Cuestionario: Vecteurs et colinéarité en géométrie plane — 9 preguntas

1. Quelle est la définition précise des coordonnées du vecteur AB→ dans le plan ?

A. (xB + xA; yB + yA)

B. (xA - xB; yA - yB)

C. (xA + xB; yA + yB)

D. (xB - xA; yB - yA)

Answer: (D)

Explicación

Les coordonnées du vecteur AB→ sont données par la différence des coordonnées de B et A, soit (xB - xA; yB - yA). Cette formule permet de déterminer le déplacement de A vers B dans le plan, conformément à la définition du cours.

2. Quelle formule permet de calculer les coordonnées du vecteur AB→ dans le plan, si A(xA; yA) et B(xB; yB) ?

A. AB→ = (xA + xB ; yA + yB)

B. AB→ = (xB - xA ; yB - yA)

C. AB→ = (xA - xB ; yA - yB)

D. AB→ = (xB ; yB)

Answer: (B)

Explicación

La formule correcte est AB→ = (xB - xA ; yB - yA) car elle calcule la différence entre les coordonnées du point B et du point A, donnant ainsi la coordonnée du vecteur allant de A à B. Les autres options ne représentent pas la différence ou la sommation correcte entre ces points.

3. Selon le contenu, deux vecteurs u→(x; y) et v→(x'; y') sont colinéaires si et seulement si :

A. Leur norme est égale.

B. Leur produit scalaire est nul.

C. Ils ont la même norme.

D. Leur déterminant xy' - yx' est nul.

Answer: (D)

Explicación

La propriété fondamentale pour la colinéarité dans le plan est que le déterminant xy' - yx' des deux vecteurs est nul. Cela indique qu'ils ont la même direction ou sont proportionnels, ce qui correspond à la définition de la colinéarité.

4. Quelle est la condition pour que deux vecteurs u→ = (x; y) et v→ = (x'; y') soient colinéaires ?

A. Ils ont la même norme

B. Leur déterminant est nul : xy' - yx' = 0

C. Ils ont la même origine

D. Ils ont des coordonnées proportionnelles si et seulement si x = y'

Answer: (B)

Explicación

Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant xy' - yx' est nul; cela indique qu'ils ont la même direction ou sont opposés. Les autres choix ne sont pas des critères de colinéarité.

5. Dans quel cas le vecteur nul est-il considéré comme colinéaire à tous les autres vecteurs ?

A. Seulement avec les vecteurs de norme 1

B. Toujours, par définition

C. Uniquement avec les vecteurs non nuls

D. Jamais, car il n'a pas de direction

Answer: (B)

Explicación

Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs car il n'a pas de direction propre, ce qui simplifie les cas de colinéarité. Les autres affirmations sont incorrectes ou ambiguës.

6. Quelle propriété est vraie pour deux vecteurs colinéaires ?

A. Ils ont la même norme

B. L'un est un multiple scalaire de l'autre

C. Ils ont le même point d'origine

D. Ils forment un angle droit

Answer: (B)

Explicación

La colinéarité implique que l'un des vecteurs peut être obtenu en multipliant l'autre par un scalaire non nul. Cette propriété lie directement leur relation de direction.

7. Si deux vecteurs u→ = (2, 4) et v→ = (x, y) sont colinéaires, quelle relation doit satisfaire leurs coordonnées ?

A. x/2 = y/4

B. x = y

C. x + y = 6

D. x/4 = y/2

Answer: (A)

Explicación

Pour que deux vecteurs soient colinéaires, leurs coordonnées doivent être proportionnelles, donc x/2 = y/4. Cela garantit qu'ils ont la même direction.

8. Quelle opération admet la propriété « distributive » dans la manipulation des vecteurs ?

A. L'addition de vecteurs

B. La multiplication de deux vecteurs

C. La division d'un vecteur par un scalaire

D. La soustraction de deux vecteurs

Answer: (A)

Explicación

L'addition de vecteurs est distributive par rapport à la multiplication par un scalaire, ce qui facilite la dissolution des opérations algébriques. La division de vecteurs par un scalaire est aussi possible, mais pas sous cette terminologie spécifique.

9. Quelle affirmation est incorrecte concernant la représentation d'un vecteur u→ dans un repère (O; I→; j→) ?

A. U peut s'écrire comme xI→ + yj→

B. Les coordonnées x, y dépendent du choix du repère

C. U est indépendant du repère utilisé

D. La représentation xI→ + yj→ est unique dans un repère orthonormé

Explicación

La représentation xI→ + yj→ dépend du repère choisi, et dans un repère orthonormé, elle est unique. L'option qui affirme qu'elle est indépendante du repère est incorrecte.