Scheda di revisione: Introduction à l'économétrie appliquée

📋 Plan du Cours

1. Fondements et piliers de l’économétrie appliquée
2. Estimation par maximum de vraisemblance (MLE) et fonction de vraisemblance pour la distribution normale
3. Estimation MLE dans le modèle linéaire bivarié avec hypothèse de normalité
4. Maximisation de la log-vraisemblance et conditions du premier ordre pour MLE
5. Équivalence entre estimateurs MLE et OLS dans le modèle linéaire normal
6. Propriétés et limites de l’estimateur du maximum de vraisemblance en petits échantillons
7. Tests d’hypothèses en maximum de vraisemblance : rapport de vraisemblance, Wald et score
8. Comparaison des tests LR, Wald et Score et leur intuition visuelle

📖 1. Fondements et piliers de l’économétrie appliquée

🔑 Notions clés & Définitions

• Roberto Brunetti : économètre spécialisé dans l’application des méthodes quantitatives à l’économie, dont il a contribué à la compréhension des processus de modélisation et d’estimation en économétrie.

• Roberto Brunetti : économètre dont les travaux portent sur les méthodes d’estimation, l’inférence statistique et la progression logique de l’analyse économétrique.

📝 Points essentiels

• Les quatre piliers de l’économétrie sont : l’échantillon, le modèle, l’estimation (notamment par la méthode des moindres carrés ordinaires, OLS), et l’inférence (tests statistiques). Chaque pilier dépend du précédent : les données (échantillon) déterminent la structure du modèle, qui conduit à la quantification par estimation, permettant ensuite de tirer des conclusions via l’inférence. Le processus est itératif : l’inférence peut révéler des incohérences ou des erreurs dans le modèle, nécessitant des tests de spécification et des diagnostics pour le réviser. La progression logique suit un workflow linéaire, allant de la collecte de données à la formulation de conclusions, en passant par la structuration, la quantification et la vérification.

💡 À retenir

L’analyse économétrique repose sur une progression structurée et itérative, où chaque étape s’appuie sur la précédente, garantissant une démarche cohérente pour tirer des conclusions fiables.

📖 2. Estimation par maximum de vraisemblance (MLE) et fonction de vraisemblance pour la distribution normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Density : La densité est une fonction qui, pour une variable continue, attribue une valeur numérique à chaque point de l’espace des possibles, représentant la concentration de probabilité autour de ce point. Elle peut dépasser 1, mais l’intégrale sur tout l’espace est égale à 1.

📝 Points essentiels

• Le MLE consiste à estimer les paramètres qui rendent les données observées les plus probables selon une distribution paramétrique. La fonction de vraisemblance est construite en considérant le produit des densités individuelles, sous l’hypothèse d’indépendance des observations. Pour une variable normale, la densité de probabilité est caractérisée par la moyenne (μ) et la variance (ε²). La fonction de vraisemblance pour un échantillon normal est le produit des densités normales individuelles, chacune dépendant de ces deux paramètres.

💡 À retenir

La fonction de vraisemblance pour une distribution normale est construite en multipliant les densités normales de chaque observation, permettant d’estimer par maximum de vraisemblance les paramètres tels que la moyenne et la variance.

📖 3. Estimation MLE dans le modèle linéaire bivarié avec hypothèse de normalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle linéaire bivarié : modèle qui exprime la variable dépendante yi en fonction d’une constante β0, d’un coefficient β1 associé à la variable explicative xi, et d’une erreur ui, soit yi = β0 + β1 xi + ui.

• Hypothèse de normalité : supposition que l’erreur ui suit une distribution normale centrée en 0, de variance ε², notée ui ∼ N(0, ε²).

• Indépendance conditionnelle : hypothèse forte selon laquelle les erreurs ui sont indépendantes de la variable xi, c’est-à-dire que la distribution de ui ne dépend pas de xi.

📝 Points essentiels

• Le modèle linéaire bivarié est défini par la relation yi = β0 + β1 xi + ui, avec ui supposé suivre une loi normale N(0, ε²). La normalité de ui permet de modéliser la distribution de yi conditionnellement à xi comme une normale de moyenne β0 + β1 xi et de variance ε².

• L’hypothèse d’indépendance conditionnelle des erreurs ui par rapport à xi est nécessaire pour appliquer la méthode du maximum de vraisemblance (MLE). Elle garantit que la densité conditionnelle de ui, donnée par la loi normale, ne dépend pas de xi.

• La fonction de vraisemblance conditionnelle est construite comme le produit des densités normales des erreurs ui, chacune conditionnée sur xi. Elle s’écrit comme le produit des densités normales de yi, considérées comme des variables indépendantes conditionnellement à xi.

• Cette fonction de vraisemblance constitue la base pour estimer par MLE les paramètres β0, β1 et ε². La maximisation de cette fonction permet d’obtenir les estimations qui rendent les observations les plus probables sous le modèle supposé.

💡 À retenir

L’estimation par MLE dans le modèle linéaire bivarié repose sur la normalité et l’indépendance conditionnelle des erreurs, ce qui permet de formuler une vraisemblance basée sur la densité normale conditionnelle. La maximisation de cette vraisemblance fournit les estimations des paramètres du modèle.

📖 4. Maximisation de la log-vraisemblance et conditions du premier ordre pour MLE

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment conditions : Average values of functions of the data that impose restrictions on the parameters, such as the error having zero mean and being uncorrelated with explanatory variables.
• Roberto Brunetti Applied Econometrics : Roberto Brunetti Applied Econometrics 6 / 47 the average average The Density Function N (μ, ε2) y1 y2 y3 y4 y5 y6 f (μ, ε2;

📝 Points essentiels

• Maximiser la log-vraisemblance revient à maximiser la vraisemblance car la transformation est monotone.
• La log-vraisemblance est la transformation logarithmique de la fonction de vraisemblance, facilitant le calcul et évitant les problèmes numériques

💡 À retenir

La maximisation de la log-vraisemblance via les conditions du premier ordre permet d'obtenir les estimateurs MLE dans le modèle linéaire normal.

📖 5. Équivalence entre estimateurs MLE et OLS dans le modèle linéaire normal

🔑 Notions clés & Définitions

• Logit/Probit : Modèle statistique pour des variables dépendantes binaires qui utilise la fonction logistique pour modéliser la probabilité d'un événement.

📝 Points essentiels

• Pour d'autres modèles comme logit, probit ou Poisson, MLE et OLS donnent des estimations différentes.
• For other models (logit, probit, Poisson, etc.), MLE and OLS will differ!

💡 À retenir

L'OLS est un cas particulier du MLE lorsque les erreurs suivent une distribution normale dans le modèle linéaire.

📖 6. Propriétés et limites de l’estimateur du maximum de vraisemblance en petits échantillons

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Le MLE est efficace au sens de Cramér-Rao : il atteint la variance minimale asymptotique définie par l'information de Fisher.
• Le MLE est consistant : il converge vers la vraie valeur du paramètre quand la taille de l’échantillon tend vers l’infini

💡 À retenir

La fiabilité du MLE repose sur de grands échantillons, avec des limites importantes en petits échantillons.

📖 7. Tests d’hypothèses en maximum de vraisemblance : rapport de vraisemblance, Wald et score

🔑 Notions clés & Définitions

• Β0 ↑ β1 xi)2 2ε2 )] : Expression composant la fonction de vraisemblance dans un modèle de régression, représentant la densité de probabilité conditionnelle des observations yi données xi, en fonction des paramètres β0, β1 et de la variance ε2.

📝 Points essentiels

• Le test du rapport de vraisemblance compare la log-vraisemblance du modèle restreint et non restreint.
• Le test du score évalue la pente (score) de la log-vraisemblance sous l’hypothèse nulle, ne nécessitant que l’estimation du modèle restreint.

💡 À retenir

Les trois principaux tests d’hypothèses en maximum de vraisemblance — rapport de vraisemblance, Wald et score — reposent sur des fondements différents mais suivent tous asymptotiquement une loi du χ², permettant d’évaluer la validité des restrictions imposées.

📖 8. Comparaison des tests LR, Wald et Score et leur intuition visuelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Example : Testing whether we need a complex model vs.
• Three Tests : Roberto Brunetti Applied Econometrics 32 / 47 Visual Intuition: The Three Tests β ω(β) ˆβMLβ0 LR Wald Score LR: difference in heights Wald: distance on x-axis Score: slope at β0 All three tests ask the same question differently: Is β0 far from the MLE?

📝 Points essentiels

• Le test Wald mesure la distance horizontale entre l’estimateur et la valeur sous H0 en unités d’erreur standard.
• Le test Score mesure la pente de la log-vraisemblance au point sous H0.

💡 À retenir

Visualiser et différencier intuitivement les trois tests d’hypothèses en MLE permet de mieux choisir leur usage selon le contexte.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des tests d'hypothèses en MLE

Type de test	Principe	Hypothèse nulle	Critère
Rapport de vraisemblance	Compare log-vraisemblance	H0: modèle restreint	Différence de log-vraisemblance
Wald	Distance entre estimateur et hypothèse	H0: β=β0	Distance normalisée
Score	Pente de la log-vraisemblance	H0: β=β0	Pente à β0

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la normalité des erreurs et la normalité de la variable dépendante.
2. Utiliser l'OLS dans un modèle où la normalité n'est pas assurée, ce qui peut biaiser les estimations.
3. Ignorer la dépendance entre observations, faussant la vraisemblance.
4. Confondre la maximisation de la vraisemblance avec la minimisation des erreurs.
5. Sous-estimer l'importance de la taille de l'échantillon pour la fiabilité des tests.
6. Utiliser un seul test d'hypothèse sans considérer ses limites ou la nature du modèle.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la normalité des erreurs dans le modèle linéaire.
2. Construire la fonction de vraisemblance pour la distribution normale.
3. Maximiser la log-vraisemblance pour obtenir les estimateurs MLE.
4. Comparer MLE et OLS dans le contexte normal.
5. Appliquer les tests LR, Wald et Score pour tester des hypothèses.
6. Interpréter visuellement les résultats des tests.
7. Prendre en compte la taille de l'échantillon dans l'interprétation.
8. Connaître les limites de l'estimateur en petits échantillons.