Hoja de repaso: Introduction aux opérations sur les fractions et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Multiplication de fractions de nombres relatifs
2. Fraction d’une quantité par multiplication
3. Inverse d’un nombre et propriétés
4. Quotients en écriture fractionnaire
5. Nombres premiers : définition et remarques
6. Liste des nombres premiers inférieurs à 100
7. Décomposition en produit de facteurs premiers

📖 1. Multiplication de fractions de nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication de fractions : Règle de calcul qui consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux pour obtenir le produit en écriture fractionnaire.
• Numérateur : Partie supérieure d’une fraction, qui intervient directement dans la multiplication des fractions.
• Dénominateur : Partie inférieure d’une fraction, qui intervient directement dans la multiplication des fractions.
• Simplification avant calcul : Méthode de calcul qui consiste à réduire les nombres (au numérateur et/ou au dénominateur) avant d’effectuer la multiplication pour faciliter le résultat.

📝 Points essentiels

• Pour $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}$ avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$, on obtient $\frac{a\times c}{b\times d}$ en multipliant numérateurs et dénominateurs séparément.
• La simplification consiste à décomposer et réduire avant de multiplier, plutôt que de multiplier d’abord puis réduire à la fin.
• Dans l’exemple $\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{7}{-5}\right)$, on regroupe les signes et on obtient $-\frac{14}{15}$.
• Dans l’exemple $\frac{21}{4}\times\left(-\frac{2}{15}\right)$, la réduction avant multiplication mène à $-\frac{7}{10}$.
• Dans l’exemple $\frac{12}{7}\times\frac{63}{54}$, une simplification préalable permet d’aboutir à $\frac{9}{7}$.
• Le cours insiste sur le fait que multiplier sans simplifier peut rendre la réduction difficile (exemple $\frac{12}{7}\times\frac{63}{54}=\frac{756}{378}$).

💡 Astuce mémo

Numérateur×Numérateur, Dénominateur×Dénominateur ; simplifie avant de multiplier.

📖 2. Fraction d’une quantité par multiplication

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction d’une quantité : Calcul qui consiste à prendre une partie d’une quantité en multipliant cette quantité par la fraction correspondante.
• Fraction d’un nombre : Calcul qui consiste à obtenir une valeur proportionnelle en multipliant le nombre par la fraction donnée.
• Proportion : Valeur exprimant une part d’un ensemble, souvent convertie en fraction puis multipliée par la quantité totale.
• Pourcentage en fraction : Transformation où $8%$ correspond à $\frac{8}{100}$ pour permettre un calcul avec des fractions.

📝 Points essentiels

• Pour calculer $\frac{p}{q}$ d’une quantité, on multiplie la quantité par $\frac{p}{q}$.
• Pour calculer $\frac{p}{q}$ d’un nombre, on multiplie ce nombre par $\frac{p}{q}$.
• Dans l’exemple, $\frac{11}{20}$ de $8%$ se calcule par $\frac{11}{20}\times\frac{8}{100}$.
• Le produit $\frac{11}{20}\times\frac{8}{100}$ donne $\frac{88}{250}$.
• La valeur décimale obtenue dans l’exemple est $0{,}352$.
• Le calcul passe par la conversion du pourcentage en fraction de dénominateur $100$.

💡 Astuce mémo

Fraction d’une quantité = quantité × fraction ; et $x%$ devient $\frac{x}{100}$.

📖 3. Inverse d’un nombre et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverses : Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut $1$.
• Inverse d’un nombre : Nombre qui, multiplié par le nombre de départ, donne $1$.
• Inverse d’une fraction : Nombre obtenu en échangeant numérateur et dénominateur pour que le produit avec la fraction vaille $1$.
• Nombre non nul : Condition nécessaire pour définir un inverse, car on ne peut pas inverser $0$.

📝 Points essentiels

• Deux nombres relatifs sont inverses si leur produit est égal à $1$.
• L’inverse de $a$ (avec $a\neq 0$) est $\frac{1}{a}$.
• L’inverse de $\frac{a}{b}$ (avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$) est $\frac{b}{a}$.
• Exemple : $5\times 0{,}2=1$, donc $5$ et $0{,}2$ sont inverses.
• Exemple : $-\frac{6}{5}\times\left(-\frac{5}{6}\right)=1$, donc ces deux fractions sont inverses.
• Exemple : l’inverse de $\frac{5}{7}$ est $\frac{7}{5}$ et l’inverse de $-\frac{6}{5}$ est $-\frac{5}{6}$.

💡 Astuce mémo

Inverse = produit 1 ; pour $\frac{a}{b}$, on inverse en échangeant $a$ et $b$.

📖 4. Quotients en écriture fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient : Résultat d’une division, ici exprimé avec des nombres en écriture fractionnaire.
• Diviser par un nombre non nul : Opération autorisée uniquement si le diviseur n’est pas nul.
• Multiplication par l’inverse : Principe selon lequel une division peut être remplacée par une multiplication par l’inverse du diviseur.
• Écriture fractionnaire d’un quotient : Forme où le quotient est réécrit comme un produit de fractions pour calculer plus facilement.

📝 Points essentiels

• Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
• Pour $\frac{a}{b}\div c$ (avec $b\neq 0$ et $c\neq 0$), on remplace par $\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}$.
• Pour $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$ (avec $b\neq 0$, $c\neq 0$ et $d\neq 0$), on obtient $\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.
• L’écriture $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$ est équivalente à la division initiale.
• Exemple : $\frac{7}{3}\div 2=\frac{7}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$.
• Exemple : $-\frac{4}{5}\div\frac{7}{3}=-\frac{4}{5}\times\frac{3}{7}=-\frac{12}{35}$.

💡 Astuce mémo

Division = × inverse : on retourne le diviseur et on multiplie.

📖 5. Nombres premiers : définition et remarques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
• Diviseurs distincts : Valeurs qui divisent le nombre sans reste et qui sont comptées une seule fois.
• Nombre pair : Entier divisible par $2$, donc lié à la remarque sur les premiers pairs.
• Cas de 0 et 1 : Situations particulières où la définition de nombre premier ne s’applique pas.

📝 Points essentiels

• Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
• $15$ n’est pas premier car ses diviseurs sont $1$, $3$, $5$ et $15$.
• $59$ est premier car il n’est divisible que par $1$ et par $59$.
• $0$ n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs.
• $1$ n’est pas premier car il possède un seul diviseur.
• Le seul nombre premier pair est $2$ car tous les nombres pairs sont divisibles par $2$.

💡 Astuce mémo

Premier = seulement deux diviseurs : 1 et lui-même ; et le seul pair premier est 2.

📖 6. Liste des nombres premiers inférieurs à 100

🔑 Notions clés & Définitions

• Liste des nombres premiers : Ensemble des nombres premiers donnés par le cours, ici ceux strictement inférieurs à $100$.
• Nombres premiers inférieurs à 100 : Les nombres premiers dont la valeur est < $100$, listés explicitement.
• 25 nombres premiers : Quantité annoncée par le cours pour les nombres premiers strictement inférieurs à $100$.

📝 Points essentiels

• Le cours donne 25 nombres premiers inférieurs à $100$.
• La liste commence par $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
• La liste continue par $31,37,41,43,47,53,59,61,67,71$.
• La liste se termine par $73,79,83,89,97$.
• Chaque nombre de la liste est un nombre premier au sens de la définition précédente.
• Aucun nombre pair autre que $2$ n’apparaît dans la liste, conformément à la remarque sur les premiers pairs.

💡 Astuce mémo

Mémoriser par blocs : 2–29 puis 31–71 puis 73–97.

📖 7. Décomposition en produit de facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteurs premiers : Nombres premiers dont le produit reconstitue le nombre étudié.
• Décomposition en produit de facteurs premiers : Écriture d’un entier comme produit de nombres premiers.
• Unicité à l’ordre près : Propriété indiquant que la décomposition en facteurs premiers est la même, même si l’ordre des facteurs change.
• Méthode par tests de divisibilité : Procédure consistant à tester la divisibilité par des nombres premiers successifs pour trouver les facteurs.

📝 Points essentiels

• Tout entier naturel $\ge 2$ se décompose en produit de facteurs premiers.
• La décomposition est unique à l’ordre près.
• Exemple : $35=5\times 7$ avec $5$ et $7$ premiers.
• Exemple : $48=2^4\times 3$ (car $48=2\times 3\times 2\times 4$ puis réduction).
• Pour décomposer $522$, on teste d’abord la divisibilité par $2$ : $522\div 2=261$.
• On continue avec le prochain premier : $261\div 3=87$, puis $87\div 3=29$, et $29\div 29=1$, donc $522=2\times 3^2\times 29$.

💡 Astuce mémo

On divise par le plus petit facteur premier possible, puis on recommence sur le quotient jusqu’à obtenir 1.

📊 Tableaux de synthèse

Division vs multiplication par l’inverse

Opération	Transformation	Condition
Division	Multiplier par l’inverse	Diviseur non nul
Division de fractions	Multiplier par la fraction inversée	Numérateur et dénominateur du diviseur non nuls

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Multiplier des fractions sans simplifier au préalable peut rendre la réduction finale difficile, comme dans l’exemple $\frac{12}{7}\times\frac{63}{54}$.
2. Confondre l’inverse : pour $\frac{a}{b}$, l’inverse est $\frac{b}{a}$ (on échange numérateur et dénominateur).
3. Oublier la condition de non-nullité : diviser par $0$ ou utiliser un inverse de $0$ n’est pas autorisé.
4. Croire que $1$ ou $0$ sont premiers : $1$ a un seul diviseur et $0$ en a une infinité.
5. Dire qu’un nombre premier pair peut être autre que $2 : tous les pairs sont divisibles par $2$.
6. Se tromper dans la liste <100 en oubliant que la liste contient exactement 25 nombres et qu’elle ne comporte pas de pairs sauf $2$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir appliquer la règle $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ et choisir quand simplifier avant de multiplier.
2. Savoir calculer une fraction d’une quantité : multiplier la quantité par la fraction, et convertir un pourcentage en fraction de dénominateur 100.
3. Savoir déterminer l’inverse d’un nombre $a$ (donner $\frac{1}{a}$) et l’inverse d’une fraction $\frac{a}{b}$ (donner $\frac{b}{a}$).
4. Savoir transformer une division en multiplication par l’inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.
5. Savoir reconnaître un nombre premier via la condition des deux diviseurs distincts et traiter les cas particuliers $0$ et $1$.
6. Connaître la liste des 25 nombres premiers strictement inférieurs à $100$ donnée dans le cours.
7. Savoir décomposer un entier $\ge 2$ en produit de facteurs premiers et suivre la méthode de tests de divisibilité jusqu’à obtenir un quotient égal à 1.