Hoja de repaso: Résumé des notions clés en mathématiques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Trinôme du second degré
2. Probabilités conditionnelles et indépendance
3. Cercle trigonométrique et valeurs remarquables
4. Dérivation et tangentes
5. Produit scalaire et applications géométriques
6. Suites numériques
7. Variables aléatoires discrètes
8. Fonction exponentielle
9. Droites et cercles dans le plan

📖 1. Trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction de la forme $ax^2+bx+c$ définie sur $\mathbb R$ avec $a\neq 0$.
• Coefficient de $x^2$ : Le coefficient de $x^2$ est le nombre $a$ dans $ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme $ax^2+bx+c$ s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta$ d’un trinôme $ax^2+bx+c$ vaut $\Delta=b^2-4ac$ et détermine le nombre de racines réelles.
• Sommet de la parabole : Le sommet d’une parabole associée à $ax^2+bx+c$ est $S(\alpha;\beta)$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Toute équation $ax^2+bx+c=0$ se ramène à $(x-\alpha)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$ alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution dans $\mathbb R$.
• Si $\Delta=0$ alors l’équation a une unique solution réelle $x_0=-\frac{b}{2a}$, racine double.
• Si $\Delta>0$ alors l’équation a deux solutions réelles distinctes $x_1=-\frac{b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=-\frac{b+\sqrt\Delta}{2a}$.
• Les racines $x_1,x_2$ vérifient toujours $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a$ quand elles existent.
• Le signe de $ax^2+bx+c$ est celui de $a$ sauf entre les deux racines lorsque $\Delta>0$.

💡 Astuce mémo

Delta (Δ) : $\Delta=b^2-4ac$ décide 0,1 ou 2 racines réelles (− : aucune ; 0 : une double ; + : deux).

📖 2. Probabilités conditionnelles et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de A sachant B est la probabilité de A parmi les issues où B est réalisé, notée $P_B(A)$.
• Indépendance de deux événements : Deux événements A et B sont indépendants si le fait que l’un soit réalisé n’influence pas la probabilité de l’autre.
• Événements indépendants : Des événements sont dits indépendants lorsque leur réalisation n’affecte pas les probabilités conditionnelles mutuelles.

📝 Points essentiels

• Si $P(B)\neq 0$, alors $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ et $0\le P_B(A)\le 1$.
• On a toujours $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)$ lorsque $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$.
• Si A et B sont indépendants, alors $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, équivalemment $P_B(A)=P(A)$ ou $P_A(B)=P(B)$.
• Des événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants s’ils vérifient l’une des trois conditions équivalentes : $P_B(A)=P(A)$, $P_A(B)=P(B)$ ou $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Si A et B sont incompatibles avec $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$, alors ils ne peuvent pas être indépendants car l’indépendance donnerait $P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$.
• Pour deux épreuves successives indépendantes, la probabilité d’obtenir un couple de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = “parmi B” : on divise $P(A\cap B)$ par $P(B)$. Indépendance = “pas besoin de savoir” : $P_B(A)=P(A)$.

📖 3. Cercle trigonométrique et valeurs remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est un cercle orienté de rayon 1, parcouru dans le sens direct (contraire des aiguilles d’une montre).
• Radian : Le radian mesure un angle au centre dont l’arc intercepté, sur un cercle de rayon R, a une longueur égale à R.
• Enroulement de la droite : L’enroulement associe à tout réel x un unique point du cercle trigonométrique, et donc ses images correspondent à x + 2kπ.
• Valeurs remarquables : Les valeurs remarquables sont les valeurs exactes connues de sin et cos pour des angles comme 0, π/6, π/4 et π/3.

📝 Points essentiels

• Le sens direct correspond au parcours contraire des aiguilles d’une montre, et l’enroulement sur le cercle identifie x et x+2kπ.
• Sur un cercle de rayon R, un angle au centre de mesure x rad intercepte un arc de longueur xR, donc sur rayon 1 l’arc vaut x.
• Si M est le point associé au réel x par enroulement, alors l’abscisse du point vaut cos x et l’ordonnée vaut sin x.
• cos(x+2kπ)=cos x et sin(x+2kπ)=sin x pour tout k∈ℤ, et on a aussi −1≤cos x≤1 et −1≤sin x≤1.
• Valeurs exactes : sin(0)=0, cos(0)=1, sin(π/6)=1/2, cos(π/6)=√3/2, sin(π/4)=√2/2, cos(π/4)=√2/2, sin(π/3)=√3/2, cos(π/3)=1/2, sin(π/2)=1 et cos(π/2)=0.

💡 Astuce mémo

R-cercle : Radian = arc de longueur R ; Cercle-trigo : abscisse cos, ordonnée sin.

📖 4. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite du taux de variation quand h tend vers 0, si elle existe.
• Tangente à une courbe : La tangente en A est la position limite des sécantes passant par A lorsque le point M tend vers A sur la courbe.
• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable en a quand son nombre dérivé en a existe, ce qui rend la tangente exploitable via la pente.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, alors la tangente au point A(a;f(a)) a pour pente f'(a) et une équation y=f'(a)(x-a)+f(a).
• Une tangente horizontale apparaît quand f'(a)=0, avec une équation y=f(a).
• Si limh→0 (f(a+h)-f(a))/h vaut +∞ ou −∞, alors f n’est pas dérivable en a et la courbe admet une tangente verticale d’équation x=a.
• Pour la tangente, le coefficient directeur de la sécante AM est (f(a+h)-f(a))/h et tend vers f'(a) quand h→0.
• Le taux de variation mesure une variation moyenne alors que le nombre dérivé donne une variation instantanée (ex. vitesse instantanée avec une distance d(t)).

💡 Astuce mémo

Sécantes qui “collent” : quand h→0, la pente devient f'(a), donc la tangente suit f'(a)(x-a)+f(a).

📖 5. Produit scalaire et applications géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel qui se calcule à partir des normes et du cosinus de l’angle, ou via les coordonnées dans un repère orthonormal.
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire vaut 0.
• Théorème d’Al Kashi : Le théorème d’Al Kashi relie le carré d’un côté d’un triangle aux carrés des deux autres côtés et au cosinus de l’angle entre eux.
• Cercle de diamètre : L’ensemble des points M tels que MA et MB forment des vecteurs orthogonaux vérifie une équation de cercle, caractérisée par un diamètre [AB].

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire vérifie $\vec u\cdot\vec v=|\vec u\|,|\u007f\vec v\|\cos(\widehat{AOB})$ et aussi $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ dans un repère orthonormal, avec $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$.
• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de même sens alors $\vec u\cdot\vec v=|\vec u|,|\vec v|$ et s’ils sont colinéaires de sens contraire alors $\vec u\cdot\vec v=-|\vec u|,|\vec v|$.
• Pour calculer $\vec{AB}\cdot\vec{CD}$, on peut remplacer un vecteur par son projeté orthogonal sur la droite portée par l’autre, sans changer le produit scalaire si les projetés sont pris correctement.
• Si $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$, alors $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, et réciproquement.
• Dans un triangle $ABC$, en notant $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ et $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, on a $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})$ (théorème d’Al Kashi, aussi appelé Pythagore généralisé).
• Le signe de $\vec{OA}\cdot\vec{OB}$ est celui de $\cos(\widehat{AOB})$ puisque les normes $|\vec{OA}|$ et $|\vec{OB}|$ sont positives.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = normes × cosinus : si l’angle est droit, cos=0 donc dot=0 (et on obtient le cercle de diamètre [AB]).

📖 6. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une application qui associe à chaque entier naturel n un réel, noté u_n.
• Terme d’indice n : Le terme d’indice n d’une suite est la valeur u_n associée à l’entier n dans la définition de la suite.
• Formule explicite : Une formule explicite définit directement u_n à partir de n, sans utiliser les termes précédents.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence définit u_{n+1} à partir de u_n, avec un terme initial u_0 (ou u_{n0}).
• Limite d’une suite : La limite d’une suite décrit vers quelle valeur (ou quelle direction) les termes u_n se rapprochent quand n devient grand.

📝 Points essentiels

• Une suite est notée (u_n)_{n∈ℕ}, avec u_0 terme initial et u_n terme d’indice n.
• Si la suite est croissante, alors pour tout n on a u_n ≤ u_{n+1}, et si elle est décroissante alors u_n ≥ u_{n+1}.
• Une suite est majorée s’il existe M tel que pour tout n on ait u_n ≤ M et minorée s’il existe m tel que u_n ≥ m ; elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Si lim_{n→+∞} u_n = L, alors tout intervalle ouvert contenant L contient tous les u_n à partir d’un certain rang ; si lim_{n→+∞} u_n = +∞ ou −∞, alors les u_n finissent par entrer dans des intervalles de la forme ]A,+∞[ ou ]−∞,A[.
• Une suite diverge si aucun des cas +∞, −∞, limite finie n’est vérifié, par exemple u_n = (−1)^n n’a pas de limite.

💡 Astuce mémo

Croissante = ≤ ; bornée = entre deux bornes ; limite finie = se serre autour de L.

📖 7. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une fonction $X$ de l’ensemble $$ des issues vers $\mathbb{R}$ qui associe à chaque issue un réel.
• Événement {X = x} : L’événement {X = x} est l’ensemble des issues dont l’image par $X$ vaut exactement $x$.
• Ensemble image X(Ω) : L’ensemble image $X(\Omega)$ est l’ensemble des valeurs réellement prises par $X$, noté aussi $\Omega'$.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité associe à chaque valeur $x_i$ prise par $X$ le nombre $P(X=x_i)$.
• Espérance mathématique : L’espérance $E(X)$ est la somme pondérée des valeurs de $X$ par leurs probabilités: $E(X)=\sum_{i=1}^m x_iP(X=x_i)$.

📝 Points essentiels

• Une variable aléatoire est dite discrète quand elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs.
• Pour une loi de probabilité discrète, on a $\sum_{i=1}^m P(X=x_i)=1$.
• Pour $a\in\mathbb{R}^*$ et $b\in\mathbb{R}$, on a $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$.
• Si deux valeurs $x_1\neq x_2$ sont prises par $X$, alors les événements {X=x1} et {X=x2} sont incompatibles.

💡 Astuce mémo

Discret = fini: $E(X)$ et $V(X)$ se calculent par des sommes pondérées sur les valeurs possibles.

📖 8. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle exp : La fonction exponentielle exp est l’unique fonction définie et dérivable sur ℝ vérifiant $exp'(x)=exp(x)$ et $exp(0)=1$.
• Relation somme-produit : La fonction exponentielle transforme une somme en un produit : pour tous réels $x$ et $y$, $exp(x+y)=exp(x)\times exp(y)$.
• Nombre e : Le nombre $e$ est défini par $e=exp(1)$, et on note alors $exp(x)=e^x$ pour tout réel $x$.
• Croissance exponentielle : La fonction $x\mapsto e^x$ est strictement croissante et devient très grande rapidement quand $x$ augmente.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, $e^x>0$, donc la courbe de $exp$ est entièrement au-dessus de l’axe des abscisses et ne le coupe jamais.
• Pour tous réels $a$ et $b$, $e^{a+b}=e^a e^b$ et $e^{-b}=\dfrac1{e^b}$.
• Pour tout réel $x$, le point $(0,1)$ et le point $(1,e)$ appartiennent à la courbe de la fonction exponentielle.
• Pour $f(x)=(ax+b)e^{ax+b}$, on a $f'(x)=a,e^{ax+b}$ pour tout réel $x$ (si $a$ et $b$ sont réels).
• Si $k>0$, alors $e^{-kx}$ est strictement décroissante sur ℝ tandis que $e^{kx}$ est strictement croissante sur ℝ.
• Si $n$ est un entier naturel, alors $e^{n x}=(e^x)^n$, et en particulier $e^n=(e)^n$.

💡 Astuce mémo

Somme → produit : $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$ (l’exponentielle “multiplie” quand on “additionne”).

📖 9. Droites et cercles dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul colinéaire à tous les vecteurs joignant deux points de la droite, et il indique sa direction.
• Vecteur normal : Un vecteur normal est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite, et il sert à caractériser les points de la droite via un produit scalaire.
• Équation cartésienne : Une équation cartésienne de droite est une relation de la forme $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\neq(0,0)$ qui décrit exactement cette droite.
• Équation d’un cercle : L’équation d’un cercle de centre $(x_0,y_0)$ et de rayon $r$ est donnée par $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$.

📝 Points essentiels

• Une droite de vecteur normal $\vec n(a,b)$ et d’équation $ax+by+c=0$ peut aussi s’écrire comme l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$.
• Un cercle de centre $A(x_0,y_0)$ et de rayon $r$ est caractérisé par l’égalité $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ pour tout point $M(x,y)$.
• Pour un cercle de diamètre $[AB]$, la condition d’appartenance d’un point $M$ est $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$, ce qui revient à imposer un angle droit en $M$.
• Une équation de cercle obtenue en développant $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ a la forme $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$, mais une équation $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ ne représente pas forcément un cercle (peut être l’ensemble vide).

💡 Astuce mémo

Normal = orthogonal, Cercle = distance au carré, Diamètre = produit scalaire nul.

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le discriminant Δ=b²−4ac avec un autre calcul (erreurs de signe ou de parenthèses).
2. Oublier que si Δ<0 alors il n’y a aucune solution dans ℝ (ne pas chercher à factoriser).
3. Dire que si Δ=0 il y a deux racines distinctes (c’est une unique racine double x0=−b/(2a)).
4. Inverser les formules du conditionnel : PB(A)=P(A∩B)/P(B) (et non l’inverse).
5. Croire que « incompatibles » implique « indépendants » (ici, incompatibles ⇔ intersection vide, indépendance exigerait P(A∩B)=P(A)P(B)>0 si P(A),P(B) non nulles).
6. Mélanger abscisse/ordonnée sur le cercle trigonométrique (abscisse=cos x, ordonnée=sin x).
7. Confondre dérivabilité et tangente verticale : une tangente verticale vient du cas lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h=±∞, et alors f n’est pas dérivable en a.

✅ Checklist Examen

1. Identifier un trinôme du second degré sous la forme ax^2+bx+c et donner son discriminant Δ=b^2−4ac.
2. Passer à la forme canonique a(x−α)^2+β avec α=−b/(2a) et relier le sommet à S(α;β).
3. Résoudre une équation ax^2+bx+c=0 en fonction du signe de Δ et donner x1,x2 (Δ>0) ou x0 (Δ=0).
4. Factoriser un trinôme en produit a(x−x1)(x−x2) si Δ>0 et a(x+ b/(2a))^2 si Δ=0.
5. Déterminer le signe de ax^2+bx+c : du signe de a sauf entre les racines quand Δ>0.
6. Calculer une probabilité conditionnelle PB(A)=P(A∩B)/P(B) et une probabilité composée via P(A∩B)=P(A)×PA(B).
7. Vérifier l’indépendance : P(A∩B)=P(A)P(B) (ou PB(A)=P(A), PA(B)=P(B)) et savoir distinguer indépendance/incompatibilité.
8. Savoir utiliser le cercle trigonométrique : enroulement x et x+2kπ, et valeurs exactes sin/cos pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
9. Écrire l’équation de la tangente en a pour une fonction dérivable : y=f'(a)(x−a)+f(a), et reconnaître tangente horizontale quand f'(a)=0.
10. Étudier une suite : croissance/décroissance, majorée/minorée/bornée, et déterminer la limite (+∞, −∞, ou limite finie).
11. Pour une variable aléatoire discrète : écrire l’ensemble image X(Ω), la loi (valeurs et probabilités), puis calculer E(X) à partir de la formule donnée.
12. Résoudre une équation exponentielle et utiliser exp'(x)=exp(x), exp(x+y)=exp(x)exp(y), et la décroissance/croissance de e^{kx} selon le signe de k.
13. Donner une équation de droite (a x+b y+c=0) à partir d’un vecteur directeur/normal et un cercle : (x−x0)^2+(y−y0)^2=r^2, et le cercle de diamètre via MA·MB=0.