Cuestionario: Introduction aux nombres et fonctions fondamentales — 24 preguntas

1. Que désigne la notation \(\llbracket n,p\rrbracket\) pour deux entiers \(n\le p\) ?

A. L’ensemble des entiers strictement compris entre \(n\) et \(p\)

B. L’ensemble des couples \((n,p)\)

C. L’ensemble des entiers de \(n\) à \(p\) inclus

D. L’ensemble des réels entre \(n\) et \(p\)

Answer: (C)

Explicación

La notation \(\llbracket n,p\rrbracket\) désigne \([n,p]\cap\mathbb N\), donc les entiers de \(n\) à \(p\) inclus. Ce n’est pas un intervalle réel, ni un ensemble d’entiers strictement internes.

2. Dans les notations usuelles, que représentent \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C\) ?

A. Les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes

B. Les nombres pairs, impairs, rationnels, réels et complexes

C. Les nombres premiers, entiers, rationnels, algébriques et complexes

D. Les entiers naturels, décimaux, rationnels, réels et complexes

Answer: (A)

Explicación

Ces symboles désignent respectivement les ensembles des naturels, des relatifs, des rationnels, des réels et des complexes. L’ordre donné est celui à retenir.

3. Que représente l’écriture \(F^E\) lorsque \(E\) et \(F\) sont deux ensembles ?

A. Le produit cartésien de \(E\) et \(F\)

B. L’ensemble des fonctions de \(F\) vers \(E\)

C. L’ensemble des applications de \(E\) vers \(F\)

D. L’ensemble des parties de \(E\) contenues dans \(F\)

Answer: (C)

Explicación

L’écriture \(F^E\) ou \(F(E,F)\) désigne l’ensemble des applications de \(E\) vers \(F\). Ce n’est ni un produit cartésien ni l’ensemble des parties.

4. Que vaut la fonction indicatrice \(1_Y(x)\) lorsque \(x\notin Y\) ?

A. 0

B. \(x\)

C. 1

D. \(-1\)

Answer: (A)

Explicación

Une fonction indicatrice vaut 1 sur l’ensemble indiqué et 0 en dehors. Donc si \(x\notin Y\), on obtient 0.

5. Quelle est la valeur de \(\mathrm{sign}(x)\) pour un réel strictement négatif ?

A. 1

B. \(x\)

C. 0

D. \(-1\)

Answer: (D)

Explicación

La fonction signe vaut \(-1\) pour tout réel négatif, \(1\) pour tout réel positif, et \(0\) en 0. La valeur \(0\) est réservée au cas nul.

6. Quelle propriété caractérise la valeur absolue \(|u|\) ?

A. C’est la distance de \(u\) à 0

B. C’est toujours égal à \(u\)

C. C’est le quotient de \(u\) par son signe

D. C’est la partie entière de \(u\)

Answer: (A)

Explicación

La valeur absolue mesure la distance à 0 : elle est donc toujours positive ou nulle. Elle vaut \(u\) si \(u\ge 0\) et \(-u\) sinon.

7. Dans les exercices, quel rôle jouent souvent les lettres grecques comme \(\alpha\), \(\beta\) ou \(\gamma\) ?

A. Des paramètres ou coefficients

B. Des fonctions trigonométriques

C. Des inconnues à résoudre

D. Des ensembles numériques

Answer: (A)

Explicación

Les lettres grecques servent fréquemment de paramètres ou de coefficients, par exemple dans des expressions trigonométriques. Les inconnues d’un système sont plutôt \(x, y, z\).

8. Dans un système linéaire, quelles lettres désignent généralement les inconnues à déterminer ?

A. \(a, b, c\)

B. \(\alpha, \beta, \gamma\)

C. \(\theta, \varphi, \psi\)

D. \(x, y, z\)

Answer: (D)

Explicación

Le cours distingue \(x, y, z\) comme inconnues, tandis que d’autres lettres, souvent grecques, jouent le rôle de paramètres. Cette distinction est essentielle pour lire correctement l’énoncé.

9. Quand dit-on qu’un système linéaire est de Cramer ?

A. Lorsque le système possède forcément une infinité de solutions

B. Lorsque la matrice des coefficients est diagonale

C. Lorsque toutes les inconnues sont égales

D. Lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est non nul

Answer: (D)

Explicación

Un système de Cramer est un système linéaire dont le déterminant des coefficients est non nul. Cela permet une résolution par déterminants et garantit l’unicité de la solution.

10. À quoi sert principalement la méthode du pivot de Gauss ?

A. À calculer directement des dérivées

B. À déterminer la partie entière d’un réel

C. À factoriser un polynôme du second degré

D. À éliminer progressivement des inconnues par transformations élémentaires

Answer: (D)

Explicación

Le pivot de Gauss consiste à appliquer des opérations élémentaires pour transformer la matrice augmentée et faire apparaître des équations plus simples. On en déduit ensuite les solutions ou les cas possibles.

11. Quel est le domaine d’une fonction rationnelle ?

A. Les réels strictement positifs

B. Les réels compris entre 0 et 1

C. Tous les réels

D. Les réels qui n’annulent pas le dénominateur

Answer: (D)

Explicación

Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes, donc on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur. C’est la contrainte essentielle de définition.

12. Comment résout-on une équation de la forme \(|u|=a\) avec \(a\ge 0\) ?

A. En étudiant les cas \(u=a\) et \(u=-a\)

B. En imposant \(u=0\)

C. En posant seulement \(u=a\)

D. En posant seulement \(u=-a\)

Answer: (A)

Explicación

La valeur absolue impose deux cas possibles : \(u=a\) ou \(u=-a\) quand \(a\ge 0\). C’est l’équivalent du traitement par signes indiqué dans le cours.

13. Quelle différence distingue une fonction majorée d’une fonction bornée ?

A. Majorée signifie qu’elle est croissante, bornée qu’elle est décroissante

B. Majorée signifie deux bornes, bornée une seule borne

C. Majorée signifie qu’elle atteint un maximum, bornée qu’elle atteint un minimum

D. Majorée signifie seulement une borne supérieure, bornée signifie deux bornes

Answer: (D)

Explicación

Une fonction majorée est dominée par une borne supérieure unique, tandis qu’une fonction bornée est encadrée à la fois par une borne inférieure et une borne supérieure. La distinction est explicitement donnée.

14. Que signifie qu’une fonction soit paire ?

A. \(f\) est définie seulement sur les positifs

B. \(f(x)\ge 0\) pour tout réel \(x\)

C. \(f(-x)=f(x)\) pour tout réel \(x\)

D. \(f(-x)=-f(x)\) pour tout réel \(x\)

Answer: (C)

Explicación

La parité se traduit par \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\). La relation \(f(-x)=-f(x)\) correspond, elle, à la fonction impaire.

15. Quelle est la négation de l’assertion \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\le 1\) ?

A. \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)>1\)

B. \(\exists x\in\mathbb R\) tel que \(f(x)>1\)

C. \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 1\)

D. \(\exists x\in\mathbb R\) tel que \(f(x)\le 1\)

Answer: (B)

Explicación

Nier un quantificateur universel revient à introduire un quantificateur existentiel et à nier la propriété. Ici, \(f(x)\le 1\) devient \(f(x)>1\).

16. Quelle écriture correspond à la négation de « \(f\) est croissante » ?

A. Il existe \(x>y\) tels que \(f(x)\le f(y)\)

B. Il existe \(x<y\) tels que \(f(x)\ge f(y)\)

C. Pour tous \(x,y\), on a \(f(x)=f(y)\)

D. Pour tous \(x<y\), on a \(f(x)<f(y)\)

Answer: (B)

Explicación

La négation de la croissance affirme qu’on peut trouver deux points ordonnés \(x<y\) pour lesquels l’ordre des valeurs n’est pas respecté. La formulation du cours est exactement de ce type.

17. Que représente la notation \(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\) ?

A. \(\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i\)

B. \(a_1+b_1+\cdots+a_nb_n\)

C. \(\sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i\)

D. \(\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)\)

Answer: (A)

Explicación

La somme se distribue sur l’addition : on sépare les deux suites de termes. C’est une propriété rappelée dans les formules utiles.

18. À quoi sert un changement d’indice dans une somme ?

A. À transformer une somme en équation différentielle

B. À remplacer une somme par un produit

C. À réécrire la somme avec une variable différente pour simplifier le calcul

D. À changer la valeur des termes sans modifier l’indice

Answer: (C)

Explicación

Un changement d’indice consiste à remplacer l’indice de sommation par une nouvelle variable afin d’obtenir une écriture plus simple. C’est une technique de réécriture, pas une modification du contenu de la somme.

19. Quelle est l’intervalle de valeurs de la partie fractionnaire \(\{x\}\) ?

A. \(\mathbb Z\)

B. \([1,2[\)

C. \([0,1[\)

D. \(]-1,0]\)

Answer: (C)

Explicación

Par définition, \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\), et cette quantité appartient toujours à \([0,1[\). Elle représente la partie restante après retrait de la partie entière.

20. Que vaut la partie fractionnaire d’un entier ?

A. Une valeur négative

B. L’entier lui-même

C. 1

D. 0

Answer: (D)

Explicación

Si \(x\) est un entier, alors \(\lfloor x\rfloor=x\), donc \(\{x\}=x-\lfloor x\rfloor=0\). C’est une propriété de base de la décomposition entière-fractionnaire.

21. Quelle est la négation de l’énoncé \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne 0\) ?

A. \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)=0\)

B. \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)>0\)

C. \(\exists x\in\mathbb R\) tel que \(f(x)\ne 0\)

D. \(\exists x\in\mathbb R\) tel que \(f(x)=0\)

Answer: (D)

Explicación

Nier « pour tout \(x\), \(f(x)\ne 0\) » revient à dire qu’il existe au moins un \(x\) pour lequel \(f(x)=0\). C’est l’application directe de la négation des quantificateurs.

22. Quand une implication \((A\Rightarrow B)\) est-elle fausse ?

A. Uniquement quand \(A\) est vraie et \(B\) est fausse

B. Quand \(A\) et \(B\) sont fausses

C. Quand \(A\) est fausse et \(B\) est vraie

D. Quand \(A\) et \(B\) sont vraies

Answer: (A)

Explicación

Une implication n’est fausse que dans le cas où l’hypothèse est vraie et la conclusion fausse. Si \(A\) est fausse, l’implication est vraie quel que soit \(B\).

23. Que vaut le module d’un nombre complexe ?

A. Sa partie réelle

B. La distance de son point image à l’origine

C. La somme de ses parties réelle et imaginaire

D. Son argument principal

Answer: (B)

Explicación

Le module mesure la distance entre le point image du complexe et l’origine dans le plan complexe. C’est donc une quantité réelle positive.

24. Quelle est la factorisation de \(z^4-1\) utilisée pour déterminer ses racines ?

A. \((z+1)^4\)

B. \((z-1)(z+1)(z^2+1)\)

C. \((z-1)^4\)

D. \((z^2-1)^2\)

Answer: (B)

Explicación

On factorise \(z^4-1\) en \((z-1)(z+1)(z^2+1)\), ce qui fait apparaître les racines \(4\)-ièmes de 1. Les autres écritures ne donnent pas la bonne décomposition.