Hoja de repaso: Structures et décompositions en algèbre linéaire

📋 Plan du Cours

1. Espace vectoriel & propriétés
2. Combinaisons linéaires & vecteurs
3. Sous-espaces & stabilité
4. Sous-espaces affines & direction
5. Sous-espace engendré & Vect(X)
6. Familles libres & dépendance
7. Bases & coordonnées
8. Dimension & cardinalité
9. Somme de sous-espaces & Grassmann
10. Somme directe & unicité
11. Sous-espaces supplémentaires & somme directe

📖 1. Espace vectoriel & propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel (sur K) : Triplet (E, +, ·) où E est un ensemble, + une loi d’addition commutative, et · une multiplication externe par K, vérifiant des axiomes (associativité, distributivité, existence d’un vecteur nul, etc.).
• Vecteur : Élément de E.
• Scalaire : Élément de K, le corps de base.
• Vecteur nul (0E) : Élément neutre pour l’addition dans E.
• Combinaison linéaire : Vecteur formé de la somme de scalaires multipliés par des vecteurs, λ1x1 + ... + λnxn.
• Sous-espace vectoriel : Partie F de E, stable par addition et multiplication par scalaire, contenant 0E.
• Sous-espace affine : Partie F de E, de la forme x + F où F est un sous-espace vectoriel, contenant un point fixe x.
• Direction d’un sous-espace affine : Le sous-espace vectoriel associé F dans F = x + F.

📝 Points essentiels

• La structure d’espace vectoriel généralise la notion géométrique de vecteur, permettant une représentation abstraite d’objets variés (matrices, fonctions, polynômes).
• La stabilité par addition et multiplication par scalaire est fondamentale pour définir un sous-espace.
• La combinaison linéaire est une opération clé pour construire et analyser des espaces et sous-espaces.
• Tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire.
• La somme de plusieurs espaces vectoriels est un espace vectoriel, de même que leur intersection.
• Un sous-espace affine est caractérisé par sa direction (sous-espace vectoriel) et un point de passage.
• L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est un sous-espace vectoriel.
• La notion de famille presque nulle de scalaires permet d’étendre la définition de combinaison linéaire à un nombre infini de vecteurs, en somme finie.

💡 À retenir

L’espace vectoriel est une structure algébrique fondamentale qui permet d’étendre la géométrie classique à des objets abstraits, en utilisant des opérations de combinaison linéaire, tout en conservant des propriétés essentielles comme la stabilité par addition et multiplication par scalaire.

📖 2. Combinaisons linéaires & vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Triplet (E, +, ·) où E est un ensemble, + une addition commutative, et · une multiplication externe par un corps K, satisfaisant des axiomes (associativité, commutativité, distributivité, existence d’un vecteur nul, etc.).

• Vecteur : Élément d’un espace vectoriel E.

• Scalaire : Élément d’un corps K agissant sur E via la multiplication externe ·.

• Combinaison linéaire : Vecteur de la forme ∑ λk xk, où λk ∈ K et xk ∈ E.

• Famille presque nulle : Famille d’éléments de K indexée par I, où tous sauf un nombre fini d’entre eux sont nuls.

• Sous-espace vectoriel : Partie F de E, stable par addition et multiplication par un scalaire, contenant le vecteur nul.

• Sous-espace affine : Partie F de E de la forme x + F, où F est un sous-espace vectoriel, et x ∈ E. La direction de F est F.

• Engendrement : Vecteur ou sous-espace engendré par une famille de vecteurs, noté Vect(X), constitué des combinaisons linéaires de X.

📝 Points essentiels

• Propriétés fondamentales :

  • λ · x = 0E ⇔ λ = 0 ou x = 0.
  • −x = (−1) · x.
  • Toute combinaison linéaire est une somme finie de produits scalaires et vecteurs.

• Combinaisons linéaires :

  • Toute famille finie ou infinie (avec somme finie) de vecteurs peut générer un sous-espace vectoriel.
  • La somme de sous-espaces est un sous-espace, mais la réunion de deux sous-espaces ne l’est pas en général.

• Sous-espaces :

  • Caractérisés par leur stabilité par addition et multiplication par scalaire, et contenant le vecteur nul.
  • L’intersection de sous-espaces est un sous-espace.

• Sous-espace engendré :

  • Plus petit sous-espace contenant une famille donnée, constitué des combinaisons linéaires de cette famille.

• Sous-espace affine :

  • Partie de la forme x + F, avec F sous-espace vectoriel.
  • La direction est F, et tout sous-espace vectoriel est aussi un sous-espace affine.

💡 À retenir

Les vecteurs d’un espace vectoriel peuvent être combinés par des sommes finies de scalaires, permettant de générer des sous-espaces, qui jouent un rôle central en algèbre linéaire pour décrire la structure et la dimension des espaces. La distinction entre sous-espace vectoriel et affine repose sur la présence ou non d’un point d’origine, la direction étant commune.

📖 3. Sous-espaces & stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Triplet (E, +, ·) où E est un ensemble, + une loi d’addition commutative, et · une multiplication externe par un corps K, vérifiant des axiomes (associativité, distributivité, existence d’un vecteur nul, etc.).

• Vecteur : Élément de E, représentant géométriquement une direction et une norme.

• Sous-espace vectoriel : Partie F de E qui est un espace vectoriel à part entière, stable par addition et multiplication par un scalaire, contenant le vecteur nul.

• Sous-espace affine : Partie F de E de la forme x + F où F est un sous-espace vectoriel, et x un point fixe. La direction de F est F, et F ne contient pas nécessairement le vecteur nul.

• Combinaison linéaire : Vecteur formé par une somme finie de vecteurs multipliés par des scalaires : ∑ λi xi, avec λi ∈ K.

• Engendrement : Sous-espace vectoriel Vect(X) engendré par une partie X de E, constitué de toutes ses combinaisons linéaires.

📝 Points essentiels

• La stabilité par addition et multiplication par un scalaire est la caractéristique fondamentale d’un sous-espace vectoriel.

• La caractérisation d’un sous-espace F : il doit contenir 0E, être stable par combinaison linéaire, et être un sous-groupe additif.

• La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace, mais leur intersection l’est toujours.

• Tout sous-espace vectoriel est aussi un sous-espace affine dont la direction est lui-même.

• La somme d’un sous-espace vectoriel et d’un point fixe donne un sous-espace affine.

• L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est un sous-espace vectoriel.

• La notion de famille presque nulle de scalaires permet d’étendre la définition de combinaisons linéaires à un nombre infini de vecteurs (somme finie).

💡 À retenir

Les sous-espaces et sous-espaces affines sont des structures fondamentales en algèbre linéaire, permettant de décrire géométriquement et algébriquement l’ensemble des solutions de systèmes linéaires et la construction d’espaces vectoriels à partir de parties. La stabilité par addition et multiplication par un scalaire, ainsi que la caractérisation via leur direction, sont au cœur de leur étude.

📖 4. Sous-espaces affines & direction

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace affine : Partie F d’un espace vectoriel E de la forme F = x + F, où F est un sous-espace vectoriel de E et x un point de E. Elle représente une translation d’un sous-espace vectoriel par un point fixe.
• Direction d’un sous-espace affine : Le sous-espace vectoriel F associé à F, noté aussi la « direction » de F, qui est invariant par translation.
• Point d’un sous-espace affine : Un point x ∈ E tel que F = x + F. Il sert de référence pour définir F.
• Sous-espace affine : Ensemble de points formant une translation d’un sous-espace vectoriel, sans nécessairement contenir le vecteur nul.
• Propriété caractéristique : Un sous-espace affine F est entièrement déterminé par sa direction F et un point A ∈ F, avec F = A + F.
• Intersection de sous-espaces affines : La réunion de plusieurs sous-espaces affines peut être vide ou un sous-espace affine, dont la direction est l’intersection des directions de chaque sous-espace, si cette intersection n’est pas vide.

📝 Points essentiels

• Tout sous-espace vectoriel est un sous-espace affine (avec point d’origine 0).
• La direction d’un sous-espace affine est un sous-espace vectoriel unique, appelé aussi la « direction » de F.
• La forme F = x + F permet d’identifier un sous-espace affine par un point x et sa direction F.
• Deux sous-espaces affines sont égaux si et seulement si ils ont la même direction et un point en commun.
• L’intersection de plusieurs sous-espaces affines, si elle est non vide, est un sous-espace affine dont la direction est l’intersection des directions.
• La notion de sous-espace affine est une généralisation du sous-espace vectoriel, adaptée à la géométrie affine.
• La translation d’un sous-espace vectoriel par un point fixe permet de créer un sous-espace affine.

💡 À retenir

Un sous-espace affine est une translation d’un sous-espace vectoriel par un point, caractérisée par sa direction (le sous-espace vectoriel associé) et un point d’appui. La compréhension de cette structure est essentielle pour la géométrie affine, notamment pour étudier droites, plans, et intersections.

📖 5. Sous-espace engendré & Vect(X)

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Triplet (E, +, ·) où E est un ensemble, + une loi d'addition commutative, et · une multiplication externe par un corps K, vérifiant les axiomes de compatibilité, associativité, existence d’un vecteur nul, etc.

• Combinaison linéaire : Vecteur de la forme ∑ λk xk, où xk ∈ E et λk ∈ K, avec une somme finie de scalaires.

• Sous-espace vectoriel : Partie F de E stable par addition et multiplication par un scalaire, contenant le vecteur nul, et vérifiant la propriété que toute combinaison linéaire de ses éléments reste dans F.

• Sous-espace affine : Partie F de E de la forme x + F, où F est un sous-espace vectoriel appelé la direction de F, et x un point fixe de E.

• Engendrement (Vect(X)) : Le plus petit sous-espace vectoriel contenant une partie X de E, constitué de toutes ses combinaisons linéaires.

📝 Points essentiels

• Propriétés fondamentales :

  • λ · x = 0E ⇔ λ = 0 ou x = 0E.
  • −x = (−1) · x, avec −x l’opposé de x dans E.
  • L’intersection de plusieurs sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
  • Tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire.

• Sous-espace engendré :

  • Définition : intersection de tous les sous-espaces contenant X.
  • Alternative : ensemble des combinaisons linéaires de (xi)i∈I.
  • Notation : Vect(X) ou Vect(xi)i∈I.

• Sous-espace affine :

  • Forme : x + F, avec F sous-espace vectoriel.
  • La direction F est unique.
  • Deux sous-espaces affines sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction et un point commun.

• Systèmes linéaires :

  • Ensemble des solutions d’un système homogène AX=0 est un sous-espace vectoriel.
  • Ensemble des solutions d’un système compatible AX=B est un sous-espace affine.

💡 À retenir

Le sous-espace engendré par un ensemble est la collection de toutes ses combinaisons linéaires, constituant le plus petit sous-espace contenant cet ensemble. Les sous-espaces affines, eux, sont des translations de sous-espaces vectoriels, caractérisés par leur direction et un point d’appui.

📖 6. Familles libres & dépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Une famille de vecteurs (x_i){i∈I} dans un espace vectoriel E est dite libre si aucune combinaison linéaire non triviale n’est nulle, c’est-à-dire que la seule solution à ∑{i∈I} λ_i x_i = 0 est λ_i = 0 pour tout i.
• Dépendance linéaire : Une famille de vecteurs (x_i){i∈I} est dépendante si il existe une combinaison linéaire non triviale (au moins un λ_i ≠ 0) telle que ∑{i∈I} λ_i x_i = 0.
• Base : Une famille libre et génératrice (qui engendre tout l’espace) de E.
• Famille génératrice : Une famille de vecteurs dont la combinaison linéaire permet d’obtenir tout vecteur de l’espace.
• Notion de dépendance : Si une famille de vecteurs est dépendante, certains vecteurs peuvent s’écrire comme combinaison linéaire des autres.

📝 Points essentiels

• La famille libre est une condition d’indépendance : aucun vecteur ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres.
• La dépendance linéaire implique qu’au moins un vecteur est redondant, c’est-à-dire qu’il peut être exprimé par une combinaison des autres.
• Toute famille finie de vecteurs dans un espace vectoriel est dépendante si et seulement si le nombre de vecteurs dépasse la dimension de l’espace.
• La dimension d’un espace vectoriel est la cardinalité d’une base (famille libre maximale).
• Toute famille libre peut être étendue en une base de l’espace (théorème d’extension).
• La notion de famille libre est essentielle pour définir une base et étudier la structure de l’espace.

💡 À retenir

Une famille de vecteurs est libre si aucun vecteur ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres ; cette propriété est fondamentale pour construire des bases et déterminer la dimension d’un espace vectoriel.

📖 7. Bases & coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble E muni de deux lois (addition + et multiplication par un scalaire ·) vérifiant des propriétés spécifiques (groupe abélien pour +, distributivité, associativité, etc.). Les éléments de E sont appelés vecteurs, ceux de K des scalaires.
• Combinaison linéaire : Vecteur de la forme $\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k$, où $x_k \in E$ et $\lambda_k \in K$. Elle représente la synthèse d’un vecteur à partir d’autres.
• Sous-espace vectoriel : Partie F de E qui est un espace vectoriel à part entière, stable par addition et multiplication par un scalaire, contenant le vecteur nul.
• Base : Ensemble de vecteurs linéairement indépendants dont la combinaison linéaire permet d’obtenir tout vecteur de l’espace.
• Coordonnées : Ensemble de scalaires permettant d’écrire un vecteur comme combinaison linéaire d’une base choisie.

📝 Points essentiels

• La structure d’espace vectoriel est fondamentale en mathématiques, permettant de représenter géométriquement ou analytiquement divers objets (vecteurs, matrices, fonctions, polynômes).
• La combinaison linéaire est la construction de nouveaux vecteurs à partir d’un ensemble donné. La capacité à exprimer tout vecteur comme combinaison linéaire d’un ensemble de vecteurs est la propriété clé d’une base.
• La base d’un espace vectoriel est un ensemble minimal de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent tout l’espace.
• La dimension de l’espace est le nombre de vecteurs dans une base (notée $\dim(E)$). Elle est une caractéristique fondamentale de l’espace.
• La représentation par coordonnées : Tout vecteur dans une base donnée s’écrit de façon unique avec une famille de scalaires (les coordonnées).

💡 À retenir

Une base permet de donner une représentation unique de chaque vecteur par ses coordonnées, ce qui facilite la manipulation et l’étude des espaces vectoriels. La dimension, définie par le nombre d’éléments d’une base, est une invariant fondamental de l’espace.

📖 8. Dimension & cardinalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble E muni de deux lois (addition + et multiplication par un scalaire ·) vérifiant des axiomes (associativité, commutativité, existence d’un vecteur nul, etc.). Les éléments de E sont appelés vecteurs, ceux de K scalaires.
• Dimension : Nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants dans un espace vectoriel E. Notée dim(E). Si cette valeur est finie, E est dit de dimension finie.
• Base : Ensemble minimal de vecteurs linéairement indépendants dont la combinaison linéaire permet de générer tout E. La base a pour cardinalité la dimension de E.
• Sous-espace vectoriel : Partie F de E qui est elle-même un espace vectoriel pour les lois induites. La dimension de F est inférieure ou égale à celle de E.
• Cardinalité : Nombre d’éléments d’un ensemble. La cardinalité d’une base est égale à la dimension de l’espace.
• Notion à retenir : La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une base, et toute base d’un espace de dimension finie possède le même nombre d’éléments.

📝 Points essentiels

• La dimension est un invariant fondamental : elle ne dépend pas du choix de la base.
• La base permet de décrire tout vecteur comme une combinaison linéaire unique de vecteurs de la base.
• La cardinalité d’une base est toujours la même pour un espace donné, ce qui justifie la définition de la dimension.
• Tout sous-espace vectoriel F de E vérifie : dim(F) ≤ dim(E).
• La dimension finie implique que tout vecteur peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs.
• La relation entre dimension et cardinalité : la dimension d’un espace vectoriel est le cardinal de toute base de cet espace.

💡 À retenir

La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments d’une base, ce qui permet de caractériser la taille et la structure de l’espace. Toute base d’un espace de dimension finie possède le même nombre d’éléments, garantissant ainsi une invariance fondamentale.

📖 9. Somme de sous-espaces & Grassmann

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Partie F d’un espace E stable par addition et multiplication par un scalaire, contenant le vecteur nul. Il forme lui-même un espace vectoriel.
• Somme de sous-espaces (F + G) : Ensemble constitué de toutes les sommes x + y avec x ∈ F et y ∈ G. C’est un sous-espace vectoriel contenant F et G.
• Sous-espace engendré : Plus petit sous-espace contenant un ensemble ou une partie donnée, noté Vect(X). Il est constitué des combinaisons linéaires finies des éléments de X.
• Sous-espace de Grassmann : Ensemble de tous les sous-espaces vectoriels d’un espace E de dimension fixe n, souvent noté G(k, E) pour l’ensemble des sous-espaces de dimension k.
• Propriété de la somme : La somme de deux sous-espaces est un sous-espace vectoriel. La somme directe (F ⊕ G) si F ∩ G = {0}.

📝 Points essentiels

• La somme de deux sous-espaces F et G est toujours un sous-espace vectoriel, noté F + G.
• La somme de sous-espaces peut ne pas être directe si leur intersection n’est pas réduite au vecteur nul.
• Le sous-espace engendré par une famille de vecteurs est l’ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires finies.
• La dimension du somme directe F ⊕ G est la somme des dimensions si F ∩ G = {0}.
• La théorie de Grassmann étudie la structure des sous-espaces d’un espace vectoriel, notamment leur organisation en variétés ou ensembles.

💡 À retenir

La somme de sous-espaces permet de construire de nouveaux sous-espaces, et la notion de Grassmann organise ces sous-espaces selon leur dimension, jouant un rôle central en géométrie et algèbre linéaire avancée. La somme directe est essentielle pour décomposer un espace en sous-espaces indépendants.

📖 10. Somme directe & unicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme directe : La somme de sous-espaces $E_1, E_2, \dots, E_n$ d’un espace vectoriel $E$ est dite directe si chaque vecteur de leur somme peut être unique exprimé comme somme d’un vecteur dans chaque sous-espace, c’est-à-dire si l’intersection de tous ces sous-espaces est réduite au vecteur nul :
  $E_1 \oplus E_2 \oplus \dots \oplus E_n = E_1 + E_2 + \dots + E_n \quad \text{avec} \quad E_i \cap \sum_{j \neq i} E_j = \{0\}$

• Décomposition en somme directe : Expression d’un espace $E$ comme somme directe de sous-espaces $E_i$, où chaque vecteur de $E$ s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur dans chaque $E_i$.

• Unicité de la décomposition : La représentation d’un vecteur comme somme d’éléments issus de sous-espaces $E_i$ est unique si la somme est directe.

• Critère d’une somme directe : La somme $E_1 + E_2 + \dots + E_n$ est directe si et seulement si l’intersection de chaque sous-espace avec la somme des autres est réduite au vecteur nul.

📝 Points essentiels

• La somme de sous-espaces est directe si et seulement si l’unicité de la décomposition est assurée.
• La condition d’intersection nulle entre chaque sous-espace et la somme des autres est essentielle pour garantir la somme directe.
• La propriété d’unicité permet de définir une base pour chaque sous-espace dans une décomposition en somme directe.
• La somme directe est souvent notée avec le symbole $\oplus$, par exemple :
  $E = E_1 \oplus E_2 \oplus \dots \oplus E_n$
• La somme directe permet de « découper » un espace en morceaux indépendants, facilitant son étude et sa structure.

💡 À retenir

Une somme de sous-espaces est dite directe si chaque vecteur de l’espace peut être exprimé de façon unique comme somme d’éléments issus de chacun des sous-espaces, ce qui est garanti par la condition que l’intersection de chaque sous-espace avec la somme des autres est réduite au vecteur nul.

📖 11. Sous-espaces supplémentaires & somme directe

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Partie F d’un espace vectoriel E qui est un espace vectoriel à part entière pour les lois d’addition et de multiplication par un scalaire, et qui est stable par ces opérations. Forme : F = x + F où F est un sous-espace vectoriel de E et x ∈ E (sous-espace affine avec point d’origine x).

• Caractérisation d’un sous-espace : F est un sous-espace de E si et seulement si 0E ∈ F et F est stable par combinaison linéaire (pour tous x, y ∈ F, λ ∈ K : λx + y ∈ F).

• Sous-espace engendré : Vect(X) est le plus petit sous-espace contenant X, constitué des combinaisons linéaires finies de éléments de X.

• Somme directe : Si E est la somme de sous-espaces F₁, F₂, ..., Fₙ, et si leur intersection est réduite à {0}, alors la somme est dite directe, notée E = F₁ ⊕ F₂ ⊕ ... ⊕ Fₙ.

• Somme de sous-espaces : La somme F₁ + F₂ + ... + Fₙ est l’ensemble des vecteurs pouvant s’écrire comme la somme d’un vecteur de chaque sous-espace.

• Décomposition en somme directe : Tout vecteur de E peut s’écrire de manière unique comme somme d’un vecteur dans chaque Fᵢ si la somme est directe.

📝 Points essentiels

• La somme de sous-espaces F₁, F₂, ..., Fₙ est un sous-espace vectoriel contenant chacun des Fᵢ. Elle est construite par l’ensemble des sommes finies de vecteurs issus de chaque Fᵢ.

• La somme directe nécessite que l’intersection de tous les Fᵢ soit {0} pour garantir l’unicité de la décomposition d’un vecteur en somme de vecteurs dans chaque Fᵢ.

• La décomposition en somme directe est fondamentale pour analyser la structure d’un espace vectoriel en sous-espaces indépendants.

• La caractérisation d’un sous-espace par sa stabilité par addition, multiplication par un scalaire, et la présence du vecteur nul.

• La propriété que l’intersection de plusieurs sous-espaces est encore un sous-espace, et que la somme de plusieurs sous-espaces est aussi un sous-espace.

💡 À retenir

La somme directe de sous-espaces permet de décomposer un espace vectoriel en parties indépendantes, chaque vecteur étant alors représenté de façon unique comme la somme d’un vecteur dans chaque sous-espace, ce qui facilite l’étude de leur structure et de leurs propriétés.

📊 Tableaux de Synthèse

Thème	Concepts clés	Propriétés principales	Remarques
Espace vectoriel	Vecteur, scalaire, combinaison linéaire, sous-espace	Fermeture par addition et multiplication scalaire, contient 0E	Structure abstraite généralisant la géométrie
Sous-espace	Partie stable par addition et scalaire, contient 0E	Intersection de sous-espaces est un sous-espace, somme d’espaces est un sous-espace	Définition par stabilité et inclusion
Sous-espace affine	Partie de la forme x + F, F sous-espace	Déterminé par sa direction F et un point x	La direction est un sous-espace vectoriel, pas nécessairement contenant 0E
Combinaisons linéaires	∑ λk xk	Permettent de générer des sous-espaces, engendrement	Sum finie, famille presque nulle pour extension infinie

Thème	Relation	Propriété notable
Sous-espace vectoriel & affine	Toute partie stable par addition et scalaire	Sous-espace affine = translation d’un sous-espace vectoriel
Somme de sous-espaces	Union + fermeture	La somme est un sous-espace, pas la réunion

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre sous-espace vectoriel et affine : un sous-espace affine ne contient pas forcément 0E, contrairement à un sous-espace vectoriel.
2. Penser que la réunion de deux sous-espaces est toujours un sous-espace : ce n’est vrai que pour leur intersection.
3. Confondre la somme et la réunion de sous-espaces : la somme est un sous-espace, la réunion ne l’est pas en général.
4. Oublier que la direction d’un sous-espace affine est un sous-espace vectoriel, mais que l’affine lui-même n’est pas nécessairement un espace vectoriel.
5. Confondre la notion de famille presque nulle et famille finie : la première permet des combinaisons infinies, mais somme finie.
6. Ignorer que la stabilité par combinaison linéaire implique la présence du vecteur nul dans un sous-espace.
7. Confondre dimension et cardinalité : la dimension est le nombre de vecteurs dans une base, la cardinalité concerne l’ensemble.

✅ Checklist Examen

1. Définir un espace vectoriel et énumérer ses axiomes fondamentaux.
2. Expliquer la différence entre sous-espace vectoriel et sous-espace affine.
3. Décrire la notion de combinaison linéaire et son rôle dans la génération d’un sous-espace.
4. Donner la définition d’un sous-espace engendré par une famille de vecteurs.
5. Illustrer la différence entre somme de sous-espaces et réunion de sous-espaces.
6. Expliquer ce qu’est une famille presque nulle de scalaires.
7. Définir une famille libre et une famille dépendante.
8. Décrire une base d’un espace vectoriel et la notion de coordonnées.
9. Énoncer la relation entre dimension et cardinalité d’une base.
10. Définir la somme directe de sous-espaces et ses conditions d’unicité.
11. Expliquer la notion de sous-espace supplémentaire et la somme directe.
12. Vérifier si une partie donnée est un sous-espace vectoriel ou affine.