Flashcard: Géométrie et groupes d’isométries — 16 carte

Théorie des groupes — définition ?

Ensemble avec loi associative, neutre, inverses.

Géométrie euclidienne — étude ?

Propriétés invariantes sous transformations (distance, angle).

Programme d’Erlangen — but ?

Étudier géométries via invariants sous groupes.

Action de groupe — rôle ?

Relier la structure algébrique à la géométrie.

Isométries du plan — types ?

Translations, rotations, réflexions, compositions.

Groupe O₂(ℝ) — composantes ?

Rotations (det=+1) et réflexions (det=-1).

Matrices orthogonales — propriété clé ?

Préservent produit scalaire, distances, angles.

Déterminant d’une matrice orthogonale ?

+1 pour rotation, -1 pour réflexion.

Angles entre vecteurs — déf ?

Mesure orientée entre deux vecteurs, en radians ou degrés.

Angle orienté — dépend de ?

Orientation du plan et sens de rotation.

Application linéaire orthogonale — rôle ?

Préserve norme et angles, modélise isométrie linéaire.

Isométrie affine — forme ?

$f(oldsymbol{x})=A(oldsymbol{x})+oldsymbol{b}$, avec $A$ orthogonale.

Symétrie centrale — représentation ?

$oldsymbol{x} o 2oldsymbol{O}-oldsymbol{x}$, conserve distances.

Rotation — caractéristique ?

Application orthogonale de déterminant +1, tourne autour d’un point.

Classification des isométries — but ?

Organiser par nature (rotation, réflexion, etc.).

Groupes diédraux — modélisent ?

Symétries de polygones réguliers.