Scheda di revisione: Géométrie vectorielle et applications

📋 Plan du Cours

1. Définition vecteur
2. Propriétés vecteurs
3. Addition de vecteurs
4. Produit par un réel
5. Colinéarité vecteurs
6. Coordonnées vecteur
7. Déterminant vecteurs
8. Application colinéarité
9. Milieu segment
10. Distance dans repère orthonormé

📖 1. Définition vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Segment orienté défini par une direction, un sens et une longueur, représentant une translation dans le plan ou l’espace. AUTEUR (1925) : « La flèche qui définit la translation s’appelle un vecteur. »
• Vecteur nul : Vecteur dont l’origine et l’extrémité sont confondues, noté 𝐴𝐵#####⃗ = 0#⃗, représentant aucune translation. AUTEUR (1925) : « Un vecteur est nul lorsque les points A et B sont confondus. »
• Vecteurs opposés : Deux vecteurs ayant la même direction et la même longueur mais des sens contraires, notés 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐵𝐴#####⃗, avec 𝐵𝐴#####⃗ = −𝐴𝐵#####⃗. AUTEUR (1925) : « Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même longueur et qu’ils sont de sens contraire. »
• Vecteurs égaux : Vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même longueur, notés 𝐴𝐵#####⃗ = 𝐶𝐷#####⃗ ou 𝑢#⃗. AUTEUR (1925) : « Des vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même longueur. »
• Notion de translation associée à un vecteur : La translation d’un point ou d’une figure par un vecteur 𝐴𝐵#####⃗ est une opération qui déplace chaque point selon la même direction, sens et longueur, produisant une image de la figure initiale.

📝 Points essentiels

• La construction d’un vecteur se fait par une flèche orientée, définie par sa direction (droite), son sens (de l’origine vers l’extrémité) et sa longueur (norme).
• La notation 𝐴𝐵#####⃗ est utilisée pour désigner un vecteur allant du point A au point B. La longueur du vecteur, appelée norme, est une mesure de sa longueur.
• La notion de vecteur nul est fondamentale : il correspond à une translation nulle, où l’origine et l’extrémité sont confondues. Tout vecteur peut être représenté par une seule lettre, par exemple 𝑢#⃗.
• Deux vecteurs sont opposés si leur direction et leur longueur sont identiques mais leur sens est contraire, ce qui implique 𝐵𝐴#####⃗ = −𝐴𝐵#####⃗.
• La relation d’égalité entre vecteurs implique qu’ils ont la même direction, sens et norme, ce qui permet de les considérer comme représentations d’un même vecteur.

💡 À retenir

Un vecteur est une flèche orientée qui représente une translation dans le plan ou l’espace, caractérisée par sa direction, son sens et sa longueur, et peut être nul, opposé ou égal à un autre vecteur selon ses propriétés.

📖 2. Propriétés vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur égal : Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. AUTEUR (source) : "Les vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont égaux si 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷".
• Propriété du parallélogramme : Un quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme si et seulement si le vecteur 𝐴𝐶 est la somme de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷, c’est-à-dire 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷. AUTEUR (source) : "Dire que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme revient à dire que 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷".
• Relation de Chasles : La somme de deux vecteurs bout à bout est égale au vecteur reliant leur extrémité à leur origine : 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. AUTEUR (source) : "La relation de Chasles appliquée à la somme de vecteurs".
• Vecteur opposé : Deux vecteurs sont opposés si ils ont la même norme, la même direction mais des sens contraires, noté 𝐵𝐴 = −𝐴𝐵. AUTEUR (source) : "Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont la même direction, même longueur, mais sens contraire".

📝 Points essentiels

• La propriété caractéristique du parallélogramme est que 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷, ce qui revient à dire que les vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont égaux ou colinéaires et de même norme, mais de sens opposé si le parallélogramme est aplati.
• La relation de Chasles, 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶, permet de décomposer ou recomposer des vecteurs en bout à bout, facilitant la construction de points ou la démonstration de propriétés géométriques.
• La notion de vecteur nul : un vecteur 𝐴𝐵 est nul si A et B coïncident, noté 𝐴𝐵 = 0.
• La propriété des vecteurs opposés est fondamentale pour la soustraction : 𝑢⃗ − 𝑣⃗ = 𝑢⃗ + (−𝑣⃗).

💡 À retenir

Les vecteurs égaux, opposés et la relation de Chasles sont les piliers pour manipuler et décomposer les vecteurs dans la géométrie du plan, permettant de caractériser parallélogrammes, milieux et autres propriétés fondamentales.

📖 3. Addition de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de deux vecteurs par construction bout à bout : La somme de deux vecteurs est obtenue en plaçant le premier vecteur, puis le second, à partir de l'extrémité du premier, formant ainsi un chemin continu. La résultante est le vecteur allant de l'origine du premier au point d'extrémité du second.
• Relation de Chasles appliquée à l'addition : La relation établit que pour trois points A, B, C, le vecteur AC peut s'écrire comme la somme des vecteurs AB et BC, c'est-à-dire 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶. Michel Chasles (Fr, 1793-1880) a popularisé cette relation, bien qu'il ne l'ait pas formulée lui-même.
• Soustraction de vecteurs via addition de l'opposé : La différence de deux vecteurs 𝑢#⃗ et 𝑣⃗ s'obtient en additionnant 𝑢#⃗ à l'opposé de 𝑣⃗, c'est-à-dire 𝑢#⃗ − 𝑣⃗ = 𝑢#⃗ + (−𝑣⃗).
• Méthode de construction d’un point à partir de la somme de vecteurs : Pour construire un point correspondant à la somme de vecteurs, on part d’un point de référence et on construit successivement chaque vecteur bout à bout, en utilisant la méthode graphique ou analytique.

📝 Points essentiels

• La somme de deux vecteurs 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐵𝐶#####⃗ est représentée graphiquement en plaçant 𝐵𝐶#####⃗ à partir de l’extrémité de 𝐴𝐵#####⃗. La résultante 𝐴𝐶#####⃗ est le vecteur allant de A à C.
• La relation de Chasles, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶, permet d’écrire la somme de vecteurs comme une addition bout à bout, illustrant la propriété associative de l’addition.
• La construction graphique ou analytique d’un point correspondant à la somme de plusieurs vecteurs se fait en enchaînant leur représentation, en respectant l’ordre et la méthode du bout à bout.
• La soustraction de vecteurs est réalisée en additionnant le vecteur opposé, ce qui revient à inverser le sens du vecteur à soustraire. La méthode graphique consiste à construire le vecteur opposé en inversant la direction.
• La norme du vecteur somme est généralement différente de la somme des normes, sauf dans le cas de vecteurs colinéaires dans le même sens.

💡 À retenir

L’addition de vecteurs s’effectue graphiquement par enchaînement bout à bout, et algébriquement par la relation de Chasles, permettant de représenter et de manipuler facilement des déplacements dans le plan.

📖 4. Produit par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit d’un vecteur par un réel : Opération qui consiste à multiplier un vecteur par un nombre réel, modifiant sa norme tout en conservant sa direction (sauf si le réel est négatif, ce qui inverse le sens). (source : Yvan Monka, Académie de Strasbourg, www.maths-et-tiques.fr)

• Effet du signe du réel sur le sens du vecteur : Si le réel est positif, le vecteur conserve son sens ; s’il est négatif, le vecteur voit son sens inversé. La norme est multipliée par la valeur absolue du réel. (source : Yvan Monka, Académie de Strasbourg)

• Représentation graphique du produit par un réel : Sur une figure, le vecteur 𝑘𝑢#⃗ (avec 𝑘 ∈ ℝ) est représenté en partant du même point que 𝑢#⃗, avec une longueur égale à |𝑘| fois celle de 𝑢#⃗, et dans la même direction si 𝑘 > 0, inverse si 𝑘 < 0. (source : Yvan Monka)

• Somme de vecteurs multipliés par des réels : La somme de plusieurs vecteurs chacun multiplié par un réel est un vecteur dont la norme est la somme vectorielle des normes modifiées, et la direction dépend des signes et valeurs des réels. La propriété s’écrit : 𝑘𝑢#⃗ + 𝑙𝑣#⃗, avec 𝑘, 𝑙 ∈ ℝ. (source : Yvan Monka)

📝 Points essentiels

• La multiplication d’un vecteur 𝑢#⃗ par un réel 𝑘 modifie sa norme : 𝑘𝑢#⃗ a pour norme |𝑘| × ||𝑢#⃗||, tout en conservant sa direction si 𝑘 > 0, ou en l’inversant si 𝑘 < 0.
• Le signe de 𝑘 détermine le sens du vecteur : positif pour le même sens, négatif pour le sens opposé.
• La représentation graphique de 𝑘𝑢#⃗ consiste à tracer un vecteur partant du même point que 𝑢#⃗, avec une longueur proportionnelle à |𝑘|, dans la même direction si 𝑘 > 0, ou dans la direction opposée si 𝑘 < 0.
• La somme de vecteurs multipliés par des réels suit la propriété distributive : 𝑘(𝑢#⃗ + 𝑣#⃗) = 𝑘𝑢#⃗ + 𝑘𝑣#⃗.

💡 À retenir

Multiplier un vecteur par un réel modifie sa norme proportionnellement à la valeur absolue du réel, tout en conservant ou inversant son sens selon le signe du réel. La représentation graphique est une extension directe de cette propriété, permettant de visualiser facilement l’effet du produit.

📖 5. Colinéarité vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de colinéarité : Deux vecteurs non nuls 𝑢#⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires s'ils ont la même direction, c’est-à-dire qu’il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢#⃗ = 𝑘𝑣⃗ (d’après Yvan Monka, 2023).
• Vecteur nul colinéaire à tout vecteur : Le vecteur nul 0#⃗, dont l’origine et l’extrémité coïncident, est colinéaire à tout vecteur du plan, car il n’a pas de direction propre (d’après Yvan Monka, 2023).
• Critère de colinéarité par égalité vectorielle : Deux vecteurs 𝑢#⃗ = (𝑥, 𝑦) et 𝑣⃗ = (𝑥′, 𝑦′) sont colinéaires si et seulement si 𝑥𝑦′ − 𝑦𝑥′ = 0, c’est-à-dire si leur déterminant est nul (d’après Yvan Monka, 2023).
• Vecteurs opposés comme cas particulier de colinéarité : Deux vecteurs 𝑢#⃗ et 𝑣⃗ sont opposés si 𝑢#⃗ = −𝑣⃗, ce qui implique qu’ils ont la même direction mais des sens contraires (d’après Yvan Monka, 2023).

📝 Points essentiels

• La colinéarité implique qu’il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢#⃗ = 𝑘𝑣⃗, ce qui revient à dire que leurs coordonnées sont proportionnelles : 𝑥/𝑥′ = 𝑦/𝑦′ (si 𝑥′ et 𝑦′ ≠ 0).
• Le critère de colinéarité par le déterminant : pour 𝑢#⃗ = (𝑥, 𝑦) et 𝑣⃗ = (𝑥′, 𝑦′), ils sont colinéaires si 𝑥𝑦′ − 𝑦𝑥′ = 0.
• La démonstration de colinéarité peut se faire en vérifiant que le déterminant est nul ou que les coordonnées sont proportionnelles.
• La propriété fondamentale : si deux vecteurs sont colinéaires, alors leurs représentations graphiques sont alignées, ce qui permet de vérifier la colinéarité par lecture graphique ou calcul.
• La colinéarité est essentielle pour établir que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés, en utilisant les vecteurs associés (d’après Yvan Monka, 2023).

💡 À retenir

La colinéarité entre deux vecteurs se vérifie par le critère du déterminant nul ou par la proportionnalité de leurs coordonnées, ce qui traduit leur alignement ou leur partage d’une même direction.

📖 6. Coordonnées vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Triplet (O, 𝚤⃗, 𝚥⃗) où O est un point d’origine, 𝚤⃗ et 𝚥⃗ sont deux vecteurs non colinéaires permettant de situer tous les points du plan (source : Yvan Monka, 2025).

• Coordonnées d’un vecteur : Dans un repère (O, 𝚤⃗, 𝚥⃗), le vecteur 𝐴𝐵⃗ a pour coordonnées (x, y), où x et y sont les coefficients tels que 𝐴𝐵⃗ = x𝚤⃗ + y𝚥⃗ (source : Yvan Monka, 2025).

• Repère orthogonal et orthonormé : Un repère est orthogonal si 𝚤⃗ ⊥ 𝚥⃗, et orthonormé si de plus, ||𝚤⃗|| = ||𝚥⃗|| = 1, ce qui facilite le calcul des coordonnées (source : Yvan Monka, 2025).

• Méthode pour déterminer les coordonnées d’un vecteur par lecture graphique : On repère graphiquement le point d’arrivée de 𝐴𝐵⃗ en mesurant ses déplacements selon 𝚤⃗ et 𝚥⃗, puis on lit directement les coefficients (source : Yvan Monka, 2025).

• Calcul des coordonnées d’un vecteur à partir des points : Si A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂), alors 𝐴𝐵⃗ a pour coordonnées (x₂ - x₁, y₂ - y₁) (source : Yvan Monka, 2025).

📝 Points essentiels

• La notation (x, y) ou (x; y) désigne les coordonnées du vecteur dans un repère (O, 𝚤⃗, 𝚥⃗). La relation fondamentale est : 𝐴𝐵⃗ = (x, y) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁).

• Dans un repère orthogonal, le calcul des coordonnées se fait par projection : x = 𝐴𝐵⃗ · 𝚤⃗, y = 𝐴𝐵⃗ · 𝚥⃗, où · désigne le produit scalaire.

• La propriété : Si deux vecteurs ont des coordonnées proportionnelles, ils sont colinéaires. Le déterminant (x, y) et (x', y') = xy' - yx' permet de vérifier cette colinéarité : si ce déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires (source : Yvan Monka, 2025).

• La lecture graphique permet d’obtenir rapidement les coordonnées d’un vecteur en mesurant ses déplacements selon 𝚤⃗ et 𝚥⃗, ce qui facilite la résolution de problèmes géométriques.

• La formule du milieu d’un segment [A, B] dans un repère est : M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2), ce qui relie directement coordonnées et géométrie (source : Yvan Monka, 2025).

💡 À retenir

Les coordonnées d’un vecteur dans un repère orthogonal permettent de représenter facilement ses déplacements, de vérifier la colinéarité via le déterminant, et de résoudre efficacement des problèmes géométriques en utilisant les propriétés algébriques.

📖 7. Déterminant vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de deux vecteurs : Pour deux vecteurs 𝑢 = (𝑥, 𝑦) et 𝑣 = (𝑥', 𝑦'), le déterminant est défini par 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥'.
  Source : Yvan Monka (2023) : "Le nombre 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥' est appelé déterminant des vecteurs 𝑢 et 𝑣".

• Critère de colinéarité via le déterminant nul : Deux vecteurs 𝑢 et 𝑣 sont colinéaires si et seulement si 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥' = 0.
  Source : Yvan Monka (2023) : "Dire que 𝑢 et 𝑣 sont colinéaires revient à dire que 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥' = 0".

• Interprétation géométrique du déterminant (aire orientée) : Le déterminant 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥' représente l'aire orientée du parallélogramme formé par les vecteurs 𝑢 et 𝑣.
  Source : Yvan Monka (2023) : "Le déterminant correspond à l'aire orientée du parallélogramme".

• Propriété : coordonnées proportionnelles équivalent à déterminant nul : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui équivaut à leur déterminant étant nul.
  Source : Yvan Monka (2023) : "Les coordonnées proportionnelles sont équivalentes à un déterminant nul".

📝 Points essentiels

• Le déterminant 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥' permet de tester la colinéarité de deux vecteurs en calculant simplement 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥'. Si le résultat est nul, les vecteurs sont colinéaires.
• La valeur absolue du déterminant donne l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs, avec une orientation positive ou négative selon le sens de rotation.
• La propriété fondamentale est que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui revient à dire que leur déterminant est nul.
• La méthode consiste à calculer 𝑥𝑦' − 𝑦𝑥' et à vérifier si le résultat est zéro.

💡 À retenir

Le déterminant de deux vecteurs est un outil simple et efficace pour vérifier leur colinéarité, en reliant l'algèbre (calcul) à la géométrie (aire orientée).

📖 8. Application colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère de colinéarité (définition) : Deux vecteurs 𝑢#⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires s'il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢#⃗ = 𝑘𝑣⃗. En termes de coordonnées, cela revient à vérifier si 𝑥𝑦’ − 𝑦𝑥’ = 0 (propriété).
• Déterminant de deux vecteurs (définition) : Pour 𝑢#⃗ = (𝑥, 𝑦) et 𝑣⃗ = (𝑥’, 𝑦’), le déterminant est 𝑥𝑦’ − 𝑦𝑥’. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires (propriété).
• Application dans la géométrie (théorème) : La colinéarité de vecteurs associés à des points permet de vérifier si ces points sont alignés, ou si deux droites sont parallèles, en utilisant le critère du déterminant ou la relation 𝑥𝑦’ − 𝑦𝑥’ = 0 (propriété).
• Propriété de la colinéarité (source) : Selon Yvan Monka (académie de Strasbourg), la vérification du critère de colinéarité par le déterminant est une méthode efficace pour démontrer l'alignement de trois points ou la parallélisme de deux droites.

📝 Points essentiels

• La colinéarité de trois points 𝐴, 𝐵, 𝐶 est vérifiée en calculant le déterminant formé par leurs vecteurs position : si 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑥₂, 𝑦₂, 𝑥₃, 𝑦₃ sont leurs coordonnées respectives, alors 𝐴, 𝐵, 𝐶 sont alignés si et seulement si :
  $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A) = 0$
• Le critère de colinéarité via le déterminant est une condition nécessaire et suffisante pour l'alignement ou le parallélisme.
• La propriété que le déterminant est nul si et seulement si les vecteurs sont proportionnels permet de vérifier rapidement la colinéarité dans un contexte géométrique.
• Exemple concret : pour démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, on vérifie si 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐶𝐷#####⃗ sont colinéaires en utilisant le déterminant.

💡 À retenir

La vérification de la colinéarité de trois points ou de deux vecteurs se fait efficacement en calculant leur déterminant : si ce dernier est nul, ils sont alignés ou parallèles, ce qui permet d'appliquer rapidement ce critère dans des démonstrations géométriques.

📖 9. Milieu segment

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Point B est le milieu du segment [AC] si et seulement si le vecteur 𝐴𝐵#####⃗ est égal au vecteur 𝐵𝐶#####⃗ , c’est-à-dire que B divise [AC] en deux segments de même longueur.
• Vecteurs égaux (d’après Yvan Monka, 2023) : Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même norme. Dans le cas du milieu, cela implique que 𝐴𝐵#####⃗ = 𝐵𝐶#####⃗ .
• Calcul des coordonnées du milieu : Si A et C ont pour coordonnées respectives 𝐴(𝑥#, 𝑦#) et 𝐶(𝑥$, 𝑦$), alors le milieu 𝑀 a pour coordonnées 𝐷( (𝑥# + 𝑥)/2, (𝑦# + 𝑦)/2 ).
• Propriété : La somme des vecteurs 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐵𝐶#####⃗ est nulle si B est milieu de [AC], c’est-à-dire que 𝐴𝐵#####⃗ + 𝐵𝐶#####⃗ = 0#⃗ (d’après Yvan Monka, 2023).

📝 Points essentiels

• La définition du milieu repose sur l’égalité des vecteurs 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐵𝐶#####⃗ , ce qui revient à dire que B divise le segment [AC] en deux parties de même longueur.
• La méthode de construction du milieu par vecteurs consiste à utiliser la propriété que le vecteur 𝐴𝐵#####⃗ est égal au vecteur 𝐵𝐶#####⃗ .
• En coordonnées, si A(𝑥#, 𝑦#) et C(𝑥$, 𝑦$), le milieu M a pour coordonnées la moyenne arithmétique des coordonnées extrémités, soit 𝐷( (𝑥# + 𝑥)/2, (𝑦# + 𝑦)/2 ).
• La propriété géométrique fondamentale est que le point milieu M est le centre du parallélogramme formé par A, C et deux autres points, ce qui justifie la formule de coordonnées.

💡 À retenir

Le milieu d’un segment est le point dont les coordonnées sont la moyenne des coordonnées des extrémités, et il divise le segment en deux parties de même longueur, ce qui se traduit par l’égalité des vecteurs 𝐴𝐵#####⃗ et 𝐵𝐶#####⃗ .

📖 10. Distance dans repère orthonormé

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux points : La longueur du segment reliant deux points dans un repère, notée généralement $AB$ ou $d(A, B)$.
• Formule de la distance à partir des coordonnées : Si $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$, alors la distance $AB$ est donnée par :
  $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
  (voir propriété 8).
• Lien entre norme d’un vecteur et distance : La norme d’un vecteur $\vec{AB}$, notée $|\vec{AB}|$, est égale à la distance entre $A$ et $B$. Autrement dit, $|\vec{AB}| = AB$.
• Utilisation de la distance dans des constructions géométriques : La distance permet de déterminer des milieux, des segments de longueur donnée, ou de vérifier l’alignement ou la parallélisme de droites (voir propriétés 7 et 8).
• Auteur : Yvan Monka (académie de Strasbourg, www.maths-et-tiques.fr) : La formule de la distance dans un repère orthonormé découle du théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées des points.

📝 Points essentiels

• La distance entre deux points $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$ dans un repère orthonormé est calculée par la formule :
  $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
  Cette formule est une application directe du théorème de Pythagore.
• La norme d’un vecteur $\vec{AB}$ est égale à la distance entre $A$ et $B$, ce qui relie la notion de vecteur à celle de distance.
• La distance permet aussi de vérifier si deux points sont confondus (distance nulle), ou si un point est le milieu d’un segment (en utilisant la formule du milieu).
• La propriété 8 précise que dans un repère orthonormé, la distance peut se calculer en utilisant simplement la différence des coordonnées, ce qui facilite grandement les calculs géométriques.
• La formule est une conséquence du théorème de Pythagore, ce qui garantit sa validité dans un repère orthonormé.

💡 À retenir

La distance entre deux points dans un repère orthonormé est donnée par la racine carrée de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées, ce qui en fait une application directe du théorème de Pythagore.

📊 Tableaux de Synthèse

Critère / Propriété	Vecteur	Auteur / Référence
Définition	Segment orienté avec direction, sens, norme	(1925) : « La flèche qui définit la translation »
Vecteur nul	Vecteur dont origine et extrémité coïncident	(1925) : « Un vecteur est nul lorsque points confondus »
Vecteurs opposés	Même direction, même norme, sens contraire	(1925) : « Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont même direction, même longueur, sens contraire »
Vecteurs égaux	Même direction, sens, norme	(1925) : « Vecteurs égaux si même direction, même sens, même norme »
Notion de translation	Déplacement de points ou figures selon un vecteur	Notion fondamentale en géométrie vectorielle

Propriétés / Relations	Description	Auteur / Référence
Parallélogramme	𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 pour un parallélogramme	(source) : « 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 »
Relation de Chasles	𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶	(source) : « La relation de Chasles »
Vecteur opposé	𝐵𝐴 = −𝐴𝐵	(source) : « Deux vecteurs opposés si même norme, même direction, sens contraire »
Addition graphique	Enchaînement bout à bout, de A à C via B	Méthode graphique et analytique
Produit par un réel	Modifie la norme, conserve ou inverse la direction	(Yvan Monka, Académie Strasbourg)

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre vecteur nul et vecteur de norme nulle : vecteur nul a origine et extrémité confondues, norme nulle mais pas forcément nul dans la notation.
2. Confusion entre vecteurs égaux et opposés : même norme et direction, sens contraire.
3. Mauvaise interprétation de la relation de Chasles : penser que la somme dépend du sens dans tous les cas.
4. Oublier que le produit par un réel négatif inverse le sens du vecteur.
5. Confusion entre addition graphique et algébrique : ne pas respecter l’ordre ou la méthode graphique.
6. Erreur dans la construction du vecteur somme : ne pas enchaîner bout à bout ou respecter la norme.
7. Confondre vecteur et segment non orienté : un segment n’a pas de sens ni de norme associée.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition précise d’un vecteur, y compris la notion de vecteur nul, opposé et égal, selon (1925).
• Maîtriser la représentation graphique d’un vecteur, en particulier la construction du vecteur nul, opposé, et produit par un réel.
• Savoir appliquer la propriété du parallélogramme : 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷.
• Comprendre et utiliser la relation de Chasles : 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶.
• Savoir construire graphiquement la somme de deux vecteurs par enchaînement bout à bout.
• Maîtriser la notion de produit d’un vecteur par un réel, en particulier l’effet du signe sur la direction.
• Être capable de calculer la norme d’un vecteur résultant d’une addition ou d’un produit par un réel.
• Connaître la définition et la propriété du vecteur opposé : 𝐵𝐴 = −𝐴𝐵.
• Savoir caractériser un vecteur colinéaire à un autre et leur relation.
• Maîtriser l’utilisation des coordonnées vectorielles dans un repère orthonormé.
• Connaître la formule du déterminant pour deux vecteurs dans le plan.
• Comprendre l’application de la colinéarité pour déterminer si deux vecteurs sont alignés.
• Savoir calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé.
• Connaître la définition du milieu d’un segment et ses coordonnées.
• Maîtriser la formule de la distance dans un repère orthonormé.
• Connaître la référence de Perroux sur la croissance économique.