Produit scalaire : notions et applications

📋 Plan du Cours

1. Expressions du produit scalaire en coordonnées
2. Produit scalaire via projeté orthogonal
3. Formule trigonométrique du produit scalaire
4. Propriétés bilinéaires et formules associées
5. Orthogonalité et produit scalaire nul
6. Vecteur normal et équation cartésienne de droite

📖 1. Expressions du produit scalaire en coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère où les axes sont perpendiculaires et unitaires, ce qui permet d’utiliser directement la formule des coordonnées du produit scalaire.
• Produit scalaire en coordonnées : Le produit scalaire de deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé se calcule par la somme des produits des coordonnées correspondantes.

📝 Points essentiels

• Si $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ sont dans un repère orthonormé, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.
• Le calcul se fait en additionnant $x\times x'$ puis $y\times y'$ sans autre transformation.
• Exemple : $(3;2)\cdot(-1;4)=3\times(-1)+2\times4=-3+8=5$.
• La formule en coordonnées s’applique directement quand le repère est orthonormé, sans passer par un angle.
• Le produit scalaire obtenu est un nombre réel qui peut être positif, nul ou négatif selon les coordonnées.

💡 Astuce mémo

Formule réflexe : même position des coordonnées → on multiplie puis on additionne (ligne par ligne).

📖 2. Produit scalaire via projeté orthogonal