Hoja de repaso: Suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites arithmétiques
2. Forme et variations arithmétiques
3. Définition des suites géométriques
4. Forme et variations géométriques
5. Sommes de suites arithmétiques
6. Sommes géométriques et algorithmes

📖 1. Définition des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier n, $u_{n+1}=u_n+r$.
• Raison arithmétique : Le nombre réel r ajouté à chaque terme pour obtenir le suivant est appelé la raison de la suite arithmétique.

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et on vérifie que cette différence est constante.

Compléments

• La suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n+5$ est arithmétique de raison 5 et commence par 3, 8, 13 et 18.

• Pour $u_n=7-9n$, on obtient $u_{n+1}-u_n=-9$, donc la suite est arithmétique de raison −9.

📖 2. Forme et variations arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison r vérifie $u_n=u_0+nr$.

• Une suite arithmétique de raison positive est croissante, tandis qu’une suite de raison négative est décroissante.

Compléments

📐 Formule — Si le premier terme donné est $u_1$, une suite arithmétique vérifie $u_n=u_1+(n-1)r$.

• Pour retrouver un terme initial manquant d’une suite arithmétique, on remonte les termes en soustrayant la raison à chaque étape.

• Si $u_5=7$ et $u_9=19$, alors $r=3$, $u_0=-8$ et $u_n=3n-8$.

• Les points de représentation graphique d’une suite arithmétique sont alignés, ce qui traduit une croissance linéaire.

📖 3. Définition des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel non nul q tel que, pour tout entier n, $u_{n+1}=q\times u_n$.
• Raison géométrique : Le nombre réel q qui multiplie chaque terme pour obtenir le suivant est appelé la raison de la suite géométrique.

★ À maîtriser

• Pour démontrer qu’une suite est géométrique, on vérifie que le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant lorsque les termes sont non nuls.

Compléments

• La suite définie par $u_n=3\times5^n$ est géométrique de raison 5 et de premier terme $u_0=3$.

• Un capital initial de 500 € placé à 4 % par an suit une suite géométrique de raison 1,04, avec notamment 520 €, 540,80 € et 562,432 € aux termes suivants.

📖 4. Forme et variations géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison q vérifie $u_n=u_0\times q^n$.

📌 Si $u_0>0$ et $q>1$, la suite géométrique est croissante, tandis que si $u_0>0$ et $0<q<1$, elle est décroissante.

Compléments

📐 Formule — Si le premier terme donné est $u_1$, une suite géométrique vérifie $u_n=u_1\times q^{n-1}$.

• Pour retrouver un terme initial manquant d’une suite géométrique, on remonte les termes en divisant par la raison q à chaque étape.

📌 Si q=1, la suite géométrique est constante, et si q≤0, elle n’est ni croissante ni décroissante.

📖 5. Sommes de suites arithmétiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, la somme des n premiers entiers vérifie $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

• La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique se calcule en multipliant le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme.

Compléments

• La somme $1+2+\cdots+348$ vaut 60 726.

• La somme $33+36+39+\cdots+267$, qui regroupe des multiples de 3, vaut 11 850.

📖 6. Sommes géométriques et algorithmes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour q différent de 1 et n entier naturel non nul, la somme des n+1 premières puissances vérifie $1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Un capital ou un investissement diminué de 30 % chaque période est multiplié par 0,70 à chaque étape et forme une suite géométrique de raison 0,7.

• Pour une suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=0{,}2u_n+1$, qui n’est ni arithmétique ni géométrique, un programme Python permet de calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{20}\approx14{,}69$.

Compléments

• Pour démontrer la formule géométrique, on pose S=1+q+\cdots+q^n, puis on calcule qS et on soustrait pour obtenir $(1-q)S=1-q^{n+1}$.

• La somme $1+\frac12+\left(\frac12\right)^2+\cdots+\left(\frac12\right)^8$ vaut $\frac{255}{128}$.

• Avec un investissement initial de 20 000 € et une diminution mensuelle de 30 %, le total investi sur 12 mois est environ 65 744 €.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques

Caractéristique	Suite arithmétique	Suite géométrique
Relation de récurrence	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\times u_n$
Expression explicite	$u_n=u_0+nr$	$u_n=u_0q^n$
Critère de reconnaissance	Différence constante	Quotient constant
Nature de la croissance	Linéaire	Exponentielle