Hoja de repaso: Synthèse des filtres analogiques

📋 Plan du Cours

1. Rôle et applications des filtres
2. Cahier des charges et gabarit
3. Fonction de transfert et stabilité
4. Types et transpositions de filtres
5. Filtres du second ordre
6. Régimes temporels du second ordre
7. Approximations de réponse fréquentielle
8. Filtrage anti-repliement
9. Synthèse et réalisation pratique
10. Structures actives à amplificateur
11. Filtres intégrés et universels

📖 1. Rôle et applications des filtres

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre analogique : Un système qui sélectionne ou atténue des composantes fréquentielles d’un signal continu.

★ À maîtriser

• Les filtres sont utilisés dans le traitement audio et vidéo, les télécommunications, les systèmes automatiques et asservis, les systèmes à capteurs et les chaînes de transmission.

• Un filtre passe-bas conserve les basses fréquences, tandis qu’un filtre passe-haut conserve les hautes fréquences.

Compléments

• Les filtres peuvent être analogiques ou numériques et être réalisés avec des composants discrets, des amplificateurs opérationnels ou des circuits intégrés.

📖 2. Cahier des charges et gabarit

🔑 Notions clés & Définitions

• Gabarit de filtre : Le gabarit d’un filtre définit les limites de tolérance imposées aux différentes caractéristiques fréquentielles du filtre.

★ À maîtriser

• Un gabarit précise notamment la fréquence de coupure ωc, la fréquence de début de bande coupée ωs, l’ondulation en bande passante Ap − A0 et l’atténuation minimale As en bande coupée.

Compléments

• La largeur de la bande de transition est la différence ωs − ωc entre la fréquence de bande coupée et la fréquence de coupure.

• Pour un filtre passe-bas de Butterworth de fréquence de coupure fc = 10 kHz, d’amplification maximale unitaire et d’atténuation minimale de 55 dB à fs = 50 kHz, il faut déterminer l’ordre minimal.

💡 Astuce mémo

Spécifications → gabarit → structure → tolérances

📖 3. Fonction de transfert et stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : D’un filtre linéaire est le rapport complexe entre la sortie et l’entrée, $H(j\omega)=\frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction de transfert s’écrit $H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}=\frac{b_m p^m+\cdots+b_1p+b_0}{p^n+\cdots+a_1p+a_0}$ avec n ≥ m.

• L’ordre du filtre est le degré n du dénominateur D(p), les zéros sont les racines de N(p) et les pôles sont les racines de D(p).

📌 Pour assurer la stabilité, les pôles du filtre doivent être situés à gauche de l’axe imaginaire dans le plan complexe.

Compléments

📐 Formule — Le passage de Laplace au régime harmonique s’effectue par la substitution $p=j\omega$.

💡 Astuce mémo

Zéros au numérateur, pôles au dénominateur

📖 4. Types et transpositions de filtres

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre passe-bas : Transmet les basses fréquences et atténue les fréquences élevées.
• Filtre passe-bande : Transmet une bande de fréquences située entre une limite basse et une limite haute.
• Filtre réjecteur : Atténue une bande de fréquences et laisse passer les fréquences situées de part et d’autre.

📝 Points essentiels

• La transposition d’un passe-bas vers un passe-haut utilise la transformation $H(j\omega)\rightarrow H\left(\frac{1}{j\omega}\right)$, et la transformation vers un passe-bande remplace jω par $\frac{1}{B}\left(j\omega+\frac{1}{j\omega}\right)$.

📖 5. Filtres du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur de qualité : Q caractérise la sélectivité du second ordre et vérifie $Q=\frac{1}{2m}$, où m est le facteur d’amortissement.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme normalisée d’un filtre passe-bas du second ordre est $H(j\omega)=\frac{K}{1+2m\frac{j\omega}{\omega_0}+\left(\frac{j\omega}{\omega_0}\right)^2}=\frac{K}{1+\frac{1}{Q}\frac{j\omega}{\omega_0}+\left(\frac{j\omega}{\omega_0}\right)^2}$.

• Un filtre passe-bas du second ordre présente une pente asymptotique de −40 dB par décade après sa fréquence de coupure.

Compléments

📌 Une surtension ou pseudo-résonance apparaît pour un filtre passe-bas du second ordre lorsque Q > 0,707.

📐 Formule — Lorsque la pseudo-résonance existe, le gain maximal et sa fréquence sont donnés par $G_{\max}=\frac{Q}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}$ et $f_{G\max}=f_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$.

📖 6. Régimes temporels du second ordre

★ À maîtriser

• Pour m > 1, la réponse temporelle est apériodique, pour m = 1 elle est apériodique critique, et pour 0 < m < 1 elle est oscillatoire amortie.

Compléments

• Lorsque m = 1, les deux pôles sont confondus et le régime est apériodique critique.

📐 Formule — Pour 0 < m < 0,707, la pseudo-fréquence de résonance vaut $f_p=f_0\sqrt{1-2m^2}$.

📐 Formule — Pour 0,707 < m < 1, la fréquence caractéristique vaut $f_p=f_0\sqrt{1-m^2}$ et la réponse n’est pas oscillatoire.

💡 Astuce mémo

Apériodique → critique → oscillatoire amorti

📖 7. Approximations de réponse fréquentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre de Butterworth : Possède un gain constant en bande passante et une amplitude maximale plate, avec une valeur de gain de 0,707, soit −3 dB, à la fréquence ω0.
• Filtre de Tchebychev : De type 1 présente une ondulation en bande passante, tandis que le type 2 présente une ondulation en bande atténuée.
• Filtre de Bessel : Offre une bonne régularité du temps de propagation et une coupure à décroissance lente.
• Filtre elliptique : Présente des ondulations en bande passante et hors bande passante et possède la coupure la plus raide parmi les types présentés.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La réponse de Butterworth est donnée par $|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2n}}$.

📖 8. Filtrage anti-repliement

★ À maîtriser

📌 Pour éviter le repliement spectral, la fréquence d’échantillonnage doit vérifier $f_e>2f_{\max}$.

• Le filtre anti-repliement est un filtre passe-bas placé à l’entrée du convertisseur analogique-numérique pour atténuer les fréquences supérieures à fe/2.

📐 Formule — Pour un CAN de résolution N bits, la charge élémentaire vaut $q=\frac{V_{\mathrm{ref}}}{2^N}$ et l’atténuation requise vérifie $\mathrm{Att}(dB)>6,02N+1,76$.

Compléments

• Avec une fréquence maximale de 1 kHz et une fréquence d’échantillonnage de 1,1 kHz, le signal échantillonné fait apparaître un signal basse fréquence à 100 Hz par repliement spectral.

💡 Astuce mémo

Échantillonnage insuffisant → repliement spectral

📖 9. Synthèse et réalisation pratique

★ À maîtriser

• La synthèse d’un filtre consiste à partir du cahier des charges, établir le gabarit, choisir une structure, déterminer les composants puis vérifier les tolérances.

• Pour réaliser un filtre d’ordre n, on met en cascade k filtres du second ordre et, si n est impair, un filtre du premier ordre, avec n = 2k ou n = 2k + 1.

Compléments

• Un filtre passe-bas de Butterworth du quatrième ordre peut être réalisé par deux étages passe-bas du second ordre en cascade, comme dans Analog Filter Wizard.

• Les outils de conception cités comprennent CleoView, Analog Filter Wizard et des outils de simulation, qui permettent notamment la sélection des composants et l’étude de leurs tolérances.

💡 Astuce mémo

Gabarit → ordre → composants → tolérances

📖 10. Structures actives à amplificateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Structure de Sallen-Key : Un montage actif à amplificateur opérationnel utilisé pour réaliser des filtres du second ordre, notamment passe-bas, avec un amplificateur en suiveur dans sa version à gain unitaire.
• Structure de Rauch : Une structure active à amplificateur opérationnel dans laquelle, en régime linéaire, la relation au montage inverseur est $V_s=-\frac{Z_5}{Z_2}V_A$.

📝 Points essentiels

• Dans le régime linéaire d’un amplificateur opérationnel monté en suiveur dans une structure de Sallen-Key, la tension de sortie est égale à la tension d’entrée non inverseuse, soit Vs = VB.

• Pour une structure de Sallen-Key passe-bas, les impédances peuvent être choisies comme Z1 = R1, Z2 = R2, Z3 = ZC1 et Z4 = ZC2.

• Pour réaliser un filtre passe-bas de Rauch, les impédances Z3 et Z5 sont capacitives et Z1, Z2 et Z4 sont résistives.

💡 Astuce mémo

Sallen-Key non inverseur, Rauch inverseur

📖 11. Filtres intégrés et universels

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtre universel : Un circuit intégré contenant plusieurs étages actifs et permettant d’obtenir simultanément des sorties passe-haut, passe-bande et passe-bas.

★ À maîtriser

• Dans l’architecture universelle présentée, un même montage fournit trois sorties disponibles:
  • passe-haut
  • passe-bande
  • passe-bas

Compléments

📐 Formule — Pour un filtre universel du second ordre, le dénominateur commun peut s’écrire $D(p)=\frac{p^2}{\omega_0^2}+2m\frac{p}{\omega_0}+1$.

• Les circuits intégrés cités comme filtres universels comprennent l’AF100 et l’UAF42, tandis que les MAX274 et MAX275 sont présentés comme filtres intégrés de Maxim.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des réponses de filtres

Type	Ondulation	Propriété principale
Butterworth	Aucune en bande passante	Amplitude maximale plate
Tchebychev	Bande passante ou bande atténuée	Coupure plus raide
Bessel	Pas d’ondulation indiquée	Temps de propagation régulier
Elliptique	Dans les deux bandes	Coupure la plus raide