Hoja de repaso: Notions essentielles de continuité

📋 Plan du Cours

1. Notion de continuité
2. Fonctions continues de référence
3. Opérations sur les fonctions continues
4. Continuité d'une fonction par morceaux
5. Théorème des valeurs intermédiaires
6. Suites définies par récurrence

📖 1. Notion de continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si son allure peut être tracée sans “saut” ni rupture sur tout l’intervalle.
• Continuité en un point : Une fonction est continue en $a$ si sa valeur en $a$ coïncide avec la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$.
• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle possède une dérivée en tout point de cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
• Pour la continuité en $a$, on doit avoir $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.

💡 Astuce mémo

Continuité = “pas de rupture” au point : $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.

📖 2. Fonctions continues de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La fonction $|x|$ est continue sur $\mathbb{R}$.
• Fonction polynôme : Tout polynôme est continu sur $\mathbb{R}$.
• Fonctions trigonométriques : Les fonctions $\sin x$ et $\cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Fonction exponentielle : La fonction $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• Sur $[0,+\infty[$, $\sqrt{x}$ est continue.
• Les fonctions $\frac{1}{x}$ ne sont continues que sur les intervalles ne contenant pas $0$ : $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.
• Les fonctions $x^n$ avec $n\in\mathbb{N}$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Le cours cite aussi que $\cos x$ et $\sin x$ sont continues sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Réflexe “référence” : polynôme + $\sin/\cos$ + $e^x$ + $|x|$ = continu partout ; $\sqrt{x}$ uniquement à partir de $0$ ; $1/x$ partout sauf $0$.

📖 3. Opérations sur les fonctions continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de fonctions continues : La somme $f+g$ est continue sur $I$ si $f$ et $g$ sont continues sur $I$.
• Produit de fonctions continues : Le produit $f\times g$ est continu sur $I$ si $f$ et $g$ sont continues sur $I$.
• Fonction puissance entière : Pour $n\in\mathbb{N}$, la fonction $f^n$ est continue sur $I$ si $f$ est continue sur $I$.
• Quotient de fonctions continues : Si $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors la fonction $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$.

📝 Points essentiels

• Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors $f+g$, $f\times g$, $f^n$ et $e^f$ sont continues sur $I$.
• Si $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$.
• Si $f$ est positive sur $I$, alors $\sqrt{f}$ est continue sur $I$.

💡 Astuce mémo

Combinaisons sûres : +, ×, puissances entières, exponentielle ; division seulement si le dénominateur ne vaut jamais $0$ ; racine seulement si $f\ge 0$ (dans le cours : positive).

📖 4. Continuité d'une fonction par morceaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions par morceaux : Une fonction par morceaux est définie avec des expressions différentes selon l’endroit où se situe $x$.
• Continuité aux points de raccord : Pour qu’une fonction par morceaux soit continue, il faut vérifier l’égalité entre les limites et la valeur en chaque point de changement d’expression.
• Limite à gauche et à droite : Les limites à gauche et à droite en un point décrivent le comportement de $f(x)$ quand $x$ s’approche du point par la gauche ou par la droite.

📝 Points essentiels

• Une fonction par morceaux est continue sur chaque intervalle où son expression est une fonction continue (ex. polynômes).
• Pour tester la continuité en un point $a$, on compare $\lim_{x\to a^-} f(x)$, $\lim_{x\to a^+} f(x)$ et $f(a)$.
• Exemple : la fonction $f(x)$ définie par trois expressions polynomiales est continue sur $]-\infty;3[$, $[3;5[$ et $[5;+\infty[$.
• Dans l’exemple, les limites en $3$ coïncident avec $f(3)$, mais en $5$ la limite n’existe pas car les limites à gauche et à droite diffèrent (donc pas de continuité en $5$).

💡 Astuce mémo

Raccord = contrôle des deux “côtés” : gauche = droite = valeur en $a$.

📖 5. Théorème des valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation $f(x)=k$ : Résoudre $f(x)=k$ revient à trouver les abscisses $x$ où la courbe atteint la hauteur $k$.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors $f$ prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$.
• Monotonie stricte : Une fonction est strictement monotone sur $[a;b]$ si elle ne garde jamais la même valeur et varie sans “retour” de sens.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l’équation $f(x)=k$ a au moins une solution sur $[a;b]$.
• Si $f$ est strictement monotone sur $[a;b]$, alors la solution de $f(x)=k$ sur $[a;b]$ est unique.
• Pour une solution unique de $f(x)=0$ : continuité sur $[a;b]$, changement de signe sur $[a;b]$, puis monotonie stricte sur $[a;b] (existence + unicité).

💡 Astuce mémo

Valeurs intermédiaires = “passage obligé” pour une valeur $k$ : continuité ; unicité = strictement monotone.

📖 6. Suites définies par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie par récurrence : Une suite définie par récurrence est donnée par une relation qui calcule $u_{n+1}$ à partir de $u_n$.
• Convergence d'une suite : Une suite converge si ses termes se rapprochent d’une valeur limite $L$ quand $n$ grandit.
• Point fixe via continuité : Si $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_n$ converge vers $L$, alors $L$ doit satisfaire $f(L)=L$.

📝 Points essentiels

• Théorème (cadre) : si $f$ est continue sur $I$, si $u_n\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, alors toute limite $L$ vérifie $f(L)=L$.
• Exemple : avec $u_{0}=8$ et $u_{n+1}=0{,}85u_n+1{,}8$, on obtient $L=12$ en résolvant $0{,}85L+1{,}8=L$.

💡 Astuce mémo

Limite d’une suite en récurrence = point fixe : $u_{n+1}=f(u_n$) donc $L=f(L)$ si la suite converge.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser qu’une continuité se lit uniquement “sur un dessin” : l’énoncé formel exige $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ (et pour les morceaux, vérifier gauche/droite).
2. Confondre continuité en $a$ et continuité “au voisinage” sans comparer explicitement les limites à gauche et à droite en cas de raccord.
3. Oublier le critère de division : $\frac{f}{g}$ n’est continue que si $g$ ne s’annule pas sur l’intervalle.
4. Croire qu’une fonction par morceaux est continue dès que chaque expression est continue : la continuité peut échouer au point où l’expression change (exemple donné en $5$).
5. Pour l’unicité, oublier la monotonie stricte : le théorème garantit existence sans unicité si on ne précise pas la stricte monotonie.
6. Dans l’application aux suites, supposer que la convergence est automatique : le théorème dit quoi faire SI la suite converge, et donne alors $f(L)=L$.

✅ Checklist Examen

1. Définir la continuité en $a$ et la continuité sur un intervalle via $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.
2. Utiliser le fait : dérivable $\Rightarrow$ continue sur l’intervalle.
3. Reconnaître les fonctions de référence continues : polynômes, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $|x|$ sur $\mathbb{R}$, $\sqrt{x}$ sur $[0,+\infty[$ et $1/x$ sur $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.
4. Énoncer les opérations qui conservent la continuité sur $I$ : $f+g$, $f\times g$, $f^n$, $e^f$.
5. Savoir quand appliquer la continuité du quotient : vérifier que le dénominateur ne s’annule pas sur $I$.
6. Savoir quand appliquer la continuité d’une racine : vérifier que l’expression sous la racine est positive sur $I$.
7. Pour une fonction par morceaux, déterminer les intervalles où elle est continue sans calcul supplémentaire (expressions polynomiales/continues).
8. Vérifier la continuité aux points de raccord en calculant au besoin les limites à gauche et à droite et en les comparant à la valeur au point.
9. Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires : existence d’une solution pour $f(x)=k$ si $f$ est continue et $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$.
10. Savoir obtenir l’unicité si $f$ est strictement monotone sur l’intervalle concerné.
11. Expliquer une stratégie de preuve d’unicité pour $f(x)=0$ sur $[a;b]$ : continuité, changement de signe, monotonie stricte.
12. Appliquer le théorème aux suites récurrentes de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ : si $u_n\to L$ alors $f(L)=L$.
13. Résoudre l’équation du point fixe dans un exemple (comme $0{,}85L+1{,}8=L$) pour trouver la limite candidate.