Hoja de repaso: Modèles d'écoulements potentiels en 2D

📋 Plan du Cours

1. Écoulement potentiel et hypothèses du modèle
2. Potentiel complexe et fonction courant
3. Écoulement uniforme : lignes et équipotentielles
4. Source ou puits plan : débit et réseaux
5. Vortex libre : circulation et réseaux
6. Doublet et dipôle : limite source puits
7. Vitesse complexe et relations de débit

📖 1. Écoulement potentiel et hypothèses du modèle

🔑 Notions clés & Définitions

• Écoulement potentiel : Modèle mathématique décrivant l’écoulement autour d’un objet à partir d’une représentation analytique du champ de vitesses.
• Fluide parfait : Hypothèse de modèle où le fluide n’oppose pas de viscosité, ce qui permet une description simplifiée de l’écoulement.
• Fluide incompressible : Hypothèse de modèle où la densité reste constante, ce qui simplifie les équations de l’écoulement.
• Écoulement irrotationnel : Hypothèse de modèle où le champ de vitesse ne présente pas de rotation locale, ce qui rend possible une description par potentiel.
• Potentiel complexe des vitesses : Fonction analytique complexe notée $f$ qui encode le potentiel et la fonction courant via $f(z)=\varphi+i\psi$.

📝 Points essentiels

• Les hypothèses du cours sont : fluide parfait, incompressible et irrotationnel.
• Sous ces hypothèses, l’écoulement se décrit par une fonction analytique complexe appelée potentiel complexe des vitesses.
• La variable complexe est $z=x+iy$ (coordonnées cartésiennes) et $z=re^{i\theta}$ (coordonnées polaires/cylindriques).
• Le potentiel complexe s’écrit $f(z)=\varphi+i\psi$ avec $\varphi$ et $\psi$ fonctions liées au champ de vitesses.
• Si l’écoulement est stationnaire, trajectoires des particules et lignes de courant coïncident.
• Les équipotentielles $(\varphi=\text{cste})$ et les lignes de courant $(\psi=\text{cste})$ forment deux réseaux orthogonaux.

💡 Astuce mémo

Hypothèses = 3 mots-clés : parfait + incompressible + irrotationnel → potentiel complexe possible.

📖 2. Potentiel complexe et fonction courant

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction courant : Grandeur $\psi$ dont les courbes $\psi=\text{cste}$ donnent les lignes de courant du champ d’écoulement.
• Potentiel des vitesses : Grandeur $\varphi$ dont les courbes $\varphi=\text{cste}$ donnent les équipotentielles du champ d’écoulement.
• Relations de Cauchy : Relations reliant les dérivées de $\varphi$ et $\psi$ qui assurent la cohérence du potentiel complexe analytique.
• Lignes de courant : Courbes du plan définies par $\psi=\text{cste}$, tangentes au vecteur vitesse en régime stationnaire.
• Équipotentielles : Courbes du plan définies par $\varphi=\text{cste}$, orthogonales aux lignes de courant.

📝 Points essentiels

• Le potentiel complexe s’écrit $f(z)=\varphi+i\psi$.
• Les lignes de courant correspondent à $\psi=\text{cste}$ et les équipotentielles à $\varphi=\text{cste}$.
• Les réseaux $\varphi=\text{cste}$ et $\psi=\text{cste}$ sont orthogonaux deux à deux.
• Les relations de Cauchy relient les dérivées en $x$ et $y$ : $\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}$ et $\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}$.
• En coordonnées cylindriques, les relations de Cauchy s’écrivent aussi avec $r$ et $\theta$ : $\frac{\partial \varphi}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}$ et $\frac{\partial \varphi}{\partial !\
• definition? Wait.

📖 3. Écoulement uniforme : lignes et équipotentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction courant : Grandeur $\psi$ dont les courbes $\psi=\text{cste}$ donnent les lignes de courant du champ d’écoulement.
• Potentiel des vitesses : Grandeur $\varphi$ dont les courbes $\varphi=\text{cste}$ donnent les équipotentielles du champ d’écoulement.
• Relations de Cauchy : Relations reliant les dérivées de $\varphi$ et $\psi$ qui traduisent l’analyticité du potentiel complexe.
• Lignes de courant : Courbes définies par $\psi=\text{cste}$, confondues avec les trajectoires en régime stationnaire.
• Équipotentielles : Courbes définies par $\varphi=\text{cste}$, orthogonales aux lignes de courant.

📝 Points essentiels

• Le potentiel complexe s’écrit $f(z)=\varphi+i\psi$.
• Les lignes de courant sont données par $\psi=\text{cste}$ et les équipotentielles par $\varphi=\text{cste}$.
• Les deux familles de courbes sont orthogonales deux à deux.
• En cartésien, $\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}$ et $\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}$.
• En cylindrique, $\frac{\partial \varphi}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}$ et $\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}=-r\frac{\partial \psi}{\partial r}$.
• Le champ de vitesses s’obtient à partir de $\varphi$ et $\psi$ via les dérivées (voir cas cartésien/cylindrique dans le cours).

💡 Astuce mémo

Cauchy = “croisé” : dérivée de $\varphi$ en $x$ = dérivée de $\psi$ en $y$, et signe opposé pour l’autre croisement.

📖 4. Source ou puits plan : débit et réseaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Écoulement uniforme : Écoulement modélisé par un potentiel complexe linéaire $f(z)=u_\infty z$ correspondant à une vitesse constante.
• Vitesse uniforme $u_\infty$ : Paramètre de l’écoulement uniforme qui fixe la valeur de la vitesse imposée dans le modèle.
• Lignes de courant horizontales : Famille de droites parallèles à l’axe $Ox$ obtenue pour $\psi=\text{cste}$ dans l’écoulement uniforme.
• Équipotentielles verticales : Famille de droites parallèles à l’axe $Oy$ obtenue pour $\varphi=\text{cste}$ dans l’écoulement uniforme.
• Potentiel complexe $f(z)=u_\infty z$ : Forme du potentiel complexe qui génère directement les expressions de $\varphi$ et $\psi$ pour l’écoulement uniforme.

📝 Points essentiels

• Le potentiel complexe de l’écoulement uniforme est $f(z)=u_\infty z$.
• En développant, $f(z)=u_\infty x+i\,u_\infty y$, donc $\varphi=u_\infty x$ et $\psi=u_\infty y$.
• Les lignes de courant vérifient $\psi=\text{cste}$, ce qui donne $y=\text{cste}$ : droites horizontales parallèles à $Ox$.
• Les équipotentielles vérifient $\varphi=\text{cste}$, ce qui donne $x=\text{cste}$ : droites verticales parallèles à $Oy$.
• Les composantes cartésiennes satisfont $v_x=\partial\varphi/\partial x= u_\infty$ et $v_y=\partial\varphi/\partial y=0$.
• En coordonnées cylindriques, le cours indique $v_r=u_\infty\cos\theta$ et $v_\theta=-u_\infty\sin\theta$ (via les dérivées de $\varphi$ et $\psi$).

💡 Astuce mémo

Uniforme : $\psi\propto y$ → lignes $y=\text{cste}$ ; $\varphi\propto x$ → équipotentielles $x=\text{cste}$.

📖 5. Vortex libre : circulation et réseaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Écoulement uniforme : Écoulement modélisé par un potentiel complexe linéaire $f(z)=u_\infty z$ correspondant à une vitesse constante.
• Vitesse uniforme $u_\infty$ : Paramètre de l’écoulement uniforme qui fixe la valeur de la vitesse imposée dans le modèle.
• Lignes de courant horizontales : Famille de droites parallèles à l’axe $Ox$ obtenue pour $\psi=\text{cste}$ dans l’écoulement uniforme.
• Équipotentielles verticales : Famille de droites parallèles à l’axe $Oy$ obtenue pour $\varphi=\text{cste}$ dans l’écoulement uniforme.
• Potentiel complexe $f(z)=u_\infty z$ : Forme du potentiel complexe qui génère directement les expressions de $\varphi$ et $\psi$ pour l’écoulement uniforme.

📝 Points essentiels

• Le potentiel complexe de l’écoulement uniforme est $f(z)=u_\infty z$.
• En développant, $f(z)=u_\infty x+i\,u_\infty y$, donc $\varphi=u_\infty x$ et $\psi=u_\infty y$.
• Les lignes de courant vérifient $\psi=\text{cste}$, ce qui donne $y=\text{cste}$ : droites horizontales parallèles à $Ox$.
• Les équipotentielles vérifient $\varphi=\text{cste}$, ce qui donne $x=\text{cste}$ : droites verticales parallèles à $Oy$.
• Les composantes cartésiennes satisfont $v_x=\partial\varphi/\partial x= u_\infty$ et $v_y=\partial\varphi/\partial y=0$.
• En coordonnées cylindriques, le cours indique $v_r=u_\infty\cos\theta$ et $v_\theta=-u_\infty\sin\theta$ (via les dérivées de $\varphi$ et $\psi$).

💡 Astuce mémo

Uniforme : $\psi\propto y$ → lignes $y=\text{cste}$ ; $\varphi\propto x$ → équipotentielles $x=\text{cste}$.

📖 6. Doublet et dipôle : limite source puits

🔑 Notions clés & Définitions

• Source plan : Écoulement élémentaire modélisé par un potentiel complexe logarithmique avec constante de débit positive.
• Puits plan : Écoulement élémentaire modélisé par un potentiel complexe logarithmique avec constante de débit négative.
• Constante $c$ : Paramètre du potentiel logarithmique qui fixe l’intensité de la source ou du puits.
• Débit volumique par unité de hauteur $q_v$ : Quantité de débit associée à la constante $c$ dans le modèle plan, utilisée pour exprimer le potentiel.
• Réseau des lignes de courant : Famille de courbes obtenue en imposant $\psi=\text{cste}$ pour la source/puits.

📝 Points essentiels

• Le potentiel complexe de la source/puits centré en $O$ est $f(z)=c\ln(z)$ (écrit sous forme $c\ln(re^{i\theta})$).
• Pour $f(z)=c\ln(re^{i\theta})$, on obtient $\varphi=c\ln(r)$ et $\psi=c\theta$.
• Les lignes de courant viennent de $\psi=\text{cste}$, donc $\theta=\text{cste}$ : demi-droites issues de l’origine.
• Les équipotentielles viennent de $\varphi=\text{cste}$, donc $c\ln(r)=\text{cste}$ : cercles centrés en $O$.
• Le cours relie la constante $c$ au débit volumique par unité de hauteur : $c=\dfrac{q_v}{2\pi}$.
• Si $c<0$ on parle de puits et si $c>0$ on parle de source ; la vitesse augmente en s’approchant de $O$ et s’amortit en s’en éloignant.

💡 Astuce mémo

Logarithme : $\varphi\sim\ln r$ → équipotentielles = cercles ; $\psi\sim\theta$ → lignes = demi-droites.

📖 7. Vitesse complexe et relations de débit

🔑 Notions clés & Définitions

• Vortex libre : Écoulement élémentaire modélisé par un potentiel complexe logarithmique à partie imaginaire imposant une circulation.
• Circulation $\Gamma$ : Paramètre associé au vortex, mesurant la circulation du champ de vitesse autour de l’origine.
• Constante $c$ du vortex : Paramètre du potentiel du vortex, relié à la circulation $\Gamma$ dans le modèle.
• Réseau des lignes de courant : Famille de courbes obtenue en imposant $\psi=\text{cste}$ pour le vortex.
• Réseau des équipotentielles : Famille de courbes obtenue en imposant $\varphi=\text{cste}$ pour le vortex.

📝 Points essentiels

• Le potentiel complexe du vortex libre centré en $O$ est $f(z)=-i\,c\ln(z)$.
• En développant, le cours donne $\varphi=c\theta$ et $\psi=-c\ln(r)$ (à partir de $-i c\ln(re^{i\theta})$).
• Les lignes de courant viennent de $\psi=\text{cste}$, donc $c\ln(r)=\text{cste}$ : cercles centrés en $O$.
• Les équipotentielles viennent de $\varphi=\text{cste}$, donc $\theta=\text{cste}$ : demi-droites issues de l’origine.
• Le cours donne $v_r=\partial\varphi/\partial r=0$ et $v_\theta=\partial\varphi/\partial\theta\cdot(1/r)=-\partial\psi/\partial r=c/r$.
• La constante $c$ représente la circulation et vérifie $c=\dfrac{\Gamma}{2\pi}$ ; la vitesse augmente près de $O$ et tend vers 0 à distance infinie.

💡 Astuce mémo

Vortex : $\varphi\sim\theta$ → équipotentielles = demi-droites ; $\psi\sim\ln r$ → lignes = cercles.

📊 Tableaux de synthèse

Source/puits vs vortex : rôle de $\varphi$ et $\psi$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\varphi$ et $\psi$ : pour la source/puits, $\psi$ fixe $\theta$ (demi-droites) tandis que $\varphi$ fixe $r$ (cercles).
2. Oublier le signe de $c$ : $c<0$ correspond à un puits et $c>0$ à une source.
3. Se tromper sur la variable complexe : $z=x+iy$ en cartésien et $z=re^{i\theta}$ en cylindrique.
4. Croire que les lignes de courant et trajectoires sont toujours confondues : le cours précise la condition de stationnarité.
5. Mélanger circulation et débit : pour le vortex, $c=\Gamma/(2\pi)$, alors que pour la source/puits, $c=q_v/(2\pi)$.
6. Penser que la vitesse est non nulle radialement pour le vortex : le cours donne $v_r=0$ et une composante tangentielle $\propto 1/r$.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer les hypothèses du modèle (fluide parfait, incompressible, irrotationnel) et relier l’analyticité à $f(z)=\varphi+i\psi$.
2. Utiliser les relations de Cauchy pour relier dérivées de $\varphi$ et $\psi$ en cartésien et en cylindrique.
3. Déterminer les lignes de courant et équipotentielles d’un écoulement uniforme à partir de $f(z)=u_\infty z$.
4. Reconnaître la géométrie des réseaux pour une source/puits plan : demi-droites pour $\psi=\text{cste}$ et cercles pour $\varphi=\text{cste}$.
5. Relier la constante $c$ au débit volumique par unité de hauteur $q_v$ et distinguer source ($c>0$) de puits ($c<0$).
6. Reconnaître la géométrie des réseaux pour un vortex libre : cercles pour $\psi=\text{cste}$ et demi-droites pour $\varphi=\text{cste}$.
7. Relier la constante $c$ à la circulation $\Gamma$ et savoir que $v_r=0$ et $v_\theta=c/r$ pour le vortex centré.
8. Écrire le potentiel complexe d’un dipôle comme limite source+puits et donner la forme finale $f(z)=-\dfrac{P}{2\pi z}$ avec $P=2aq$.
9. Savoir exprimer la vitesse complexe $w(z)=\dfrac{df}{dz}$ et relier $w(z)$ aux composantes $v_x$ et $v_y$.