Quiz: Suites arithmétiques et géométriques — 15 questions

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

A. u_{n+1}=r u_n

B. u_{n+1}=u_n^2+r

C. u_n=u_0q^n

D. u_{n+1}=u_n+r

Answer: (D)

Explanation

Une suite est arithmétique lorsque l’on ajoute le même réel r à chaque terme pour obtenir le suivant.

2. Dans une suite arithmétique, que représente la raison r ?

A. Le premier terme de la suite

B. Le nombre d’indices de la suite

C. La différence constante entre deux termes successifs

D. Le quotient constant entre deux termes successifs

Answer: (C)

Explanation

La raison arithmétique est le nombre réel ajouté à chaque terme. Elle correspond donc à une différence constante, contrairement à la raison géométrique qui est un quotient constant.

3. Quelle méthode permet de démontrer qu’une suite est arithmétique ?

A. Calculer uniquement le premier terme de la suite

B. Calculer la différence u_{n+1}-u_n et vérifier qu’elle est constante

C. Calculer le quotient u_{n+1}/u_n et vérifier qu’il est constant

D. Vérifier que chaque terme est une puissance de n

Answer: (B)

Explanation

Pour établir qu’une suite est arithmétique, il faut calculer la différence entre deux termes successifs et montrer qu’elle ne dépend pas de n.

4. Une suite arithmétique vérifie u_0=4 et a pour raison r=3. Quelle expression donne u_n ?

A. u_n=4×3^n

B. u_n=4+3n

C. u_n=3+4n

D. u_n=4+3(n-1)

Answer: (B)

Explanation

Lorsqu’un premier terme u_0 est connu, la formule générale est u_n=u_0+nr. Ici, u_n=4+3n.

5. Comment évolue une suite arithmétique dont la raison est négative ?

A. Elle est constante

B. Elle est croissante

C. Elle est décroissante

D. Elle alterne nécessairement entre deux valeurs

Answer: (C)

Explanation

Une raison négative signifie qu’une quantité est soustraite à chaque étape ; la suite est donc décroissante.

6. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison q ?

A. u_{n+1}=u_n+q

B. u_n=u_0+nq

C. u_{n+1}=u_n-q

D. u_{n+1}=q×u_n

Answer: (D)

Explanation

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la même raison q, non nulle.

7. Que représente la raison q d’une suite géométrique ?

A. Le quotient constant entre deux termes successifs

B. La différence constante entre deux termes successifs

C. Le nombre d’indices utilisés

D. Le premier terme de la suite

Answer: (A)

Explanation

La raison géométrique q est le facteur multiplicatif constant entre deux termes successifs. La différence constante caractérise, elle, une suite arithmétique.

8. Pour vérifier qu’une suite dont les termes sont non nuls est géométrique, que faut-il établir ?

A. Que tous les termes sont positifs

B. Qu'u_{n+1}/u_n est constant

C. Qu'u_{n+1}-u_n est constant

D. Qu'u_n est égal à une expression affine de n

Answer: (B)

Explanation

Une suite est géométrique lorsque le quotient de deux termes successifs, u_{n+1}/u_n, est constant lorsque les termes ne sont pas nuls.

9. Une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q est définie par quelle expression de son terme général uₙ ?

A. uₙ = u₀ + nq

B. uₙ = u₀ × nᵠ

C. uₙ = u₀ + nqⁿ

D. uₙ = u₀ × qⁿ

Answer: (D)

Explanation

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par q, d’où uₙ = u₀ × qⁿ. La formule u₀ + nr correspond à une suite arithmétique.

10. Si u₀ est positif et que la raison q vaut 0,6, comment évolue la suite géométrique ?

A. Elle est constante

B. Elle est décroissante

C. Elle est croissante

D. Elle alterne nécessairement entre deux valeurs

Answer: (B)

Explanation

Lorsqu'u₀ > 0 et 0 < q < 1, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre inférieur à 1, donc la suite est décroissante.

11. Quelle formule donne la somme des n premiers entiers naturels non nuls ?

A. n²

B. (n + 1)²/2

C. n(n + 1)/2

D. n(n − 1)/2

Answer: (C)

Explanation

La somme 1 + 2 + ⋯ + n est égale à n(n + 1)/2. Cette formule s’applique à tout entier naturel non nul n.

12. Une suite arithmétique comporte 12 termes, dont le premier vaut 5 et le dernier 38. Quelle méthode permet de calculer leur somme ?

A. Multiplier 12 par 38

B. Multiplier 12 par 5

C. Multiplier 33 par la différence entre 38 et 5

D. Multiplier 12 par la moyenne de 5 et 38

Answer: (D)

Explanation

La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier : 12 × (5 + 38)/2.

13. Pour q différent de 1, quelle expression représente la somme 1 + q + q² + ⋯ + qⁿ ?

A. (1 − qⁿ)/(1 − q)

B. (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)

C. (1 + qⁿ⁺¹)/(1 + q)

D. (qⁿ⁺¹ − 1)/q

Answer: (B)

Explanation

La somme des n + 1 premières puissances de q vaut (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q), sous la condition q ≠ 1. Le terme final qⁿ explique la présence de l’exposant n + 1 au numérateur.

14. Un investissement perd 30 % de sa valeur à chaque période. Quel modèle décrit cette évolution ?

A. Une suite géométrique de raison 0,70

B. Une suite géométrique de raison 0,30

C. Une suite arithmétique de raison 0,70

D. Une suite arithmétique de raison −30

Answer: (A)

Explanation

Après une diminution de 30 %, la valeur restante représente 70 % de la valeur précédente, soit une multiplication par 0,70. L’évolution est donc géométrique de raison 0,7.

15. Pour la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 0,2uₙ + 1, quelle valeur approchée obtient-on pour u₀ + u₁ + ⋯ + u₂₀ ?

A. 21,00

B. 14,69

C. 2,20

D. 10,00

Answer: (B)

Explanation

Cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique ; un calcul itératif, par exemple avec un programme Python, donne une somme d’environ 14,69 jusqu’au rang 20.