Notions essentielles de continuité

📋 Plan du Cours

1. Notion de continuité
2. Fonctions continues de référence
3. Opérations sur les fonctions continues
4. Continuité d'une fonction par morceaux
5. Théorème des valeurs intermédiaires
6. Suites définies par récurrence

📖 1. Notion de continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si son allure peut être tracée sans “saut” ni rupture sur tout l’intervalle.
• Continuité en un point : Une fonction est continue en $a$ si sa valeur en $a$ coïncide avec la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$.
• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle possède une dérivée en tout point de cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
• Pour la continuité en $a$, on doit avoir $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.

💡 Astuce mémo

Continuité = “pas de rupture” au point : $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.

📖 2. Fonctions continues de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La fonction $|x|$ est continue sur $\mathbb{R}$.
• Fonction polynôme : Tout polynôme est continu sur $\mathbb{R}$.
• Fonctions trigonométriques : Les fonctions $\sin x$ et $\cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Fonction exponentielle : La fonction $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels