Hoja de repaso: Opérations et Simplification des Fractions

📋 Plan du Cours

1. Quotient de deux fractions
2. Produit de deux fractions
3. Inverse d’un nombre et d’une fraction
4. Somme et différence de deux fractions
5. Fractions égales et simplification

📖 1. Quotient de deux fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’un nombre : L’inverse d’un nombre $x$ est le nombre qui, multiplié par $x$, donne $1$.
• Quotient de fractions : Le quotient de deux fractions se calcule en transformant la division en multiplication par l’inverse de la seconde fraction.

📝 Points essentiels

• Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
• Pour $a/b \div c/d$, on obtient $a/b \times d/c$ (avec $b,c,d$ non nuls).
• On peut aussi écrire $a/b \div c/d = ad/bc$.
• Exemple : $18 \div 3 = 18 \times 1/3 = 6$.
• Attention : la position du signe « = » ne doit pas être confondue avec la formule de calcul (on applique la règle à toute l’expression).

💡 Astuce mémo

Division → inverse : « $\div$ devient $\times$ par l’inverse ».

📖 2. Produit de deux fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de fractions : Le produit de deux fractions consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Simplification avant calcul : On peut réduire des facteurs communs avant de terminer le produit pour obtenir directement une fraction plus simple.

📝 Points essentiels

• Pour $a/b \times c/d$, on obtient $a\times c / (b\times d$) (avec $b$ et $d$ non nuls).
• Exemple : $3/4 \times (-5/7) = -15/28$.
• On peut simplifier avant le résultat : $2/3 \times 5/4 = 10/12 = 5/6$.
• On peut simplifier aussi avec des facteurs communs : $3/4 \times 3/5 = 9/20$.
• Avec deux signes négatifs : $-6/13 \times -11/15 = 66/195 = 22/65$.

💡 Astuce mémo

Numérateurs ×, dénominateurs × : puis simplifie si possible.

📖 3. Inverse d’un nombre et d’une fraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Deux nombres sont inverses si leur produit vaut $1$.
• Notation de l’inverse : L’inverse de $x$ se note $1/x$ ou $x^{-1}$.
• Inverse d’une fraction : L’inverse de la fraction $a/b$ est $b/a$ quand $a$ et $b$ sont non nuls.

📝 Points essentiels

• Exemple : $10 \times 0,1 = 1$, donc $10$ et $0,1$ sont inverses.
• Exemple : $(-5) \times (-0,2) = 1$, donc $-5$ et $-0,2$ sont inverses.
• On a toujours $x \times 1/x = 1$, et $x$ et $1/x$ ont le même signe.
• $0$ n’a pas d’inverse.
• Si $a$ et $b$ sont non nuls, alors $1/(a/b) = b/a$ (ex : l’inverse de $3/4$ est $4/3$).

💡 Astuce mémo

Produit = 1 : inverse = « échange numérateur et dénominateur » pour une fraction.

📖 4. Somme et différence de deux fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions de même dénominateur : Pour additionner ou soustraire des fractions ayant le même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs.
• Dénominateur commun : Pour additionner ou soustraire des fractions à dénominateurs différents, on réduit d’abord à un dénominateur commun.

📝 Points essentiels

• Même dénominateur : $a/c + b/c = (a+b)/c$.
• Même dénominateur : $a/c - b/c = (a-b)/c$.
• Exemple : $15/13 + 3/13 = 18/13$.
• Exemple : $17/5 - 6/5 = 11/5$.
• Dénominateurs différents : on choisit un dénominateur commun multiple des deux (ex : $7/4+5/16$ utilise $16$).

💡 Astuce mémo

Même dénominateur → on combine seulement les numérateurs.

📖 5. Fractions égales et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions égales : Deux fractions sont égales si on obtient la même valeur en multipliant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.
• Simplification d’une fraction : Simplifier une fraction consiste à réduire numérateur et dénominateur en utilisant des facteurs communs pour obtenir une forme plus simple.

📝 Points essentiels

• Règle : $a/b = (a\times k)/(b\times k)$ si $k\neq 0$.
• La multiplication par $k$ ne change pas la valeur de la fraction.
• La règle sert à simplifier : on remplace des nombres par des produits pour faire apparaître des facteurs communs.
• Exemple de simplification : $270/135 = (2\times 135)/(9\times 15)$ puis réduction conduit à $14$ (dans l’enchaînement du cours).
• On peut factoriser pour faire apparaître des produits identiques au numérateur et au dénominateur avant de réduire.

💡 Astuce mémo

Multiplier haut et bas par le même $k$ : valeur inchangée.

📊 Tableaux de synthèse

Même dénominateur vs dénominateurs différents

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre division et produit : $a/b \div c/d$ n’est pas $a/b \times c/d$ mais $a/b \times d/c$.
2. Oublier de prendre l’inverse de la seconde fraction lors d’une division de fractions.
3. Se tromper de signe lors d’un produit : deux négatifs donnent un positif (ex : $-6/13 \times -11/15$).
4. Additionner/soustraire des fractions à dénominateurs différents sans d’abord trouver un dénominateur commun.
5. Appliquer la règle des fractions égales avec $k=0$ : elle n’est valable que si $k\neq 0$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir transformer un quotient de fractions en multiplication par l’inverse de la seconde fraction et calculer le produit final.
2. Savoir calculer un produit de fractions en multipliant numérateurs et dénominateurs, puis simplifier si possible.
3. Connaître la définition des nombres inverses (produit $=1$) et la notation $1/x$ ou $x^{-1}$.
4. Savoir trouver l’inverse d’une fraction $a/b$ (résultat $b/a$) quand $a$ et $b$ sont non nuls.
5. Savoir additionner et soustraire des fractions de même dénominateur en combinant les numérateurs.
6. Savoir réduire des fractions à dénominateur commun quand les dénominateurs diffèrent, puis appliquer les règles de même dénominateur.
7. Savoir utiliser la règle des fractions égales $a/b=(a\times k)/(b\times k)$ pour simplifier une fraction.
8. Savoir simplifier une fraction en factorisant pour faire apparaître des facteurs communs au numérateur et au dénominateur.