Cuestionario: Introduction aux suites mathématiques — 14 preguntas

1. Comment définit-on une suite en mathématiques ?

A. Une fonction qui associe à chaque réel un nombre

B. Une fonction qui associe à chaque entier naturel un nombre

C. Une équation qui relie deux inconnues

D. Une collection de nombres sans ordre précis

Answer: (B)

Explicación

Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels, qui associe à chaque indice n un terme uₙ. Les autres propositions décrivent soit une fonction sur ℝ, soit un ensemble non ordonné, soit une équation.

2. Que désigne une relation de récurrence pour une suite ?

A. Une somme des n premiers termes

B. Une formule qui définit uₙ₊₁ à partir de uₙ

C. Une expression explicite de uₙ en fonction de n

D. Une propriété valable seulement pour les suites géométriques

Answer: (B)

Explicación

Une relation de récurrence permet de calculer un terme à partir du précédent, par exemple uₙ₊₁=f(uₙ). Une expression explicite relève au contraire du terme général.

3. Quand dit-on qu’une suite est arithmétique ?

A. Quand les termes sont tous positifs

B. Quand le quotient de deux termes consécutifs est constant

C. Quand la différence entre deux termes consécutifs est constante

D. Quand la suite converge vers une limite finie

Answer: (C)

Explicación

Dans une suite arithmétique, l’écart uₙ₊₁−uₙ est constant et égal à la raison r. Le quotient constant caractérise au contraire une suite géométrique.

4. Quelle est la formule explicite d’une suite arithmétique de premier terme u₁ et de raison r ?

A. uₙ = r + (n−1)u₁

B. uₙ = u₁ − (n−1)r

C. uₙ = u₁ + (n−1)r

D. uₙ = u₁·rⁿ⁻¹

Answer: (C)

Explicación

Pour une suite arithmétique, on ajoute la raison r à chaque pas, ce qui donne uₙ=u₁+(n−1)r. La formule multiplicative correspond à une suite géométrique.

5. Quand dit-on qu’une suite est géométrique ?

A. Quand la somme des termes augmente régulièrement

B. Quand elle est définie par une équation du second degré

C. Quand la différence entre deux termes consécutifs est constante

D. Quand le quotient entre deux termes consécutifs est constant non nul

Answer: (D)

Explicación

Une suite géométrique vérifie un quotient constant uₙ₊₁/uₙ égal à la raison q, avec q non nul. La différence constante définit une suite arithmétique.

6. Quelle est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique lorsque q = 1 ?

A. Sₙ = (n/2)(u₁+uₙ)

B. Sₙ = u₁(1−qⁿ)/(1−q)

C. Sₙ = n·u₁

D. Sₙ = u₁ + (n−1)q

Answer: (C)

Explicación

Si q=1, tous les termes sont égaux à u₁, donc la somme des n premiers termes vaut n·u₁. La formule avec le quotient géométrique s’applique seulement quand q≠1.

7. Quelle forme générale prend une suite arithmético-géométrique ?

A. uₙ₊₁ = q·uₙ

B. uₙ = u₁ + (n−1)r

C. uₙ₊₁ = uₙ + r

D. uₙ₊₁ = a·uₙ + b

Answer: (D)

Explicación

Une suite arithmético-géométrique est définie par une récurrence affine uₙ₊₁=a·uₙ+b. Les autres écritures correspondent à une suite arithmétique, géométrique ou à une formule explicite.

8. À quoi sert le point fixe dans l’étude d’une suite arithmético-géométrique ?

A. À montrer que la suite est toujours convergente

B. À transformer la suite en une suite géométrique en considérant l’écart

C. À remplacer la récurrence par une formule trigonométrique

D. À calculer directement la somme des termes

Answer: (B)

Explicación

On cherche le point fixe u vérifiant u=a·u+b, puis on étudie vₙ=uₙ−u ; cette nouvelle suite vérifie une récurrence géométrique. C’est la clé de la résolution.

9. Quand deux suites sont-elles adjacentes ?

A. Lorsqu’on a aₙ≤bₙ pour tout n et bₙ−aₙ→0

B. Lorsqu’elles ont la même raison

C. Lorsqu’elles ont la même formule explicite

D. Lorsqu’elles sont toutes deux arithmétiques

Answer: (A)

Explicación

Deux suites adjacentes sont ordonnées l’une sous l’autre et leur écart tend vers 0. Cette situation conduit à une même limite.

10. Que permet le théorème des gendarmes pour une suite encadrée ?

A. De prouver qu’elle est arithmétique

B. D’établir sa limite si les deux suites d’encadrement convergent vers la même valeur

C. De calculer sa somme exacte

D. De trouver son premier terme

Answer: (B)

Explicación

Le théorème des gendarmes permet de conclure qu’une suite encadrée par deux suites ayant la même limite converge vers cette limite. Il s’agit d’un outil de comparaison, pas d’un calcul de somme.

11. Quelle est l’étape qui consiste à vérifier la propriété au premier rang choisi dans une preuve par récurrence ?

A. L’hérédité

B. La conclusion

C. La généralisation

D. L’initialisation

Answer: (D)

Explicación

L’initialisation consiste à montrer que la propriété est vraie au rang de départ, noté n₀. L’hérédité vient ensuite pour passer de k à k+1.

12. Dans une preuve par récurrence, que faut-il montrer lors de l’hérédité ?

A. Que la suite définie est toujours croissante

B. Que la propriété est vraie pour tous les entiers d’un coup

C. Que P(n₀) est vraie pour le premier rang

D. Que si P(k) est vraie, alors P(k+1) est vraie

Answer: (D)

Explicación

L’hérédité est l’étape où l’on établit l’implication P(k) ⇒ P(k+1). Elle ne consiste pas à vérifier le rang initial, qui relève de l’initialisation.

13. Dans un algorithme qui calcule les termes d’une suite définie par récurrence, quelle opération est effectuée à chaque itération ?

A. Additionner tous les termes avant de commencer

B. Comparer deux suites pour vérifier qu’elles sont adjacentes

C. Mettre à jour la valeur en appliquant la relation de récurrence

D. Calculer directement le terme général sans boucle

Answer: (C)

Explicación

Le calcul itératif repose sur la mise à jour répétée de la valeur à l’aide de la relation de récurrence. On avance ensuite l’indice jusqu’au rang voulu.

14. Pour déterminer le plus petit rang n tel que uₙ dépasse un seuil donné, quelle logique d’algorithme convient le mieux ?

A. Additionner les termes dans une variable de somme S

B. Boucler tant que u reste inférieur au seuil, puis incrémenter n

C. Remplacer la récurrence par une formule de limite

D. Calculer uniquement u₁ et conclure si le seuil est dépassé

Answer: (B)

Explicación

Pour trouver le premier rang d’atteinte, on utilise une boucle tant que u est inférieur au seuil, en mettant à jour u et en augmentant n à chaque étape. Les autres propositions ne permettent pas de repérer le premier dépassement.