Introduction aux Nombres, Fonctions et Vecteurs

📖 1. Nombres réels et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

Nombre réel : Un nombre réel est l’abscisse d’un point d’une droite graduée. Il représente la position d’un point sur cette droite, permettant de mesurer des quantités continues. (M. Naggea, définition 1)

Ensemble ℝ : L’ensemble des nombres réels, noté ℝ, regroupe tous les nombres réels possibles, qu’ils soient positifs, négatifs ou nuls.

Ensemble ℝ+ : L’ensemble des nombres réels positifs, c’est-à-dire tous les nombres strictement supérieurs à zéro.

Ensemble ℝ- : L’ensemble des nombres réels négatifs, c’est-à-dire tous les nombres strictement inférieurs à zéro.

Ensemble ℝ* : L’ensemble des nombres réels sauf zéro, c’est-à-dire ℝ privé de la valeur 0.

Intervalle [a ; b] : Un intervalle fermé entre a et b inclut ses bornes, c’est-à-dire tous les x tels que a ≤ x ≤ b.

📝 Points essentiels

Les intervalles peuvent être ouverts, fermés ou semi-ouverts, selon que leurs bornes sont incluses ou non. La notation utilisée dépend de cette inclusion :

• Intervalle fermé : [a ; b], inclut les bornes a et b.
• Intervalle ouvert : ]a ; b[, exclut les bornes a et b.
• Intervalle semi-ouvert ou semi-fermé : [a ; b[ ou ]a ; b], où une borne est incluse, l’autre exclue.

Les inégalités se traduisent par des intervalles sur la droite réelle. Par exemple :

• x > a ⇔ x ∈ ]a ; +∞[
• x ≥ a ⇔ x ∈ [a ; +∞[
• x < b ⇔ x ∈ ]−∞ ; b[
• x ≤ b ⇔ x ∈ [−∞ ; b]