Continuité en un point — définition ?
Limite en a = f(a), limite doit exister et être égale à la valeur.
Continuité sur un intervalle — rôle ?
Permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Prolongement par continuité — mécanisme ?
Utilise la limite en un point pour étendre la fonction.
Opérations sur fonctions continues — stabilité ?
Somme, produit, quotient (si g ≠ 0) restent continues.
Composition continue — règle ?
f ∈ C(J, R), u ∈ C(I, J) ⇒ f ◦ u ∈ C(I, R).
Théorème valeurs intermédiaires — assertion ?
f continue sur [a, b], prend toutes valeurs entre f(a) et f(b).
Image d’un intervalle — propriété ?
L’image par une fonction continue est un intervalle.
Théorème bornes atteintes — conclusion ?
f atteint ses bornes sur [a, b], extrêmes en x_m et x_M.
Fonctions monotones — implication ?
Continue et strictement monotone ⇒ bijection avec inverse continue.
Continuité en un point — critère ?
Limite en a = f(a), limite doit exister et être finie.
Continuité sur un intervalle — définition ?
Continue en chaque point de l’intervalle.
Prolongement par continuité — exemple ?
sin(x)/x en 0, limite = 1, prolongée par 1.
Opérations sur fonctions continues — exemple ?
f + g, f × g, f / g (g ≠ 0) sont continues.
Composition continue — exemple ?
e^{α ln(x)} continue sur R^+*, composée avec u continue.
Théorème valeurs intermédiaires — utilité ?
Existence d’une solution pour f(x) = y entre f(a) et f(b).
Image d’un intervalle — conséquence ?
f(I) est un intervalle si f est continue.
Théorème bornes atteintes — condition ?
f continue sur [a, b], atteint ses extrêmes.
Fonctions monotones — propriété ?
Continue et strictement monotone ⇒ bijection, inverse continue.
Pon a prueba tus conocimientos con 9 preguntas sobre Les propriétés fondamentales des fonctions continues.
1. Quelle est la définition de la continuité d'une fonction en un point a?
2. Quel est le résultat fondamental en analyse qui affirme qu'une fonction continue sur un intervalle fermé atteint ses bornes?
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