L’ensemble des entiers relatifs
Explicación
Les entiers relatifs, notés ℤ, regroupent les entiers positifs, négatifs et nuls. Les entiers naturels ne contiennent pas les négatifs.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Explicación
La hiérarchie donnée est bien ℕ inclus dans ℤ, puis dans 𝔻, ensuite dans ℚ et enfin dans ℝ. Les autres propositions inversent au moins un ordre d’inclusion.
Un nombre irrationnel
Explicación
Un irrationnel est défini comme un réel qui n’appartient pas à ℚ. Il n’est donc ni rationnel ni nécessairement décimal ou entier.
√2
Explicación
Le nombre √2 est donné comme un exemple de nombre irrationnel. Les autres sont rationnels : 5/8, -3 et 0,125 s’écrivent sous forme de quotient d’entiers.
L’ensemble des réels x tels que a<x<b
Explicación
Un intervalle ouvert exclut ses deux bornes, donc on a a<x<b. L’intervalle fermé, lui, serait écrit [a,b].
[a,b]
Explicación
Les bornes incluses correspondent à l’intervalle fermé, noté [a,b]. Les parenthèses ou crochets ouverts indiquent au moins une borne exclue.
]a,+∞[
Explicación
L’inégalité stricte x>a se traduit par l’intervalle ]a,+∞[. Du côté de l’infini, l’intervalle est ouvert.
]-∞,b]
Explicación
L’inégalité x≤b se note ]-∞,b]. L’extrémité en b est incluse, alors que le côté infini reste ouvert.
Les réels appartenant à la fois à I et à J
Explicación
L’intersection regroupe les éléments communs aux deux ensembles, donc les réels qui appartiennent à I et à J. L’union correspondrait au sens “ou”.
Leur intersection est vide
Explicación
Des intervalles disjoints n’ont aucun nombre en commun, donc leur intersection est vide. Leur union, en revanche, n’est pas vide si l’un des intervalles contient des réels.
b-a
Explicación
L’amplitude d’un encadrement est la largeur de l’intervalle, donc b-a. Elle mesure l’écart entre les deux bornes.
Un encadrement d’amplitude au plus ε
Explicación
Un encadrement à ε près est un encadrement suffisamment serré, dont l’amplitude est au plus ε. Il ne s’agit pas d’un encadrement centré sur 0.
|a-b|
Explicación
La distance entre deux abscisses est donnée par la valeur absolue de leur différence, donc |a-b|. La valeur absolue garantit un résultat positif ou nul.
La distance entre l’origine et le point d’abscisse x
Explicación
La valeur absolue |x| est la distance entre 0 et x sur la droite graduée. Elle correspond donc à une distance, sans signe.
|x|≥0
Explicación
La valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc |x|≥0. Elle n’est égale à x que dans le cas où x est positif ou nul.
[-a,a]
Explicación
L’inégalité |x|≤a décrit les réels situés à une distance au plus a de 0, soit l’intervalle fermé [-a,a]. Le cas strict <a donnerait l’intervalle ouvert ]-a,a[.
Appartient à
Explicación
Le symbole ∈ signifie “appartient à”. Il ne faut pas le confondre avec ∉, qui signifie “n’appartient pas à”.
Pour tout réel x appartenant à l’intervalle I
Explicación
L’écriture ∀x∈I se lit “pour tout réel x appartenant à l’intervalle I”. Le symbole ∀ exprime l’idée de généralité, et non l’existence d’un seul élément.
Les Babyloniens
Explicación
Le nombre √2 est présenté comme probablement connu des Babyloniens, avec une ancienne représentation de sa valeur approchée. La source mentionne aussi une tablette exposée à Yale.
Le nombre d’or
Explicación
Le nombre d’or est donné comme un nombre irrationnel connu depuis l’Antiquité. Il est aussi associé à des usages esthétiques dans l’art.
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Ensembles de nombres — définition ?
Collections de nombres avec propriétés spécifiques.
Inclusion entre ensembles — exemple ?
$ N ext{ est inclus dans } Z$.
Nombres irrationnels — définition ?
Nombres réels non rationnels.
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