ḟ(t)
Explicación
La notation ḟ(t) est réservée à une dérivation par rapport au temps, tandis que f′(x), df/dx(x) et d/dx f(x) indiquent une dérivation par rapport à une variable d’espace (ici x).
(g∘f)′(x)=g′[f(x)]×f′(x)
Explicación
La dérivée d’une composée s’obtient par la règle de la chaîne : on multiplie g′[f(x)] par f′(x). Une addition ou une division correspondrait à une règle différente.
αx^(α−1)
Explicación
Pour α réel, on a (x^α)′=αx^(α−1) sur le domaine où cette fonction est définie. Les autres propositions ne correspondent pas à la formule donnée.
y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀)
Explicación
La tangente en x₀ a pour équation y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀). Les autres choix confondent les rôles de f(x₀) et f′(x₀).
F vérifie F′(x)=f(x) pour tout x∈I
Explicación
Une primitive F d’une fonction continue f sur I est définie par la relation F′(x)=f(x) pour tout x de l’intervalle. Une primitive n’est pas une intégrale définie (qui est un nombre).
F(x)+C avec C constante
Explicación
Toutes les primitives de f s’écrivent F(x)+C où C est une constante réelle. Une condition qui fixerait la constante ferait en effet perdre cette famille, mais ici on demande l’ensemble général.
x^(α+1)/(α+1)+C
Explicación
Pour α≠−1, une primitive de x^α est x^(α+1)/(α+1)+C. Les autres formules ne respectent pas le facteur (α+1) au bon endroit.
Elle est positive
Explicación
Une intégrale définie représente une aire algébrique : elle est positive lorsque la fonction est au-dessus de l’axe y=0. En dessous de l’axe, elle deviendrait négative.
a f′(x)+b f(x)=Φ(x) avec a≠0
Explicación
Une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants s’écrit a f′(x)+b f(x)=Φ(x) avec a≠0. Les autres propositions changent l’ordre ou la structure de l’équation.
On détermine une solution homogène, une solution particulière, puis on additionne f=f_H+f_P
Explicación
La résolution consiste à trouver la solution homogène f_H, une solution particulière f_P, puis leur somme f=f_H+f_P. La solution particulière ne remplace pas la homogène dans la solution générale.
f_H(x)=K exp(−bx/a)
Explicación
Pour a f′+b f=0, l’équation caractéristique ar+b=0 conduit à f_H(x)=K exp(−bx/a). Les autres choix modifient le rapport entre b et a dans l’exponentielle.
Pour sélectionner une constante et obtenir l’unique solution de la solution générale avec second membre
Explicación
Une condition initiale ou aux bords s’applique à la solution générale avec second membre afin de déterminer la constante et obtenir l’unique solution. Sans cette condition, la constante reste indéterminée.
a est non nul et a, b, c sont des constantes
Explicación
Pour une équation linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants, on a a≠0 et a, b, c sont constants. Les autres choix ne correspondent pas à l’expression donnée ou rendent l’ordre non valide.
ar²+br+c=0 avec Δ=b²−4ac
Explicación
L’équation caractéristique associée est ar²+br+c=0, et son discriminant vaut Δ=b²−4ac. Les distracteurs modifient soit le signe, soit la formule du discriminant.
f(t)=exp(λt)[A cos(ωt)+B sin(ωt)] et le régime est pseudo-périodique
Explicación
Quand Δ<0, la solution réelle s’écrit sous la forme exponentielle fois trigonométrique et le régime est pseudo-périodique. Les autres choix correspondent respectivement aux cas Δ>0 ou Δ=0, ou à un régime différent.
Deux
Explicación
Une équation différentielle homogène du deuxième ordre admet deux constantes à déterminer, donc elle nécessite deux conditions initiales (ou aux limites). Les autres nombres ne suffisent pas ou imposent trop de contraintes.
√(x²+y²+z²)
Explicación
Dans une base cartésienne orthonormée, la norme vaut √(x²+y²+z²). Les distracteurs proposent soit une somme, soit une expression non conforme à la définition de la norme.
x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
Explicación
Le produit scalaire vaut x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂, ce qui correspond aussi à ||u⃗||||v⃗|| cos(û,v⃗). Les autres choix correspondent à des opérations différentes, comme le produit vectoriel ou des produits de normes sans cosinus.
(y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂)
Explicación
Les composantes sont (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂). Le distracteur basé sur une permutation de signes donne une expression différente de celle du produit vectoriel.
Il est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ et sa norme vaut ||u⃗||||v⃗|| |sin(û,v⃗)|
Explicación
Le produit vectoriel est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ et sa norme vaut ||u⃗||||v⃗|| |sin(û,v⃗)|. Les distracteurs remplacent le sinus par le cosinus ou changent la géométrie (perpendicularité/parallelisme).
Il est perpendiculaire au plan qu’ils définissent et donc orthogonal à chacun d’eux
Explicación
Le produit vectoriel est orthogonal au plan formé par les deux vecteurs, donc orthogonal à chacun d’eux. Le distracteur confond produit vectoriel et produit scalaire (qui donne un nombre).
||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| |sin(∠(u,v))| et cela représente l’aire du parallélogramme
Explicación
La norme vérifie ||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| |sin(∠(u,v))| et elle correspond à l’aire du parallélogramme. Les distracteurs remplacent sin par cos ou attribuent une grandeur géométrique incorrecte.
Ses vecteurs sont unitaires, deux à deux orthogonaux et vérifient e3 = e1 ∧ e2
Explicación
Une base orthonormée directe est définie par des vecteurs unitaires orthogonaux et la relation e3 = e1 ∧ e2. Les autres propositions inversent la relation d’orientation ou ne respectent pas l’orthonormalité.
e1 = e2 ∧ e3
Explicación
Dans une base orthonormée directe, on a notamment e1 = e2 ∧ e3. Les distracteurs changent l’ordre du produit vectoriel, ce qui modifie le signe, ou utilisent une identité incorrecte.
La hauteur du point M mesurée le long de l’axe Oz
Explicación
La coordonnée z mesure HM, où H est la projection orthogonale de M sur le plan Oxy, donc c’est la hauteur le long de Oz. Les autres propositions correspondent à ρ ou à ϕ.
OM = ρ eρ + z ez
Explicación
En coordonnées cylindriques, le vecteur position s’écrit OM = ρ eρ + z ez. Le vecteur selon eϕ n’apparaît pas dans cette écriture.
dℓ = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez
Explicación
Le déplacement élémentaire cylindrique est dℓ = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez. La composante selon eϕ est proportionnelle à ρ dϕ.
θ est l’angle entre ez et OM
Explicación
En coordonnées sphériques, θ = ∠(ez, OM). Les autres choix ne correspondent pas à la définition donnée.
Le carré de i vaut −1, assurant la cohérence de la partie imaginaire
Explicación
La condition i² = −1 signifie qu'i est la racine carrée de −1 et justifie la construction z = x + iy. Les autres propositions détournent cette relation vers d’autres grandeurs.
z = ρ e^{iϕ} avec ρ = |z| et ϕ = arg(z)
Explicación
La forme exponentielle s’écrit z = ρ e^{iϕ} = ρ(cosϕ + i sinϕ), avec ρ = |z| et ϕ = arg(z). Les autres choix inversent ou mal placent les rôles de ρ et ϕ.
z̄ = x − iy
Explicación
Le conjugué s’obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : z̄ = x − iy. Les choix proposant le même signe de iy correspondent au nombre initial, pas au conjugué.
|z| = √(z z̄)
Explicación
Le module vérifie |z| = √(z z̄). Les autres propositions soit ne donnent pas une quantité réelle correcte, soit mélangent le module avec une opération de quotient.
ϕ est la phase à l’instant t = 0 (phase à l’origine)
Explicación
Le signal est caractérisé par la phase à l’origine ϕ, c’est-à-dire la phase quand t = 0. La phase instantanée serait ωt + ϕ, donc l’option qui l’écrit ainsi est fausse.
La partie réelle de A e^{i(ωt+ϕ)} redonne A cos(ωt+ϕ)
Explicación
Par construction, la partie réelle du signal complexe Ae^{i(ωt+ϕ)} redonne le signal réel A cos(ωt+ϕ). Les autres propositions confondent partie imaginaire ou valeur absolue avec la cosinus.
On additionne d’abord les amplitudes complexes, puis on réintroduit e^{iωt} et on prend la partie réelle
Explicación
Avec une même pulsation ω, on additionne (ou soustrait) les amplitudes complexes, on remet le facteur temporel e^{iωt}, puis on prend la partie réelle. Les autres propositions ne respectent pas cette procédure de sommation complexe.
La variation infinitésimale de f lorsque x varie de dx
Explicación
La différentielle df = f′(x)dx correspond à la variation infinitésimale de f quand x change de dx. Elle est donc liée à la dérivée, mais ne doit pas être confondue avec autre chose qu’une variation infinitésimale.
On dérive f par rapport à x en considérant y comme une constante
Explicación
La notation (∂f/∂x)_y indique que y est tenue constante pendant la dérivation par rapport à x. L’option correcte capture ce mécanisme, contrairement aux autres qui inversent ou mélangent les variables.
∂A/∂y = ∂B/∂x
Explicación
Une différentielle totale exacte impose la condition de Cauchy : ∂A/∂y = ∂B/∂x. Les autres relations comparent des dérivées partielles avec les mauvais ordres.
∂A/∂y = ∂B/∂x
Explicación
Une différentielle totale exacte vérifie l’égalité des dérivées croisées : ∂A/∂y doit être égal à ∂B/∂x. Les autres propositions mélangent les dérivées dans le mauvais ordre.
df = (∂f/∂r)dr + (∂f/∂θ)dθ + (∂f/∂ϕ)dϕ
Explicación
La différentielle de f s’obtient en additionnant les contributions de chaque variable : dérivée partielle fois différentielle correspondante. Les autres propositions oublient la multiplication par dr, dθ et dϕ ou changent les signes.
df = (df/dx)(dx/dT)dT
Explicación
La règle de la chaîne fait intervenir une multiplication des dérivées : (df/dx)(dx/dT)dT. Les autres choix combinent mal les termes, comme une addition au lieu d’un produit.
dP = (R/V)dT − (RT/V²)dV
Explicación
En écrivant P = RT/V puis en différentiant, on obtient dP = (R/V)dT − (RT/V²)dV. Les autres options échangent les rôles de dT et dV ou donnent des coefficients non conformes.
ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy
Explicación
Une forme différentielle à deux variables prend la forme ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy. Les distracteurs modifient la structure en échangeant dx/dy ou en regroupant autrement les termes.
∂A/∂y = ∂B/∂x
Explicación
La condition d’exactitude impose ∂A/∂y = ∂B/∂x. Les autres choix comparent les mauvaises dérivées partielles (x avec x au lieu de y avec x, ou y avec y).
f(x,y) = x² + 2xy − y² + y
Explicación
Dans ce cas, la relation de Cauchy est vérifiée et une fonction dont la différentielle est ω est f(x,y) = x² + 2xy − y² + y. Les autres propositions modifient des signes ou des coefficients, ce qui changerait les dérivées partielles.
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Quelles notations désignent la dérivée par rapport à x ?
f′(x), df/dx(x) et d/dx f(x).
À quoi sert la notation ḟ(t) en dérivation ?
Elle désigne la dérivée par rapport au temps.
Quelle est la formule de la dérivée d'un produit uv ?
(uv)′=u′v+uv′.
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