Hoja de repaso: Proportionnalité et nombres relatifs

📋 Plan du Cours

1. Reconnaître la proportionnalité
2. Calculer une quatrième proportionnelle
3. Additionner des nombres relatifs
4. Soustraire et calculer une expression

📖 1. Reconnaître la proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeurs proportionnelles : Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

★ À maîtriser

• Pour vérifier une proportionnalité dans un tableau, on calcule les quotients des valeurs correspondantes des deux grandeurs et on les compare.

Compléments

• Dans le tableau associant 13, 15 et 20 à 67,6, 78 et 104, les quotients correspondants valent tous 5,2 ; les grandeurs sont donc proportionnelles et le coefficient est 5,2.

• Dans le tableau associant 5, 12 et 8 à 8, 21 et 11, les quotients correspondants ne sont pas égaux, notamment 8 ÷ 5 = 1,6 et 21 ÷ 12 = 1,75 ; les grandeurs ne sont donc pas proportionnelles.

📖 2. Calculer une quatrième proportionnelle

★ À maîtriser

• Dans une situation de proportionnalité, si les valeurs connues sont a, b et c avec a ≠ 0, la quatrième valeur se calcule par la règle de trois $x = \frac{c \times b}{a}$.

• L’égalité des produits en croix s’écrit $x \times a = c \times b$ et permet d’obtenir $x = \frac{c \times b}{a}$.

Compléments

• Si 4 cm sur un plan représentent 45 m en réalité, alors 7 cm représentent $x = \frac{7 \times 45}{4} = 78{,}75$ m en réalité.

📐 Formule — La fraction $\frac{3}{5}$ correspond à $\frac{60}{100}$, soit 60 %.

📐 Formule — Pour 114 élèves reçus sur 135 élèves de troisième, le pourcentage est $x = \frac{114 \times 100}{135} \approx 84{,}4$ %, soit environ 84,44 %.

💡 Astuce mémo

Multiplier en diagonale, puis diviser

📖 3. Additionner des nombres relatifs

★ À maîtriser

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on conserve leur signe commun et on additionne leurs distances à zéro.

• Pour additionner deux nombres de signes contraires, on donne au résultat le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

Compléments

• L’addition de deux nombres positifs donne (+2) + (+7) = +9.

• L’addition de deux nombres négatifs donne (-3,4) + (-5,5) = -8,9.

• L’addition (-7) + (+3) = -4, car 7 est supérieur à 3 et la différence des distances à zéro vaut 4.

📖 4. Soustraire et calculer une expression

🔑 Notions clés & Définitions

• Opposé d’un nombre : Relatif est le nombre qui a la même distance à zéro et le signe contraire ; par exemple, l’opposé de +7 est -7 et celui de -2,1 est +2,1.

★ À maîtriser

• Pour soustraire un nombre, on ajoute son opposé.

• Pour calculer une expression avec des additions et des soustractions de relatifs, on transforme d’abord chaque soustraction en addition de l’opposé.

Compléments

• Les transformations données sont 3 - (+4) = 3 + (-4) = -1, (-3) - (-6) = (-3) + (+6) = +3 et (-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8.

• Pour A = (-7) - (+1) + (+3) + (+12), on obtient A = (-7) + (-1) + (+3) + (+12) = +6.

• Une expression de relatifs peut se calculer de gauche à droite ou en regroupant les nombres positifs et les nombres négatifs.

💡 Astuce mémo

Soustraire → ajouter l’opposé → regrouper ou avancer

📊 Tableaux de synthèse

Règles d’addition des relatifs

Signes	Calcul des distances	Signe du résultat
Même signe	Additionner les distances à zéro	Signe commun
Signes contraires	Soustraire les distances à zéro	Signe du nombre de plus grande distance à zéro