Isométrie vectorielle — définition ?
Endomorphisme conservant la norme.
Groupe orthogonal — notation ?
O(E).
Matrices orthogonales — relation ?
A^T A = I_n.
Propriétés des matrices orthogonales — inverse ?
A^{-1} = A^T.
Groupe SO(n) — définition ?
Matrices orthogonales avec det=1.
Rotation plan — matrice ?
[[cos q, -sin q], [sin q, cos q]].
Réflexion plan — matrice ?
[[cos q, sin q], [sin q, -cos q]].
Valeurs propres d’un endomorphisme orthogonal — possibles ?
1 et -1.
Matrices symétriques — condition ?
A = A^T.
Endomorphisme auto-adjoint — propriété ?
(u(x)| y) = (x| u(y)).
Endomorphisme positif — condition ?
(u(x)|x) ≥ 0 pour tout x.
Décomposition spectrale — but ?
Diagonaliser un endomorphisme auto-adjoint.
Base orthonormée — propriété ?
Vecteurs orthogonaux de norme 1.
Valeur propre — définition ?
λ tel que (u - λI) x=0, x≠0.
Matrices symétriques — diagonalisation ?
Dans une base orthonormée, avec valeurs propres réelles.
Auto-adjoint positif — matrice ?
Symétrique semi-définie positive.
Reconnaissance matrices — critère ?
Vérifier A^T A=I pour orthogonal, A=A^T pour symétrique.
Isométries plan — types ?
Rotations et réflexions.
Classification espace 3D — éléments clés ?
Rotations, réflexions, axes, plans.
Valeurs propres d’un endomorphisme auto-adjoint — réelles ?
Oui, elles sont réelles.
Bases orthonormées — rôle ?
Simplifient la diagonalisation et la représentation.
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1. Quand la notion de groupe orthogonal $O(n)$ a-t-elle été principalement formalisée dans la littérature mathématique moderne ?
2. Quelle est la caractéristique principale qui définit une matrice orthogonale ?
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