Résolution et analyse des systèmes linéaires

📌 L'essentiel

• Un système linéaire est constitué d’équations impliquant plusieurs inconnues.
• La méthode de résolution principale est celle du pivot de Gauss.
• La forme échelonnée facilite l’identification des solutions.
• Les systèmes homogènes ont toujours au moins la solution triviale.
• La différence entre solutions uniques, infinitié ou inexistantes dépend de la forme finale.
• Les opérations élémentaires sur les lignes préservent l’ensemble des solutions.
• La solution générale combine une solution particulière et celles du système homogène.
• Variables associées aux pivots sont principales, autres sont libres.
• La résolution nécessite souvent une paramétrisation des inconnues libres.
• La compréhension des systèmes s’étend aux applications en géométrie et optimisation.

📖 Concepts clés

Système linéaire : Ensemble d’équations de la forme $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1p}x_p = b_1$, etc., où $a_{ij}$ et $b_i$ sont donnés.
Système homogène : Système où tous les $b_i$ sont nuls. La solution triviale existe toujours.
Solution : Ensemble de $p$-uplets $(x_1, \dots, x_p)$ vérifiant toutes les équations.
Opérations élémentaires : Échange de lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, addition d’un multiple d’une ligne à une autre.
Matrice échelonnée : Forme où chaque pivot est situé plus à droite que celui de la ligne précédente.