Hoja de repaso: Introduction aux fonctions linéaires et affines

📋 Plan du Cours

1. Fonctions linéaires
2. Représentation graphique des fonctions linéaires
3. Pourcentages et proportionnalité
4. Fonctions affines et cas particuliers
5. Représentation et détermination des fonctions affines

📖 1. Fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction de la forme f : x ↦ ax, où a est un coefficient fixe et seul x varie.
• Coefficient de la fonction linéaire : Le coefficient de la fonction linéaire est le nombre a qui relie chaque antécédent à son image via Image = a × Antécédent.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction linéaire f(x)=ax, le lien constant est Image = Coefficient × Antécédent.
• Le coefficient de la fonction linéaire est aussi le coefficient directeur, donc la pente de la droite correspondante.
• Exemples typiques : f(x)=4x (coefficient 4) et f(x)=-3x (coefficient -3).

📖 2. Représentation graphique des fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère : Un repère est un plan avec deux axes gradués, abscisses (horizontal) et ordonnées (vertical), dont l’origine est (0 ; 0).
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est la valeur qui détermine la direction (montante ou descendante) de la droite représentant la fonction.

📝 Points essentiels

• Si f est linéaire, sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère.
• Réciproquement, une droite passant par l’origine représente une fonction linéaire de la forme f(x)=ax.
• Pour une droite linéaire, a se calcule par a = yA/xA à partir d’un point A(xA ; yA) non nul en abscisse.
• Le signe de a indique la variation : a>0 si la droite monte de gauche à droite, a<0 si elle descend.

💡 Astuce mémo

Image = Coefficient × Antécédent : la pente a fait tout (montée ⇔ signe de a).

📖 3. Pourcentages et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Augmentation de p % : Une augmentation de p % d’une quantité Q se modélise en la multipliant par 1 + p/100.
• Diminution de p % : Une diminution de p % d’une quantité Q se modélise en la multipliant par 1 − p/100.

📝 Points essentiels

• Une variation de p % correspond à une situation de proportionnalité, donc à une fonction linéaire.
• Augmenter Q de p % revient à calculer Q × (1 + p/100).
• Diminuer Q de p % revient à calculer Q × (1 − p/100).
• Pour 15 % : 50 × 1,15 = 57,5, et le modèle général est g(x)=1,15x.

💡 Astuce mémo

+p% multiplie par 1,1…5 : ajoute p/100 au 1, retranche p/100 en cas de −p%.

📖 4. Fonctions affines et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f : x ↦ ax + b, où a et b sont fixés et seul x varie.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur de f(0), obtenue en remplaçant x par 0 dans ax + b, donc égale à b.

📝 Points essentiels

• Si a = 0, la fonction affine est constante car f(x)=b pour tout x.
• Si b = 0, la fonction affine devient linéaire : f(x)=ax.
• Les coefficients d’une fonction affine sont a (pente) et b (ordonnée à l’origine).
• Exemples : f(x)=7x+2,5 (affine), g(x)=-12x (affine avec b=0), h(x)=-1/4 (affine avec a=0).

📖 5. Représentation et détermination des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une fonction affine : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, même si elle ne passe pas forcément par l’origine du repère.
• Coefficient directeur d’une fonction affine : Le coefficient directeur est la pente de la droite d’une fonction affine et correspond au paramètre a dans f(x)=ax+b.
• Ordonnée à l’origine d’une fonction affine : L’ordonnée à l’origine est la valeur f(0)=b, donc le terme constant de la forme ax+b.

📝 Points essentiels

• Une droite représente une fonction affine si et seulement si elle peut être décrite par f(x)=ax+b.
• Pour tracer : il faut deux points A(d ; f(d)) et B(e ; f(e)) puis la droite qui les relie.
• Pour déterminer a : a = (yB−yA)/(xB−xA) à partir de deux points de la droite.
• Pour déterminer b : on lit l’ordonnée quand x=0, ce qui donne b.

💡 Astuce mémo

Départ ax+b : b = valeur en x=0, puis a = variation (yB−yA)/(xB−xA).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction linéaire et affine : une linéaire a b=0 et la droite passe par l’origine.
2. Prendre a pour b : la pente dépend de la variation (yB−yA)/(xB−xA), alors que b se lit en x=0.
3. Utiliser 1−p/100 pour une augmentation ou 1+p/100 pour une diminution, ce qui inverse le calcul.
4. Calculer f(0) en oubliant que pour f(x)=ax+b on a directement f(0)=b.
5. Choisir un point d’abscisse nulle pour calculer a sur une droite linéaire, ce qui rend a = yA/xA impossible.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction linéaire sous la forme f(x)=ax et identifier son coefficient.
2. Utiliser Image = a × Antécédent pour calculer une image à partir d’un antécédent.
3. Justifier qu’une fonction linéaire correspond à une droite passant par l’origine du repère.
4. Déterminer la pente a d’une fonction linéaire à partir d’un point A(xA ; yA) avec xA ≠ 0.
5. Interpréter le signe de la pente : droite montante ⇔ a>0, décroissante ⇔ a<0.
6. Modéliser une augmentation de p % par Q × (1 + p/100) et une diminution par Q × (1 − p/100).
7. Transformer un problème de pourcentage en fonction linéaire du type kx avec k=1±p/100.
8. Reconnaître une fonction affine sous la forme f(x)=ax+b et identifier a et b.
9. Établir les cas particuliers : a=0 ⇒ constante et b=0 ⇒ linéaire.
10. Décrire la représentation graphique : droite ⇔ fonction affine, et droite non forcément passant par l’origine.
11. Tracer une fonction affine à partir de deux points calculés via choix de deux abscisses.
12. Déterminer une fonction affine à partir d’une droite : calculer a avec (yB−yA)/(xB−xA) puis trouver b en lisant en x=0.