Cuestionario: Second degré et discriminant — 6 preguntas

1. Quelle est la forme canonique d’une fonction polynôme du second degré f(x)=ax²+bx+c, avec a≠0 ?

A. f(x)=a(x−β)²+α, avec α=−b/(2a) et β=(4ac−b²)/(4a)

B. f(x)=a(x−α)²+β, avec α=b/(2a) et β=(b²−4ac)/(4a)

C. f(x)=a(x+α)²−β, avec α=b/(2a) et β=(4ac−b²)/(4a)

D. f(x)=a(x−α)²+β, avec α=−b/(2a) et β=(4ac−b²)/(4a)

Answer: (D)

Explicación

La forme canonique est f(x)=a(x−α)²+β, où α=−b/(2a) et β=(4ac−b²)/(4a). Les lettres α et β remplacent les coefficients b et c de la forme développée dans cette écriture.

2. Quelle méthode permet d’obtenir la forme canonique de ax²+bx+c ?

A. Remplacer directement x par −b/(2a) dans l’expression développée

B. Factoriser c puis appliquer la formule du discriminant

C. Développer uniquement le terme constant puis réduire les termes semblables

D. Factoriser a puis compléter le carré avec une identité remarquable

Answer: (D)

Explicación

On factorise d’abord a, puis on utilise l’identité x²+2xy+y²=(x+y)² afin de compléter le carré. Les autres méthodes ne décrivent pas la transformation vers la forme canonique.

3. Comment définit-on le discriminant du polynôme ax²+bx+c ?

A. Δ=b²+4ac

B. Δ=2b−4ac

C. Δ=b²−4ac

D. Δ=4ac−b²

Answer: (C)

Explicación

Le discriminant est défini par Δ=b²−4ac. Le signe entre b² et 4ac est une source fréquente de confusion : il s’agit d’une soustraction.

4. Que peut-on conclure lorsque le discriminant d’une équation du second degré est strictement positif ?

A. L’équation ne possède aucune solution réelle

B. L’équation possède deux solutions réelles distinctes

C. L’équation possède une seule solution réelle double

D. L’équation possède nécessairement trois solutions réelles

Answer: (B)

Explicación

Lorsque Δ>0, l’équation possède deux solutions réelles distinctes, données par x₁=(−b−√Δ)/(2a) et x₂=(−b+√Δ)/(2a). Une solution double correspond au cas Δ=0.

5. Une équation du second degré a un discriminant égal à zéro. Quelle est sa solution réelle ?

A. Aucune solution réelle

B. Une solution double x₀=b/(2a)

C. Une solution double x₀=−b/(2a)

D. Deux solutions distinctes x₁=−b/(2a) et x₂=b/(2a)

Answer: (C)

Explicación

Si Δ=0, l’équation possède une unique solution réelle, appelée solution double, donnée par x₀=−b/(2a). Le signe négatif au numérateur est indispensable.

6. Quel est l’ensemble des solutions réelles d’une équation ax²+bx+c=0 lorsque son discriminant est négatif ?

A. Deux solutions réelles distinctes

B. Un singleton contenant −b/(2a)

C. L’ensemble vide

D. Le singleton contenant b/(2a)

Answer: (C)

Explicación

Lorsque Δ<0, l’équation ne possède aucune solution réelle : son ensemble de solutions réelles est donc vide. La solution double apparaît uniquement lorsque Δ=0.