Hoja de repaso: Nombres complexes en forme algébrique

📋 Plan du Cours

1. Construction et écriture des complexes
2. Opérations et puissances complexes
3. Plan complexe et affixes
4. Conjugué d’un nombre complexe
5. Module et calculs de quotients
6. Géométrie des distances et translations
7. Disques, alignement et homothéties
8. Inégalités autour du module

📖 1. Construction et écriture des complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : S’écrit de manière unique sous la forme $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb{R}$ et $i^2=-1$.
• Partie réelle : Pour $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb{R}$, $x$ est la partie réelle de $z$, notée $\operatorname{Re}(z)$.
• Partie imaginaire : Pour $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb{R}$, $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\operatorname{Im}(z)$, et c’est un nombre réel.

★ À maîtriser

• Un complexe est réel si sa partie imaginaire est nulle, et il est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.

Compléments

📌 Deux nombres complexes $x+iy$ et $x'+iy'$ sont égaux si et seulement si $x=x'$ et $y=y'$; en particulier, $x+iy=0$ si et seulement si $x=y=0$.

📖 2. Opérations et puissances complexes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, on a $z+z'=(x+x')+i(y+y')$ et $zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$.

📐 Formule — Si $z=x+iy\neq0$, alors son inverse est $\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout complexe $z$, son opposé est $-z=-x-iy$ lorsqu’il s’écrit $z=x+iy$.

📐 Formule — Pour $z,z'\in\mathbb{C}$ et $n,m\in\mathbb{Z}$, on a $z^nz^m=z^{n+m}$, $z^m/z^n=z^{m-n}$ si $z\neq0$, et $(z^n)^m=z^{nm}$.

📖 3. Plan complexe et affixes

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe d’un point : Dans un repère orthonormal direct, le point de coordonnées $(x,y)$ a pour affixe le complexe $z=x+iy$.
• Complexe associé à un vecteur : Le vecteur $x\vec e_1+y\vec e_2$ est associé au complexe $x+iy$.

📝 Points essentiels

• Si les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.

📖 4. Conjugué d’un nombre complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : De $z=x+iy$ est le complexe $\overline z=x-iy=\operatorname{Re}(z)-i\operatorname{Im}(z)$.

★ À maîtriser

• Un complexe est réel si et seulement si $z=\overline z$, tandis qu’il est imaginaire pur si et seulement si $z=-\overline z$.

📐 Formule — Pour tout complexe $z$, $\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}{2}$ et $\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous complexes $z,z'$, on a $\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$ et $\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$.

📖 5. Module et calculs de quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : D’un complexe $z$ est $|z|=\sqrt{\operatorname{Re}(z)^2+\operatorname{Im}(z)^2}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout complexe $z$, on a $|z|^2=z\overline z$ et $|z|\geq0$.

• Pour déterminer les parties réelle et imaginaire d’un quotient $z/z'$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\overline{z'}$ afin d’obtenir au dénominateur le réel $|z'|^2$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous complexes $z,z'$, on a $|zz'|=|z||z'|$ et, si $z'\neq0$, $\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$.

📖 6. Géométrie des distances et translations

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : L’ensemble $U=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}$ est le cercle trigonométrique.
• Translation complexe : La translation de vecteur d’affixe $a$ est l’application $t_a:\mathbb{C}\to\mathbb{C},\ z\mapsto z+a$.

📝 Points essentiels

• Le module $|z|$ représente la distance entre l’origine et le point d’affixe $z$, et $|z_B-z_A|$ représente la distance entre les points d’affixes $z_A$ et $z_B$.

• Ajouter un complexe $a$ à l’affixe $z$ donne $z'=z+a$ et correspond à la translation de vecteur d’affixe $a$.

📖 7. Disques, alignement et homothéties

🔑 Notions clés & Définitions

• Disque ouvert : De centre d’affixe $a$ et de rayon $R>0$ est $B(a,R)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-a|<R\}$.
• Cercle : De centre d’affixe $a$ et de rayon $R>0$ est $S(a,R)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-a|=R\}$.
• Disque fermé : De centre d’affixe $a$ et de rayon $R>0$ est $B(a,R)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-a|\leq R\}$.

📝 Points essentiels

📌 Trois points d’affixes $z_A,z_B,z_C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\in\mathbb{R}$.

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux si et seulement si $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}$.

• L’homothétie de centre d’affixe $w$ et de rapport réel $\lambda$ transforme $z$ en $z'=\lambda(z-w)+w$.

📖 8. Inégalités autour du module

★ À maîtriser

• Il n’existe pas d’ordre prolongeant celui des réels sur les complexes, si bien que l’expression $1+i\geq0$ n’a pas de sens, mais les modules peuvent être comparés car ils sont réels.

📐 Formule — Pour tous complexes $z,z'$, l’inégalité triangulaire est $|z+z'|\leq|z|+|z'|$, avec égalité si et seulement si $z$ et $z'$ sont sur une même demi-droite d’origine l’origine.

📐 Formule — Pour tous complexes $z,z'$, on a $\big||z|-|z'|\big|\leq|z\pm z'|\leq|z|+|z'|$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout complexe $z$, on a $|\operatorname{Re}(z)|\leq|z|$ et $|\operatorname{Im}(z)|\leq|z|$, avec égalité respectivement si $z\in\mathbb{R}$ et si $z\in i\mathbb{R}$.