Hoja de repaso: Les Ensembles de Nombres et Intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Intervalles, intersection et réunion

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels N : Ensemble des entiers naturels, noté N, constitué de 0, puis 1, 2, 3, etc.
• Entiers relatifs Z : Ensemble des entiers relatifs, noté Z, qui regroupe des entiers positifs, des entiers négatifs et 0.
• Nombres décimaux D : Ensemble des nombres décimaux, noté D, qui admet une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels Q : Ensemble des nombres rationnels, noté Q, dont l’écriture peut se faire sous forme de fraction avec un numérateur entier et un dénominateur non nul.
• Nombres réels R : Ensemble des nombres réels, noté R, qui contient les décimaux rationnels et aussi les nombres irrationnels comme π.

📝 Points essentiels

• Les ensembles sont emboîtés selon la chaîne N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.

💡 Astuce mémo

Chaîne d’emboîtement : N dans Z dans D dans Q dans R.

📖 2. Intervalles, intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé [a;b] : Un intervalle fermé [a;b] désigne l’ensemble des réels x tels que a≤x≤b.
• Intervalle ouvert ]a;b[ : Un intervalle ouvert ]a;b[ désigne l’ensemble des réels x tels que a<x<b.
• Intervalle avec +∞ ]a;+∞[ : Un intervalle ]a;+∞[ désigne l’ensemble des réels x tels que x>a.
• Intersection I∩J : L’intersection I∩J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à I et à J.
• Réunion I∪J : La réunion I∪J est l’ensemble des éléments qui appartiennent à I ou à J (ou aux deux).

📝 Points essentiels

• Les bornes d’un intervalle fermé sont incluses tandis que celles d’un intervalle ouvert ne le sont pas.

💡 Astuce mémo

Fermé = inclus (≤, ≥) ; Ouvert = exclu (<, >).

📊 Tableaux de synthèse

Chaîne d’inclusion des ensembles

Ensemble	Noté	Contient
N	N	0,1,2,3,…
Entiers relatifs	Z	entiers positifs, négatifs et 0
Nombres décimaux	D	écriture avec un nombre fini de décimales
Nombres rationnels	Q	fractions avec dénominateur non nul
Nombres réels	R	tous les nombres réels, y compris irrationnels

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’écriture d’un intervalle ouvert ]a;b[ avec un intervalle fermé [a;b] : les bornes changent d’inclusion.
2. Oublier que ]a;+∞[ décrit seulement les réels x tels que x>a, pas x≥a.
3. Croire que l’intersection I∩J rassemble les éléments de I ou de J : elle prend uniquement ceux présents dans les deux.
4. Croire que la réunion I∪J exclut les éléments communs : elle les inclut via “ou (ou les deux)”.
5. Confondre les ensembles D et Q : un décimal a une écriture finie, alors qu’un rationnel s’écrit comme fraction et a une écriture décimale périodique.
6. Méconnaître la chaîne N⊂Z⊂D⊂Q⊂R et inverser l’ordre des inclusions.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition et la notation de N, Z, D, Q et R.
2. Savoir écrire la chaîne d’inclusion N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
3. Savoir interpréter [a;b] en utilisant la condition a≤x≤b.
4. Savoir interpréter ]a;b[ en utilisant la condition a<x<b.
5. Savoir interpréter ]a;+∞[ en utilisant la condition x>a.
6. Savoir définir I∩J comme l’ensemble des éléments présents dans I et dans J.
7. Savoir définir I∪J comme l’ensemble des éléments présents dans I ou dans J, y compris les éléments communs.
8. Savoir distinguer l’inclusion des bornes entre intervalle fermé et intervalle ouvert.