Cuestionario: Principes et techniques de récurrence et limites — 20 preguntas

1. Quel énoncé correspond le mieux au principe du raisonnement par récurrence ?

A. Montrer qu’une suite est bornée grâce à un encadrement

B. Calculer directement la valeur de la propriété pour tous les entiers

C. Comparer deux suites terme à terme pour en déduire leur limite

D. Vérifier un cas initial puis montrer que la propriété se transmet de k à k+1

Answer: (D)

Explicación

Le raisonnement par récurrence repose sur une initialisation et une étape d’hérédité de k à k+1. C’est cette transmission qui permet de conclure pour tous les entiers à partir du rang de départ.

2. Dans l’image des dominos, que représente l’hérédité ?

A. Le fait que les dominos soient placés à égale distance

B. Le fait que chaque domino entraîne le suivant

C. Le fait que le premier domino tombe

D. Le fait que tous les dominos tombent en même temps

Answer: (B)

Explicación

L’hérédité est l’idée que si un rang est vrai, alors le rang suivant l’est aussi, comme un domino qui fait tomber le suivant. Le premier domino correspond à l’initialisation.

3. Quelle est l’ordre standard d’une démonstration par récurrence ?

A. Calcul direct, hérédité, vérification

B. Hérédité, initialisation, conclusion

C. Conjecture, calcul numérique, conclusion

D. Initialisation, hérédité, conclusion

Answer: (D)

Explicación

La méthode classique commence par vérifier le premier cas, puis établit le passage de k à k+1, et conclut grâce au principe de récurrence. Les autres ordres ne respectent pas la structure de preuve.

4. Quand utilise-t-on surtout une démonstration par récurrence ?

A. Quand on veut seulement tester quelques valeurs numériques

B. Quand une démonstration directe est impossible ou trop difficile

C. Quand on cherche une approximation graphique

D. Quand la propriété dépend d’un seul réel variable

Answer: (B)

Explicación

La récurrence sert précisément quand une preuve directe est difficile ou inadaptée. Elle permet de traiter tous les entiers à partir d’un rang initial.

5. Pour la suite définie par u_{n+1}=u_n+2 et u_0=2, quelle propriété sert à montrer qu’elle est croissante par récurrence ?

A. u_n=2 pour tout n

B. u_{n+1}≤u_n pour tout n

C. u_{n+1}≥u_n pour tout n

D. u_n≥0 pour tout n

Answer: (C)

Explicación

Pour conclure qu’une suite est croissante, on prouve typiquement que u_{n+1}≥u_n pour tout n. Ici, c’est exactement la propriété mise en œuvre par récurrence.

6. Dans l’exemple u_{n+1}=u_n+2 avec u_0=2, que vaut l’initialisation de la monotonie ?

A. u_1=6, donc u_1>u_0 de façon indirecte

B. u_1=2, donc u_1=u_0

C. u_1=4, donc u_1≥u_0

D. u_1=0, donc u_1<u_0

Answer: (C)

Explicación

On calcule u_1=u_0+2=4, ce qui donne bien u_1≥u_0. Cette vérification du premier cas lance la récurrence de monotonie.

7. Quelle inégalité est démontrée par récurrence dans l’inégalité de Bernoulli ?

A. (1+a)^n≥n+a pour tout a

B. (1+a)^n=1+na pour tout a

C. (1+a)^n≥1+na pour a>0

D. (1+a)^n≤1+na pour a>0

Answer: (C)

Explicación

L’inégalité de Bernoulli affirme que pour a>0 et n entier naturel, on a (1+a)^n≥1+na. Les autres propositions ne correspondent pas à l’énoncé étudié.

8. Pourquoi peut-on multiplier l’inégalité d’hérédité par 1+a dans la preuve de Bernoulli ?

A. Parce que 1+a>0

B. Parce que 1+a<0

C. Parce que 1+a est toujours égal à 1

D. Parce que 1+a=0

Answer: (A)

Explicación

Comme a>0, on a 1+a>0, donc multiplier par 1+a ne change pas le sens de l’inégalité. C’est un point clé du passage de k à k+1.

9. Quel est le rôle principal de l’initialisation dans une récurrence ?

A. Vérifier la propriété au rang de départ

B. Calculer la limite de la suite

C. Déduire directement la formule générale

D. Montrer que la propriété reste vraie sans hypothèse

Answer: (A)

Explicación

L’initialisation sert à établir que la propriété est vraie au premier rang choisi. Sans elle, l’hérédité seule ne permet pas de conclure.

10. Que montre l’exemple où l’hérédité est vraie mais la propriété reste fausse ?

A. Qu’une hérédité seule ne suffit pas

B. Qu’une suite converge forcément

C. Qu’une initialisation est inutile

D. Qu’une propriété vraie à un rang est vraie à tous les rangs

Answer: (A)

Explicación

Cet exemple illustre qu’une transmission correcte de k à k+1 ne compense pas un départ faux ou absent. L’initialisation est donc indispensable.

11. Quand dit-on qu’une suite admet pour limite +∞ ?

A. Quand ses termes restent toujours positifs

B. Quand ses termes oscillent entre deux valeurs

C. Quand ses termes dépassent tout réel fixé à partir d’un certain rang

D. Quand ses termes se rapprochent d’un réel L

Answer: (C)

Explicación

Une limite +∞ signifie qu’au-delà d’un certain rang, tous les termes sont plus grands que n’importe quel réel fixé. Cela décrit une croissance sans borne.

12. Laquelle de ces suites a pour limite +∞ ?

A. 1/10^n

B. 1+1/10^n

C. n^2

D. (-1)^n

Answer: (C)

Explicación

La suite n^2 devient arbitrairement grande lorsque n tend vers +∞. Les autres suites convergent ou oscillent sans tendre vers +∞.

13. Que signifie qu’une suite converge vers une limite finie L ?

A. Ses termes alternent nécessairement

B. Ses termes augmentent sans borne

C. Ses termes finissent par appartenir à tout intervalle ouvert contenant L

D. Ses termes deviennent tous nuls

Answer: (C)

Explicación

La convergence vers L signifie que, à partir d’un certain rang, les termes restent dans tout voisinage ouvert de L. C’est la définition d’une limite finie.

14. Quelle suite a pour limite 1 ?

A. (-1)^n

B. n^2

C. 1/n

D. 1+1/10^n

Answer: (D)

Explicación

La suite 1+1/10^n se rapproche de 1 quand n grandit, car 1/10^n tend vers 0. Les autres propositions ont un autre comportement asymptotique.

15. Quelles sont les quatre formes indéterminées à reconnaître pour les limites ?

A. ∞−0, 0+0, ∞×∞ et 1/∞

B. 0+∞, 1−1, 1/1 et 0×0

C. ∞−∞, 0×∞, ∞/∞ et 0/0

D. ∞+∞, 1×∞, ∞/0 et 1/0

Answer: (C)

Explicación

Les formes indéterminées classiques mentionnées sont bien ∞−∞, 0×∞, ∞/∞ et 0/0. Elles exigent un calcul algébrique supplémentaire avant de conclure.

16. Si une suite u_n tend vers 2 et une suite v_n tend vers +∞, quelle est la limite de u_nv_n lorsque le produit est déterminé ?

A. +2

B. 2

C. 0

D. +∞

Answer: (D)

Explicación

Le produit d’une limite réelle non nulle par +∞ diverge vers +∞ si le facteur réel est positif. Ici, la limite du facteur réel est 2, donc le produit tend vers +∞.

17. Quelle transformation est utilisée pour lever une indétermination par factorisation ?

A. Factoriser par le terme dominant

B. Ajouter un terme au numérateur

C. Multiplier par le conjugué

D. Remplacer toutes les suites par leurs limites

Answer: (A)

Explicación

La factorisation par le terme dominant permet de faire apparaître des fractions en 1/n ou 1/n^2 qui tendent vers 0. C’est la méthode adaptée aux formes du type ∞−∞ ou ∞/∞.

18. Quelle est la limite de n^2−5n+1 lorsque n tend vers +∞ ?

A. 1

B. +∞

C. 5

D. 0

Answer: (B)

Explicación

En factorisant par n^2, on obtient n^2(1−5/n+1/n^2), et le facteur entre parenthèses tend vers 1. Comme n^2 tend vers +∞, l’expression entière tend vers +∞.

19. Pourquoi utilise-t-on l’expression conjuguée pour une différence de racines ?

A. Pour éviter toute factorisation

B. Pour rendre la suite périodique

C. Pour transformer la différence en quotient et simplifier la limite

D. Pour obtenir une somme de deux limites infinies

Answer: (C)

Explicación

Le conjugué permet de faire apparaître la différence de carrés et donc d’écrire l’expression sous forme de quotient. On peut alors calculer la limite avec des opérations simples.

20. Quelle est la limite de √n+2−√n lorsque n tend vers +∞ ?

A. +∞

B. 2

C. 1

D. 0

Answer: (D)

Explicación

Après transformation par le conjugué, l’expression devient un quotient dont le dénominateur tend vers +∞, donc la limite vaut 0. C’est un cas typique de levée d’indétermination.