Cuestionario: Notions fondamentales en espaces vectoriels — 12 preguntas

1. Quand une famille de vecteurs est-elle dite libre ?

A. Lorsqu’une combinaison linéaire nulle impose que tous les coefficients soient nuls

B. Lorsqu’elle contient un nombre fini de vecteurs

C. Lorsqu’elle engendre l’espace vectoriel considéré

D. Lorsqu’une combinaison linéaire nulle admet au moins un coefficient non nul

Answer: (A)

Explicación

Une famille est libre si la seule façon d’obtenir le vecteur nul par combinaison linéaire est d’avoir tous les coefficients nuls. La présence d’une combinaison nulle non triviale caractérise au contraire une famille liée.

2. Quelle affirmation caractérise une base d’un espace vectoriel ?

A. C’est une famille seulement génératrice

B. C’est une famille à la fois libre et génératrice

C. C’est une famille finie de vecteurs non nuls

D. C’est une famille seulement libre

Answer: (B)

Explicación

Une base est précisément une famille qui est à la fois libre et génératrice. Être finie ou non n’est pas suffisant pour définir une base.

3. Dans une base donnée, que représentent les coordonnées d’un vecteur ?

A. Le nombre de vecteurs de l’espace

B. Les coefficients obtenus dans n’importe quelle famille génératrice

C. Les vecteurs de la base eux-mêmes

D. Les coefficients uniques de son écriture comme combinaison linéaire de la base

Answer: (D)

Explicación

Les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients uniques qui permettent de l’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Cette unicité dépend du fait que la base est libre.

4. Pourquoi l’écriture d’un vecteur dans une base est-elle unique ?

A. Parce que l’espace est de dimension finie

B. Parce qu’une base est génératrice

C. Parce que tous les vecteurs sont non nuls

D. Parce qu’une base est libre

Answer: (D)

Explicación

Si un vecteur avait deux écritures dans une base, leur différence donnerait une combinaison linéaire nulle. La liberté de la base force alors l’égalité de tous les coefficients.

5. Que vaut la dimension d’un espace vectoriel réduit au vecteur nul ?

A. Elle n’est pas définie

B. Le cardinal d’une base quelconque

C. 0

D. 1

Answer: (C)

Explicación

Un espace réduit à {0} est de dimension nulle. Par convention et par définition, sa dimension vaut 0.

6. Que garantit le théorème de la dimension dans un espace vectoriel de dimension finie ?

A. Toute famille génératrice est une base

B. Toute famille libre est génératrice

C. Toutes les bases ont le même cardinal

D. Toute base contient le même vecteur nul

Answer: (C)

Explicación

Le théorème de la dimension affirme que toutes les bases d’un espace de dimension finie ont le même nombre d’éléments. C’est ce qui rend la dimension bien définie.

7. Quelle relation est toujours vraie pour un sous-espace F d’un espace vectoriel E de dimension finie ?

A. dim(F) est inférieure ou égale à dim(E)

B. dim(F) est égale à la dimension de tout sous-espace de E

C. dim(F) est strictement supérieure à dim(E)

D. dim(F) vaut toujours 0

Answer: (A)

Explicación

Un sous-espace ne peut pas avoir une dimension supérieure à celle de l’espace ambiant. On a donc toujours dim(F) ≤ dim(E).

8. Quelle est la formule de Grassmann pour deux sous-espaces F et G ?

A. dim(F+G)=dim(F)·dim(G)

B. dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F∩G)

C. dim(F∩G)=dim(F+G)+dim(F)+dim(G)

D. dim(F∩G)=dim(F)+dim(G)-dim(F+G)

Answer: (B)

Explicación

La formule de Grassmann exprime la dimension de la somme en ajoutant les dimensions puis en retirant celle de l’intersection. Cela évite de compter deux fois la partie commune à F et G.

9. Quelle propriété définit la linéarité d’une application f ?

A. f(ωu+v)=ωf(u)+f(v)

B. f(ωu)=f(u)+ω

C. f(u+v)=f(u)f(v)

D. f(u)=u pour tout u

Answer: (A)

Explicación

Une application linéaire respecte les combinaisons linéaires : elle transforme ωu+v en ωf(u)+f(v). Les autres propositions ne traduisent pas la linéarité.

10. Comment appelle-t-on une application linéaire de E dans E qui est bijective ?

A. Un automorphisme

B. Un isomorphisme seulement

C. Un endomorphisme non injectif

D. Une application affine

Answer: (A)

Explicación

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif, donc une application linéaire de E dans E qui est bijective. Un isomorphisme est bijectif aussi, mais il n’est pas forcément de E dans E.

11. Quelle condition caractérise l’injectivité d’une application linéaire f ?

A. Son noyau contient tous les vecteurs de départ

B. Son image est réduite au vecteur nul

C. Son image est égale à tout le codomaine

D. Son noyau est réduit au vecteur nul

Answer: (D)

Explicación

Pour une application linéaire, l’injectivité est équivalente à un noyau trivial : Ker(f)={0}. La surjectivité, elle, se lit sur l’image égale au codomaine.

12. Quelle égalité exprime le théorème du rang pour une application linéaire f sur un espace de dimension finie ?

A. dim(Im(f))=dim(E)+dim(Ker(f))

B. dim(E)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

C. dim(Ker(f))=dim(Im(f))

D. dim(E)=dim(Ker(f))−dim(Im(f))

Answer: (B)

Explicación

Le théorème du rang dit que la dimension de l’espace de départ se décompose en somme de la dimension du noyau et de celle de l’image. C’est la relation fondamentale entre noyau, image et dimension.