec A.
• Un cercle de centre Ω(a,b) et de rayon R est caractérisé par (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
• Pour déterminer centre et rayon depuis x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0, on complète les carrés pour obtenir (x − a)2 + (y − b)2 = R2 avec R = 2.

📊 Tableaux de synthèse

Suites : arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre discriminant et forme canonique : ∆=b^2−4ac ne donne pas directement α et β comme si c’était ∆/(2a).
2. Prendre ∆<0 comme « une racine » : ici ∆<0 implique aucune solution réelle et A(x) garde le signe de a.
3. Mélanger les formules de racines : x1= (−b+√∆)/(2a) et x2= (−b−√∆)/(2a), sans échanger les signes du √∆.
4. Croire que la tangente existe sans dérivabilité : la tangente au point d’abscisse a nécessite f dérivable en a et sa pente vaut f'(a).
5. Oublier la condition de la tangente parallèle à l’axe des abscisses : c’est f'(a)=0, pas f(a)=0.
6. Pour les probabilités conditionnelles, écrire P(A∩B)=P(A)×P(B) alors qu’il faut vérifier l’indépendance (sinon utiliser P_A(B)=P(A∩B)/P(A)).
7. En variables aléatoires, confondre variance et écart-type : σ(X)=√V(X), pas V(X)=σ(X).

✅ Checklist Examen

1. Second degré : donner la forme canonique A(x)=a(x−α)^2+β avec α=−b/(2a) et β=f(α).
2. Second degré : utiliser ∆=b^2−4ac pour conclure sur le nombre de solutions réelles (∆<0, ∆=0, ∆>0).
3. Second degré : calculer les racines x1 et x2 quand ∆>0, puis factoriser A(x)=a(x−x1)(x−x2).
4. Second degré : en cas ∆>0, utiliser x1+x2=−b/a et x1x2=c/a pour exploiter les signes et tableaux de signe.
5. Second degré : déterminer le minimum/maximum et sa valeur atteinte en x=α selon le signe de a.
6. Suites : reconnaître arithmétique (u_{n+1}=u_n+r) ou géométrique (u_{n+1}=q u_n) et écrire le terme général u_n=u_p+(n−p)r ou u_n=u_p q^{n-p}.
7. Suites : appliquer les sommes données : 1+2+...+n=n(n+1)/2 pour l’arithmétique et 1+q+...+q^n=(1−q^{n+1})/(1−q) si q≠1 pour la géométrie.
8. Dérivation : écrire le taux d’accroissement puis la définition du nombre dérivé f'(a) comme limite quand h→0.
9. Tangente : écrire l’équation de la tangente y=f'(a)(x−a)+f(a) et relier tangente horizontale à f'(a)=0.
10. Dérivation : maîtriser les règles (linéarité, produit, quotient) et les formules usuelles (x^2, x^n, 1/x, √x, e^x).
11. Applications à la dérivation : lire le signe de f'(x) et construire le tableau de variations (croissante si f'>0, décroissante si f'<0, constante si f'=0).
12. Probabilités conditionnelles : appliquer P_A(B)=P(A∩B)/P(A) (P(A)≠0) et déduire P(A∩B)=P(A)×P_A(B).
13. Probabilités : utiliser l’indépendance pour obtenir P(A∩B)=P(A)P(B) puis P_A(B)=P(B) (quand P(A)≠0).
14. Variables aléatoires : calculer E(X) à partir de la loi (somme p_i x_i) puis V(X)=Σ p_i (x_i−E(X))^2 et σ(X)=√V(X).