Cuestionario: Introduction aux variables et suites — 22 preguntas

1. Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?

A. Un ensemble de résultats toujours équiprobables

B. Une valeur fixe choisie avant l’expérience

C. Une quantité qui associe à chaque issue un nombre réel

D. Une liste ordonnée de probabilités

Answer: (C)

Explicación

Une variable aléatoire associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel. La liste des probabilités correspond plutôt à sa loi de probabilité.

2. Quel est l’univers des possibles d’une variable aléatoire ?

A. L’ensemble des événements incompatibles de l’expérience

B. L’ensemble des valeurs réelles que peut prendre n’importe quelle fonction

C. L’ensemble des probabilités associées aux valeurs de la variable

D. L’ensemble des issues de l’expérience auxquelles la variable attribue une valeur

Answer: (D)

Explicación

L’univers des possibles est constitué des issues de l’expérience aléatoire sur lesquelles la variable est définie. Il ne désigne pas les probabilités elles-mêmes.

3. Que représente la quantité P(X = xi) ?

A. La probabilité que la variable prenne une valeur différente de xi

B. La somme de toutes les probabilités de la loi

C. La probabilité que la variable aléatoire prenne exactement la valeur xi

D. La moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire

Answer: (C)

Explicación

P(X = xi) est la probabilité que X prenne exactement la valeur xi. La somme de toutes ces probabilités vaut 1, mais ce n’est pas la signification de P(X = xi).

4. Quelle condition doit toujours vérifier une loi de probabilité ?

A. La plus grande probabilité doit correspondre à la plus petite valeur

B. Toutes les valeurs possibles doivent être entières

C. Chaque probabilité doit être strictement égale à 0

D. La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1

Answer: (D)

Explicación

Une loi de probabilité est valide si la somme de toutes les probabilités vaut 1. Les autres propositions ne sont pas des conditions générales d’une loi.

5. Comment s’écrit l’espérance d’une variable aléatoire X prenant les valeurs xi avec probabilités pi ?

A. E(X)=Σ (xi−pi)^2

B. V(X)=Σ pi xi

C. E(X)=Σ pi xi

D. σ(X)=√E(X)

Answer: (C)

Explicación

L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités : E(X)=Σ pi xi. La variance et l’écart-type correspondent à d’autres formules.

6. Quelle relation lie l’écart-type à la variance ?

A. σ(X)=√V(X)

B. σ(X)=1/V(X)

C. σ(X)=E(X)−V(X)

D. σ(X)=V(X)^2

Answer: (A)

Explicación

L’écart-type est la racine carrée de la variance. Il mesure donc la dispersion à partir de V(X), sans la remplacer par une puissance ou une différence.

7. Quelle équation décrit une droite non verticale dans le plan ?

A. y = mx + p

B. (x−x0)^2 + (y−y0)^2 = r^2

C. x = y^2 + p

D. ax + by + c = 0 uniquement avec a = 0

Answer: (A)

Explicación

Une droite non verticale peut s’écrire sous la forme y = mx + p. L’équation du cercle est d’une autre nature, et la forme ax + by + c = 0 est une écriture cartésienne plus générale.

8. Dans le plan, quelle équation correspond à un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r ?

A. y = mx + p

B. ax + by + c = 0

C. x + y = r

D. (x−x0)^2 + (y−y0)^2 = r^2

Answer: (D)

Explicación

Un cercle de centre (x0, y0) et de rayon r vérifie bien (x−x0)^2 + (y−y0)^2 = r^2. Les autres expressions décrivent une droite ou une relation non circulaire.

9. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle e^x sur ℝ ?

A. Elle est constante sur ℝ

B. Elle s’annule en x = 0

C. Elle est toujours négative pour x < 0

D. Elle est strictement positive pour tout réel x

Answer: (D)

Explicación

Pour tout réel x, e^x est strictement positif. En particulier, e^0 = 1, donc elle ne s’annule pas en 0.

10. Comment se compare e^x et e^y lorsque x et y sont deux réels ?

A. e^x > e^y si et seulement si x > y

B. e^x < e^y si et seulement si x = y

C. e^x > e^y si et seulement si x < y

D. e^x = e^y pour tous les réels x et y

Answer: (A)

Explicación

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc elle conserve l’ordre : e^x > e^y équivaut à x > y. L’inégalité est donc liée directement à la comparaison des exposants.

11. Pour une fonction de la forme f(x)=(3x+2)e^x, quelle expression de la dérivée est donnée par le cours ?

A. f’(x)=(6x+2)e^x

B. f’(x)=(3x+2)e^x

C. f’(x)=(6x+5)e^x

D. f’(x)=(3x+5)e^x

Answer: (C)

Explicación

Le cours indique que la dérivée de f(x)=(3x+2)e^x est f’(x)=(6x+5)e^x. Les autres propositions confondent la règle de dérivation avec l’expression initiale de la fonction.

12. Pourquoi le signe de f’(x) se déduit-il souvent du seul facteur non exponentiel dans une étude de variations ?

A. Parce que e^x est toujours strictement positif

B. Parce que e^x est toujours nul

C. Parce que e^x est constant

D. Parce que e^x est toujours négatif

Answer: (A)

Explicación

Comme e^x est strictement positif pour tout réel x, il ne change jamais le signe de la dérivée. Le signe dépend donc du facteur restant après factorisation.

13. Dans un repère orthonormé, quelle formule donne le produit scalaire de u(x,y) et v(x’,y’) ?

A. u·v=x+y+x’+y’

B. u·v=xx’+yy’

C. u·v=√(x^2+y^2)·√(x’^2+y’^2)

D. u·v=xx’−yy’

Answer: (B)

Explicación

Le cours donne la formule coordonnée du produit scalaire : u·v=xx’+yy’. La formule avec la racine correspond à la norme, pas au produit scalaire.

14. Quelle relation entre deux droites est caractérisée par le fait que leurs vecteurs normaux ont un produit scalaire nul ?

A. Elles sont parallèles

B. Elles sont perpendiculaires

C. Elles sont sécantes

D. Elles sont confondues

Answer: (B)

Explicación

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul. Ce critère traduit l’orthogonalité des directions normales.

15. Que définit le projeté orthogonal de M sur une droite d ?

A. Le point de d le plus éloigné de M

B. Le point de d où la distance à M est maximale

C. Le point de d tel que (MH) soit perpendiculaire à d

D. Le point de d qui est milieu de [MH]

Answer: (C)

Explicación

Le projeté orthogonal H de M sur d est le point de la droite tel que MH soit perpendiculaire à d. C’est la définition géométrique centrale à retenir.

16. Si deux vecteurs sont colinéaires et de sens contraire, quel est leur produit scalaire ?

A. Il est égal à −|u||v|

B. Il est égal à |u||v|

C. Il est égal à la somme de leurs normes

D. Il est égal à 0

Answer: (A)

Explicación

Le cours précise que si deux vecteurs colinéaires sont de sens contraire, alors leur produit scalaire vaut −|u||v|. Le cas 0 correspond à des vecteurs perpendiculaires, pas colinéaires.

17. Quelle propriété décrit l’opposé d’un vecteur u ?

A. Il a une norme nulle

B. Il a la même direction et la même norme que u

C. Il est forcément perpendiculaire à u

D. Il a la même norme que u mais le sens opposé

Answer: (D)

Explicación

L’opposé de u est −u : il conserve la norme de u mais change de sens. Ce n’est pas un vecteur nul ni un vecteur perpendiculaire par définition.

18. Dans le cours, quelle relation vectorielle caractérise le milieu I du segment [AB] ?

A. 2I = A + B

B. AB = 2I

C. I = A − B

D. A + B = I

Answer: (A)

Explicación

Le cours donne la relation A + B = 2I pour le milieu I de [AB]. Elle exprime que I est le point moyen des deux extrémités.

19. Quelle forme de récurrence définit une suite géométrique de raison q ?

A. U_{n+1}=U_n+q

B. U_{n+1}=U_n+r

C. U_{n+1}=qU_n

D. U_n=U_0+n×r

Answer: (C)

Explicación

Une suite géométrique vérifie U_{n+1}=qU_n avec une raison constante q. Les autres propositions correspondent à une suite arithmétique ou à une forme incorrecte.

20. Que devient q^n lorsque 0<q<1 et que n tend vers l’infini ?

A. q^n tend vers q

B. q^n tend vers 0

C. q^n alterne entre 0 et 1

D. q^n tend vers 1

Answer: (B)

Explicación

Le cours indique que si 0<q<1, alors q^n tend vers 0 quand n grandit. C’est une propriété fondamentale des suites géométriques de raison comprise entre 0 et 1.

21. Quelle expression donne le terme général d’une suite arithmétique de premier terme U₀ et de raison r ?

A. Uₙ = U₀ × rⁿ

B. Uₙ = U₀ + n×r

C. Uₙ = U₀ + (n−1)×r

D. Uₙ = r + n×U₀

Answer: (B)

Explicación

Dans une suite arithmétique, on ajoute la même raison r à chaque étape, donc le terme général s’écrit Uₙ = U₀ + n×r. La formule avec rⁿ correspond à une suite géométrique.

22. Dans une suite arithmétique, que peut-on dire de la suite lorsque la raison r est négative ?

A. Elle n’a pas de terme général

B. Elle est constante

C. Elle est décroissante

D. Elle est croissante

Answer: (C)

Explicación

Si la raison r est négative, chaque terme est obtenu en retirant une quantité fixe au terme précédent, donc la suite est décroissante. Si r vaut 0, elle est constante.