Hoja de repaso: Mécanique classique

📋 Plan du Cours

1. Référentiels et description du mouvement
2. Vitesse et vecteur vitesse
3. Mouvements rectiligne et circulaire
4. Centre d’inertie et inertie
5. Quantité de mouvement
6. Travail et puissance mécaniques
7. Énergie cinétique
8. Énergie cinétique de rotation
9. Théorème de l’énergie cinétique
10. Énergies potentielles
11. Conservation de l’énergie mécanique
12. Champ électrostatique et énergie
13. Récepteur non ohmique
14. Condensateurs
15. Associations de condensateurs
16. Énergie du condensateur
17. Montages dérivateur et intégrateur
18. Alimentation continue

📖 1. Référentiels et description du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : L’objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un système.
• Repère d’espace : Défini par une origine fixe dans le référentiel et des axes de référence orthonormés indiquant la direction et le sens de la position du mobile.
• Trajectoire : D’un point est l’ensemble de ses positions successives dans un référentiel donné au cours du mouvement.
• Repère de temps : Comprend une origine des temps t₀ et une durée unitaire permettant d’associer à chaque instant une date t.
• Abscisse curviligne : Sur une courbe orientée, l’abscisse curviligne s est la longueur d’arc orientée parcourue depuis la position initiale M₀.

★ À maîtriser

• Le mouvement a un caractère relatif : un même objet peut être en mouvement par rapport à un observateur et immobile par rapport à un autre.

📐 Formule — Dans un espace muni du repère (O, i⃗, j⃗, k⃗), le vecteur-position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$, où x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote.

Compléments

• Le référentiel terrestre est adapté aux mouvements de courte durée sur Terre, le référentiel géocentrique aux mouvements de la Lune et des satellites artificiels, et le référentiel héliocentrique aux mouvements de la Terre et des autres planètes.

📖 2. Vitesse et vecteur vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse moyenne : Entre t₁ et t₂ est le rapport de la distance parcourue d à la durée Δt = t₂ − t₁.
• Vitesse instantanée : À l’instant t est la vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps très petit voisin de t.
• Vecteur vitesse : A pour origine la position du mobile, pour direction la tangente à la trajectoire, pour sens celui du mouvement et pour norme la vitesse instantanée en m/s.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La vitesse moyenne vérifie $V_m=\frac{d}{\Delta t}=\frac{d}{t_2-t_1}$ et s’exprime en m/s.

📖 3. Mouvements rectiligne et circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Possède une trajectoire droite et un vecteur vitesse constant ; le mobile parcourt donc des distances égales pendant des durées égales.
• Mouvement circulaire uniforme : Possède une trajectoire circulaire et une norme de vecteur vitesse constante, tandis que sa direction et son sens varient au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniforme est $x=v_0t+x_0$ lorsque t₀ = 0.

📐 Formule — La vitesse angulaire vérifie $\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ et la vitesse linéaire vérifie $v=R\omega$.

Compléments

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire, l’abscisse curviligne et l’abscisse angulaire sont liées par $s=R\theta$, avec s en m, R en m et θ en rad.

📖 4. Centre d’inertie et inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide : Un corps dont les différents points restent à des distances constantes les uns des autres au cours du mouvement.
• Solide pseudo-isolé : Un solide est pseudo-isolé lorsque la somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle.
• Centre d’inertie : Le seul point d’un solide pseudo-isolé en déplacement dont le mouvement est rectiligne uniforme ; il est aussi appelé centre de gravité ou centre de masse.

📝 Points essentiels

📌 Les forces extérieures causent le mouvement ou l’immobilité d’un système, tandis que les forces intérieures assurent la cohésion entre ses éléments.

📐 Formule — Pour deux masses m₁ en A et m₂ en B, la position du centre d’inertie G vérifie $\overline{AG}=\frac{m_2\,\overline{AB}}{m_1+m_2}$.

• Dans un référentiel galiléen, le principe d’inertie affirme que le centre d’inertie d’un solide pseudo-isolé est soit immobile, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.

📖 5. Quantité de mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : D’un solide de masse m dont le centre d’inertie a la vitesse v⃗G est la grandeur vectorielle $\vec{p}=m\vec{v}_G$.

★ À maîtriser

• Le vecteur quantité de mouvement a la même direction et le même sens que la vitesse, une norme p = mv et une unité kg·m·s⁻¹.

📐 Formule — Pour un système de deux solides, la quantité de mouvement totale est $\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2$.

• Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé reste constante.

📐 Formule — Pour un solide de masse constante, la variation de quantité de mouvement vérifie $\Delta\vec{p}=m\Delta\vec{v}$ et la force résultante vérifie $\vec{F}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$.

Compléments

• Un choc mou est un choc après lequel les deux solides restent accrochés, tandis qu’un choc élastique est un choc après lequel ils rebondissent sans rester collés.

📖 6. Travail et puissance mécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement de translation : Un solide effectue un mouvement de translation lorsque tous ses points ont le même vecteur vitesse à chaque instant.
• Force constante : Une force est constante lorsqu’elle conserve la même droite d’action, le même sens et la même valeur au cours du temps.
• Couple de forces : Formé de deux forces parallèles, de sens opposés et de même intensité.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le travail d’une force constante lors du déplacement AB est $W_{\vec F}=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}=F\,AB\cos\alpha$.

📐 Formule — Le travail du poids entre deux points séparés verticalement par une hauteur h vaut $W_P=mgh$ lors d’une descente et $W_P=-mgh$ lors d’une montée.

📐 Formule — La puissance moyenne d’une force est $\mathcal P=\frac{W}{\Delta t}$ et sa puissance instantanée est $\mathcal P=\vec F\cdot\vec v=Fv\cos\alpha$.

Compléments

📐 Formule — En rotation autour d’un axe fixe, le travail d’une force de moment constant est $W_{\vec F}=M_{\Delta}(\vec F)\,\alpha$ et sa puissance est $\mathcal P=M_{\Delta}(\vec F)\,\omega$.

📐 Formule — Le moment d’un couple de forces vaut $M_{couple}=F\,d$, où d est la distance entre les deux droites d’action.

📖 7. Énergie cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : D’un solide par rapport à l’axe Δ est $J_\Delta=\sum_i m_i r_i^2$ et s’exprime en kg·m².

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un point matériel ou d’un solide en translation est $E_C=\frac{1}{2}mv^2$.

Compléments

• Pour un anneau circulaire, un disque ou cylindre plein, et une sphère homogène, les moments d’inertie sont respectivement $J_\Delta=MR^2$, $J_\Delta=\frac12MR^2$ et $J_\Delta=\frac25MR^2$.

📖 8. Énergie cinétique de rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : D’un solide par rapport à l’axe Δ est la somme des produits de chaque masse élémentaire par le carré de sa distance à l’axe, soit $J_{\Delta}=\sum_{i=1}^{n}m_i r_i^2$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe vérifie $E_C=\frac{1}{2}J_{\Delta}\omega^2$, avec JΔ en kg·m² et ω en rad/s.

Compléments

• Pour un anneau circulaire homogène, un cylindre plein ou disque homogène et une sphère homogène, les moments d’inertie valent respectivement $J_{\Delta}=MR^2$, $J_{\Delta}=\frac{1}{2}MR^2$ et $J_{\Delta}=\frac{2}{5}MR^2$.

📖 9. Théorème de l’énergie cinétique

★ À maîtriser

• Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un solide entre deux positions est égale à la somme algébrique des travaux des forces extérieures, soit $\Delta E_C=\sum W_{\vec F_{ext}}$.

📐 Formule — Pour une translation rectiligne, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit $\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2=\sum W_{\vec F_{ext}}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une rotation autour d’un axe fixe, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit $\frac{1}{2}J_{\Delta}\omega_f^2-\frac{1}{2}J_{\Delta}\omega_i^2=\sum W_{\vec F_{ext}}$.

• Pour une force de 15 N et un frottement de 5 N agissant sur 15 m, les travaux sont respectivement 225 J et −75 J, soit une somme de 150 J.

💡 Astuce mémo

Travaux des forces → variation d’énergie cinétique.

📖 10. Énergies potentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de pesanteur uniforme : Un champ de pesanteur est uniforme lorsqu’il conserve la même direction, le même sens et la même intensité en tout point d’un domaine restreint au voisinage de la Terre.
• Énergie potentielle de pesanteur : L’énergie qu’un solide possède du fait de sa position par rapport à la Terre.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un champ de pesanteur uniforme, l’énergie potentielle de pesanteur d’un solide placé à l’altitude z, avec une altitude de référence z₀, vaut $E_{pp}=mg(z-z_0)$.

📐 Formule — Entre A et B, le travail du poids est l’opposé de la variation d’énergie potentielle de pesanteur, soit $W_{\vec P}=-\Delta E_p$.

Compléments

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur k déformé de x vaut $E_{pe}=\frac{1}{2}kx^2$, pour un allongement ou une compression.

💡 Astuce mémo

Le poids diminue l’énergie potentielle, tandis que le ressort stocke l’énergie par déformation.

📖 11. Conservation de l’énergie mécanique

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie mécanique : D’un solide est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle, soit $E_m=E_c+E_p$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec le sol comme référence des altitudes, l’énergie mécanique d’un solide en translation vaut $E_m=\frac{1}{2}mv^2+mgz$.

• Lorsqu’un solide est soumis à son poids et à d’autres forces dont le travail est nul, son énergie mécanique se conserve au cours du déplacement.

📌 Lorsque les forces de frottement travaillent, l’énergie mécanique n’est pas conservée et diminue au cours du déplacement, les frottements étant des forces non conservatives.

Compléments

📐 Formule — Pour une particule en chute libre lancée à la vitesse v₀ depuis la hauteur h, la vitesse au sol vérifie $v=\sqrt{v_0^2+2gh}$.

📖 12. Champ électrostatique et énergie

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrostatique : Il existe un champ électrostatique dans une région de l’espace si une charge électrique placée en un point de cette région est soumise à une force électrostatique.

★ À maîtriser

📐 Formule — La force exercée sur une charge q placée dans un champ électrostatique est donnée par $\vec F=q\vec E$.

• Le vecteur champ électrostatique et la force sont colinéaires ; ils ont le même sens si q>0 et des sens opposés si q<0.

📐 Formule — Entre deux plaques parallèles séparées par une distance d et soumises à la tension UAB, l’intensité d’un champ électrostatique uniforme vaut $E=\frac{U_{AB}}{d}$.

📐 Formule — Le travail de la force électrostatique entre A et B vaut $W_{\vec F}=qU_{AB}$ et la variation d’énergie potentielle électrostatique vaut $\Delta E_{pe}=-qU_{AB}$.

Compléments

• Le champ créé par une charge positive est divergent, tandis que celui créé par une charge négative est convergent ; son intensité s’exprime en N/C ou en V/m.

📐 Formule — Sans frottement, l’énergie totale d’une charge électrique dans un champ électrostatique reste constante et vaut $E=\frac{1}{2}mv^2+qV$.

📖 13. Récepteur non ohmique

🔑 Notions clés & Définitions

• Récepteur : Un convertisseur d’énergie qui consomme de l’énergie électrique et la transforme en une ou plusieurs autres formes d’énergie, comme l’énergie mécanique, thermique ou chimique.
• F.c.é.m. : E′ d’un récepteur linéarisé est la tension minimale nécessaire à son fonctionnement et correspond à l’ordonnée à l’origine de sa caractéristique linéarisée.

★ À maîtriser

📐 Formule — La loi d’Ohm d’un récepteur non ohmique linéarisé est $U=E'+r'I$.

📐 Formule — Dans un récepteur, la puissance reçue est $P_r=UI$, la puissance utile est $P_u=E'I$ et la puissance dissipée par effet Joule est $P_J=r'I^2$.

Compléments

📐 Formule — La résistance interne r′ d’un récepteur linéarisé est le coefficient directeur de sa caractéristique et vérifie $r'=\frac{\Delta U}{\Delta I}$.

📐 Formule — Le rendement d’un récepteur est le rapport de sa puissance utile à sa puissance reçue, soit $\eta=\frac{P_u}{P_r}=\frac{E'}{U}$.

📖 14. Condensateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur : Un composant constitué de deux armatures conductrices séparées par un milieu isolant appelé diélectrique, capable d’accumuler de l’électricité.

★ À maîtriser

• Lors de la charge, un bref courant circule, la tension augmente progressivement jusqu’à celle du générateur et les armatures portent des charges opposées +Q et −Q ; lors de la décharge, un courant bref circule en sens inverse et la tension s’annule rapidement.

📐 Formule — La capacité d’un condensateur est définie par $C=\frac{q}{U_{AB}}$, donc $q=CU_{AB}$, et s’exprime en farads.

📐 Formule — Pour un condensateur plan contenant un diélectrique de permittivité relative εr, la capacité vaut $C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{d}$.

• En série, les condensateurs portent la même charge et leurs tensions s’additionnent, tandis qu’en parallèle ils supportent la même tension et leurs charges s’additionnent.

📐 Formule — Pour des condensateurs en série, la capacité équivalente vérifie $\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}$, tandis qu’en parallèle elle vérifie $C=\sum_{i=1}^{n}C_i$.

Compléments

📐 Formule — La charge reçue par un condensateur pendant une durée Δt parcourue par un courant d’intensité I vaut $Q=I\Delta t$.

📖 15. Associations de condensateurs

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n condensateurs de capacités $C_1,C_2,\ldots,C_n$ associés en série, la capacité équivalente vérifie $\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}$.

📐 Formule — Pour n condensateurs associés en parallèle, la capacité équivalente vérifie $C=\sum_{i=1}^{n}C_i$.

Compléments

• Pour $C_1=0,4\,\mu F$ et $C_2=0,5\,\mu F$, la capacité équivalente vaut $0,22\,\mu F$ en série et $0,9\,\mu F$ en parallèle.

💡 Astuce mémo

Série : même charge ; parallèle : même tension

📖 16. Énergie du condensateur

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie emmagasinée par un condensateur est $\mathcal E=\frac{1}{2}qU=\frac{q^2}{2C}=\frac{1}{2}CU^2$, avec $q$ la charge, $U$ la tension et $C$ la capacité.

📐 Formule — Dans le circuit étudié, la puissance fournie par le générateur vérifie $\mathcal P_g=\mathcal P_R+\mathcal P_C$.

📌 Un condensateur électrochimique est polarisé et son armature positive doit être reliée au potentiel le plus élevé.

Compléments

• Pour $R=25\,k\Omega$, $C=8\,nF$, $E=5\,V$ et $i=100\,\mu A$, on obtient $\mathcal P_g=0,5\,mW$ et $\mathcal P_R=0,25\,mW$.

• À la fin de la charge, le condensateur vérifie $U_C=E=5\,V$, emmagasine $\mathcal E_C=10^{-7}\,J$ et porte une charge $q=4\times10^{-8}\,C$.

📖 17. Montages dérivateur et intégrateur

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le montage dérivateur idéal, la tension de sortie vérifie $U_S=-RC\frac{dU_e}{dt}$.

📐 Formule — Dans le montage intégrateur idéal, la tension de sortie vérifie $\frac{dU_S(t)}{dt}=-\frac{U_e(t)}{RC}$.

Compléments

• Le montage dérivateur transforme une tension d’entrée triangulaire en tension de sortie en créneaux.

• Pour une tension d’entrée de période $T=20\,ms$, la fréquence vaut $N=\frac{1}{T}=50\,Hz$.

📖 18. Alimentation continue

🔑 Notions clés & Définitions

• Réfraction de la lumière : Le changement brusque de direction d’un rayon lorsqu’il traverse la surface séparant deux milieux transparents d’indices différents.
• Lentille mince : Un milieu homogène et transparent limité par deux dioptres sphériques, ou par un dioptre plan et un dioptre sphérique, dont l’épaisseur est faible devant les rayons de courbure.
• Distance focale : $f'=\overline{OF'}$ ; elle est positive pour une lentille convergente et négative pour une lentille divergente.
• Prisme : Un bloc de verre taillé, classiquement composé de trois faces sur une base triangulaire, qui peut réfracter, réfléchir ou disperser la lumière.

📝 Points essentiels

• Une alimentation stabilisée comprend un transformateur, un pont de quatre diodes, un condensateur de filtrage et une charge résistive.

• Le pont de Graetz conserve les alternances positives et redresse les alternances négatives afin d’obtenir une tension périodique de signe constant.

• Le condensateur lisse la tension redressée ; plus sa capacité est grande, plus les ondulations sont faibles.

• Un générateur idéal de tension impose $U=E$ quelle que soit la charge, tandis qu’un générateur idéal de courant impose un courant constant $I_0$ quelle que soit la tension demandée.

📐 Formule — La réfraction vérifie $n_1\sin(i_1)=n_2\sin(i_2)$, et les rayons incident et réfracté appartiennent au plan d’incidence.

📐 Formule — Lorsque la lumière passe d’un milieu d’indice $n_1$ vers un milieu d’indice $n_2$ avec $n_2>n_1$, l’angle limite vérifie $\lambda=\sin^{-1}\left(\frac{n_1}{n_2}\right)$.

📐 Formule — L’indice de réfraction d’un milieu transparent est $n=\frac{c}{v}$, où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide et $v$ sa vitesse dans le milieu.

• Lorsqu’un rayon passe d’un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent avec un angle d’incidence supérieur à l’angle limite, il est totalement réfléchi dans le milieu incident.

• Une lentille convergente possède des bords minces et fait converger un faisceau parallèle, tandis qu’une lentille divergente possède des bords épais et rend ce faisceau divergent.

• Un rayon passant par le centre optique n’est pas dévié, un rayon parallèle à l’axe ressort en passant par le foyer image et un rayon passant par le foyer objet ressort parallèle à l’axe.

📐 Formule — La conjugaison des lentilles s’écrit $\frac{1}{p'}-\frac{1}{p}=\frac{1}{f'}$, avec $p=\overline{OA}$ et $p'=\overline{OA'}$.

📐 Formule — La vergence d’une lentille est $C=\frac{1}{f'}$ lorsque $f'$ est exprimée en mètre, et elle s’exprime en dioptries.

📊 Tableaux de synthèse

Types de mouvement uniforme

Mouvement	Trajectoire	Vitesse
MRU	Droite	Vecteur constant
MCU	Cercle ou arc de cercle	Norme constante, direction variable

Associations de condensateurs

Montage	Grandeur commune	Capacité équivalente
Série	Charge q	1/C = Σ(1/Cᵢ)
Parallèle	Tension U	C = ΣCᵢ