Continuité en un point (définie par Tsi (date)) : Soit f : I → R une fonction et a ∈ I. f est continue en a si et seulement si lim x→a f(x) = f(a). La limite doit exister et être égale à la valeur de la fonction en a.
Continuité à gauche et à droite (définie par Tsi (date)) : f est continue en a si lim x→a+ f(x) = lim x→a− f(x) = f(a). La continuité en un point peut être décomposée en ces deux limites unilatérales.
Discontinuité en un point (définie par Tsi (date)) : f n'est pas continue en a si la limite en a n'existe pas ou si elle existe mais n'est pas égale à f(a). Exemple : la fonction partie entière ⌊x⌋ est discontinue en tous les entiers.
Prolongement par continuité (définie par Tsi (date)) : Si lim x→a f(x) = ℓ ∈ R, alors la fonction ˜f, définie par ˜f(x) = f(x) si x ≠ a et ˜f(a) = ℓ, est appelée prolongement par continuité de f en a. Toute telle extension est continue en a.
1. Quelle est la définition de la continuité d'une fonction en un point a?
2. Quel est le résultat fondamental en analyse qui affirme qu'une fonction continue sur un intervalle fermé atteint ses bornes?
3. Quel est le rôle du prolongement par continuité d'une fonction en un point où elle n'est pas initialement définie ?
Continuité en un point — définition ?
Limite en a = f(a), limite doit exister et être égale à la valeur.
Continuité sur un intervalle — rôle ?
Permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Prolongement par continuité — mécanisme ?
Utilise la limite en un point pour étendre la fonction.
Opérations sur fonctions continues — stabilité ?
Somme, produit, quotient (si g ≠ 0) restent continues.
Composition continue — règle ?
f ∈ C(J, R), u ∈ C(I, J) ⇒ f ◦ u ∈ C(I, R).
Théorème valeurs intermédiaires — assertion ?
f continue sur [a, b], prend toutes valeurs entre f(a) et f(b).
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