Flashcard: Analyse des normes et rayon spectral en systèmes linéaires — 18 carte

Norme vectorielle — définition ?

Application associant chaque vecteur à un réel ≥ 0.

Norme matricielle — propriété clé ?

Vaut zéro si et seulement si la matrice est nulle.

Norme spectrale — rôle ?

Mesure la taille d'une matrice via ses valeurs propres.

Rayon spectral — définition ?

Plus grande valeur absolue parmi les valeurs propres.

Norme spectrale — relation avec rayon spectral ?

Norme ≥ rayon spectral; elles coïncident pour matrices normales.

Inversibilité — critère normatif ?

Matrice inversible si norme de son inverse est finie.

Conditionnement — définition ?

Rapport entre la norme d'une matrice et celle de son inverse.

Perturbation — effet sur solution ?

Augmente la sensibilité, surtout si conditionnement élevé.

Matrices normales — propriété ?

Commutaient avec leur transposée conjuguée, valeurs propres réelles ou complexes.

Matrices hermitiennes — caractéristique ?

Valeurs propres réelles, symétrie complexe.

Matrices unitaires — conditionnement ?

Conditionnement égal à 1, optimal.

Solutions liées par matrices inversibles — relation ?

Transformées par multiplication par l'inverse, solutions liées.

Calcul norme 1 — méthode ?

Max somme absolue par colonne.

Calcul norme infinie — méthode ?

Max somme absolue par ligne.

Rayon spectral — calcul pratique ?

Trouver la valeur absolue du plus grand valeur propre.

Convergence suite de matrices — critère ?

Rayon spectral < 1 assure convergence vers zéro.

Suite de matrices — sensibilité ?

Dépend du conditionnement; élevé = plus sensible.

Matrices normales — avantage dans conditionnement ?

Simplifient l'analyse, conditionnement souvent minimal.