Introduction à la logique mathématique

1. 📌 L'essentiel

• Assertion : proposition vraie ou fa, principe du tiers exclu.
• Négation ¬P : la valeur logique (V↔F, F↔V).
• Connecteurs principaux : ET (∧), OU (∨), implication (⇒), équivalence (⇔).
• Tables de vérité : 4 lignes pour chaque connecteur.
• Lois de De Morgan : ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ; ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q.
• Tautologies : assertions toujours vraies (ex : P ∨ ¬P).
• Contraposée : (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P).
• Quantificateurs : universel (∀), existentiel (∃), unicité (∃!).
• Négation des quantificateurs : ∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x), etc.
• Raisonnements : direct, par contraposée, par l’absurde, par récurrence.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Assertion : proposition simple, valeur V ou F.
• Négation : ¬P, inverse la valeur logique.
• Connecteurs logiques :
  • ∧ (ET) : vrai si P et Q vrais.
  • ∨ (OU) : vrai si au moins P ou Q vrais.
  • ⇒ (IMPLIQUE) : faux si P vrai et Q faux.
  • ⇔ (ÉQUIVALENCE) : même valeur pour P et Q.
• Lois de De Morgan : pour la négation des connecteurs.
• Quantificateurs :
  • ∀x P(x) : pour tout x, P(x) vraie.
  • ∃x P(x) : il existe x tel que P(x) vraie.
  • ∃!x P(x) : il existe un seul x vérifiant P(x).