Cuestionario: Nombres, inégalités et fonctions — 23 preguntas

1. Si a < b, quelle transformation conserve nécessairement l’ordre entre les deux membres ?

A. Diviser uniquement le premier membre par un nombre positif

B. Ajouter le même nombre aux deux membres

C. Multiplier les deux membres par un nombre négatif

D. Soustraire un nombre différent à chaque membre

Answer: (B)

Explicación

Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve l’ordre : a + c < b + c. Les autres transformations proposées ne garantissent pas cette conservation.

2. Sachant que 3 < 5, quelle comparaison obtient-on en multipliant les deux membres par −2 ?

A. −6 > −10

B. 6 > 10

C. −6 = −10

D. −6 < −10

Answer: (A)

Explicación

La multiplication par un nombre négatif inverse l’ordre. Ainsi, 3 < 5 devient 3 × (−2) > 5 × (−2), donc −6 > −10.

3. Pour quel type de nombre positif a la suite des puissances a, a², a³ est-elle décroissante ?

A. Pour a = 1

B. Pour a > 1

C. Pour 0 < a < 1

D. Pour tout nombre a positif

Answer: (C)

Explicación

Lorsque 0 < a < 1, les puissances décroissent : a³ < a² < a. Pour a > 1, elles croissent au contraire.

4. Que signifie encadrer un nombre z ?

A. Remplacer z par un nombre entier proche

B. Trouver un nombre a tel que z < a

C. Trouver deux nombres a et b tels qu'a < z < b

D. Écrire z comme le produit de deux nombres

Answer: (C)

Explicación

Encadrer z consiste à déterminer deux nombres a et b qui vérifient a < z < b. Le nombre z se situe donc entre les deux bornes.

5. Si a − b < 0, quelle relation entre a et b est nécessairement vraie ?

A. a > b

B. a < b

C. a et b sont nécessairement positifs

D. a = b

Answer: (B)

Explicación

Une différence négative signifie que le premier nombre est inférieur au second : a − b < 0 implique a < b.

6. Lequel de ces nombres appartient à l’ensemble des entiers naturels N ?

A. 3/2

B. −7,5

C. −3

D. 0

Answer: (D)

Explicación

Les entiers naturels comprennent 0 et les entiers positifs. −3, 3/2 et −7,5 n’appartiennent pas à N.

7. Lequel de ces nombres n’appartient pas à l’ensemble des entiers relatifs Z ?

A. −6

B. 3/2

C. 5

D. 0

Answer: (B)

Explicación

Les entiers relatifs sont des nombres entiers positifs, négatifs ou nuls. 3/2 est une fraction non entière et n’appartient donc pas à Z.

8. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles de nombres est correcte ?

A. N ⊂ D ⊂ Z ⊂ R ⊂ Q

B. N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

C. R ⊂ Q ⊂ D ⊂ Z ⊂ N

D. Z ⊂ N ⊂ Q ⊂ D ⊂ R

Answer: (B)

Explicación

Les ensembles sont inclus selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Chaque ensemble y est contenu dans le suivant.

9. Pourquoi 1/3 n’appartient-il pas à l’ensemble des nombres décimaux D ?

A. Parce qu’il est négatif

B. Parce que son écriture décimale comporte une infinité de chiffres non périodiques

C. Parce que son écriture décimale ne comporte pas un nombre fini de chiffres après la virgule

D. Parce qu’il est irrationnel

Answer: (C)

Explicación

Un nombre décimal possède une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Or 1/3 = 0,333… possède une écriture décimale infinie.

10. Pour un réel non nul a, quelle est la valeur de a^0 ?

A. 1

B. 0

C. a²

D. a

Answer: (A)

Explicación

Par convention, toute puissance a^0 vaut 1 lorsqu'a est non nul. La valeur a^0 ne correspond donc pas à un produit comportant un facteur a.

11. Comment simplifier le produit 5^3 × 5^4 ?

A. 5^7

B. 5^1

C. 10^7

D. 5^12

Answer: (A)

Explicación

Le produit de puissances de même base se simplifie en additionnant les exposants : 5^3 × 5^4 = 5^(3+4) = 5^7.

12. Quelle est la valeur de (−2)^4, et pourquoi diffère-t-elle de −2^4 ?

A. (−2)^4 = 8, car l’exposant est pair

B. (−2)^4 = 16, car le signe moins appartient à la base

C. (−2)^4 = −8, car la base est négative

D. (−2)^4 = −16, car le signe moins reste extérieur

Answer: (B)

Explicación

Dans (−2)^4, le signe moins appartient à la base et le résultat est positif : 16. Dans −2^4, la puissance porte seulement sur 2, puis le signe moins est appliqué, donnant −16.

13. Que signifie « 24 est divisible par 6 » ?

A. 24 est un nombre premier

B. La division de 24 par 6 donne un quotient entier sans reste

C. 6 est nécessairement supérieur à 24

D. La division de 6 par 24 donne un quotient entier sans reste

Answer: (B)

Explicación

24 est divisible par 6 car 24 ÷ 6 = 4, un quotient entier obtenu sans reste. Ainsi, 6 est un diviseur de 24 et 24 est un multiple de 6.

14. Lequel de ces nombres est premier ?

A. 35

B. 21

C. 29

D. 27

Answer: (C)

Explicación

29 n’admet comme diviseurs que 1 et 29 : c’est donc un nombre premier. Les autres nombres possèdent au moins un diviseur supplémentaire.

15. Quelle affirmation décrit la décomposition en facteurs premiers de tout entier supérieur ou égal à 2 ?

A. Il peut s’écrire comme un produit de nombres premiers

B. Il est nécessairement lui-même un nombre premier

C. Il peut toujours s’écrire comme une somme de nombres premiers distincts

D. Il possède toujours exactement deux diviseurs

Answer: (A)

Explicación

Tout entier supérieur ou égal à 2 est le produit de nombres premiers. Cette propriété concerne aussi les nombres composés, qui peuvent être décomposés en plusieurs facteurs premiers.

16. Quelle transformation correspond à un développement de 3(x+5) ?

A. x+15

B. 3x+15

C. 3(x+5)

D. 3x+5

Answer: (B)

Explicación

La distributivité donne 3(x+5) = 3x + 15. Passer d’une forme avec parenthèses à une somme constitue un développement.

17. Quel est le développement de (x+4)^2 ?

A. x^2+4x+16

B. x^2−8x+16

C. x^2+8x+16

D. x^2+16

Answer: (C)

Explicación

La première identité remarquable est (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Avec a=x et b=4, on obtient x^2+8x+16.

18. Quelle expression est égale à (y−3)^2 ?

A. y^2−9

B. y^2+6y+9

C. y^2−3y+9

D. y^2−6y+9

Answer: (D)

Explicación

La deuxième identité remarquable donne (a−b)^2 = a^2−2ab+b^2. En prenant a=y et b=3, on obtient y^2−6y+9.

19. Quelle forme factorisée correspond à z^2−25 ?

A. (z+5)^2

B. (z−5)^2

C. z(z−25)

D. (z+5)(z−5)

Answer: (D)

Explicación

La troisième identité remarquable est (a+b)(a−b)=a^2−b^2. Comme 25=5^2, z^2−25 se factorise en (z+5)(z−5).

20. Quelle condition caractérise une fonction croissante sur un intervalle I ?

A. Il existe un x de I tel que f(x) soit supérieur à toutes les autres valeurs

B. Pour tous les x de I, f(x) prend une valeur constante

C. Pour x₁ < x₂, on a f(x₁) ≥ f(x₂)

D. Pour x₁ < x₂, on a f(x₁) ≤ f(x₂)

Answer: (D)

Explicación

Une fonction est croissante lorsque l’ordre des valeurs ne diminue pas : si x₁ < x₂, alors f(x₁) ≤ f(x₂).

21. Que peut-on affirmer pour une fonction décroissante lorsque x augmente sur un intervalle I ?

A. Sa valeur devient nécessairement négative

B. Sa valeur augmente strictement

C. Sa valeur diminue ou reste égale

D. Sa valeur reste toujours constante

Answer: (C)

Explicación

Pour une fonction décroissante, x₁ < x₂ entraîne f(x₁) ≥ f(x₂) : la valeur diminue ou reste égale. Elle n’est donc pas nécessairement constante.

22. Pour une fonction f définie sur I, quelle condition montre que f(a) est le minimum de f sur I ?

A. Pour tout x de I, f(x) ≤ f(a)

B. Pour tout x de I, f(x) = f(a)

C. Pour tout x de I, f(x) ≥ f(a)

D. Il existe un x de I tel que f(x) < f(a)

Answer: (C)

Explicación

f(a) est un minimum lorsque toutes les valeurs de la fonction sur I sont supérieures ou égales à f(a).

23. Soit f(x) = -3x + 5 définie sur ℝ. Quelle est la variation de cette fonction ?

A. Elle est strictement décroissante

B. Elle possède nécessairement un minimum sur ℝ

C. Elle est constante

D. Elle est strictement croissante

Answer: (A)

Explicación

Pour une fonction affine f(x)=ax+b, un coefficient directeur négatif entraîne une décroissance stricte. Ici, a = -3.