Scheda di revisione: Analyse du comportement des suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition suites numériques
2. Représentation graphique suites
3. Raisonnement par récurrence
4. Propriétés suites monotones
5. Suites majorées/minorées
6. Suites arithmétiques
7. Suites géométriques
8. Calcul termes suites
9. Comportement asymptotique
10. Étude variations suites

📖 1. Définition suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction de ℕ (ou d'une partie de ℕ) dans ℝ, représentant une liste ordonnée de nombres. Notée (uₙ), où n ∈ ℕ, avec uₙ le terme d’indice n. (Source : Terminales, Chapitre 01)

• Terme d'une suite : Éléments de la liste, notés u₀, u₁, u₂, …, correspondant à l’indice n. La notation (uₙ) désigne la suite dans son ensemble. (Source : Terminales, Chapitre 01)

• Expression explicite : Formule donnant uₙ en fonction de n, par exemple uₙ = f(n). Elle permet de calculer directement n'importe quel terme. (Source : Terminales, Chapitre 01)

• Expression par relation de récurrence : Formule reliant uₙ₊₁ à uₙ, par exemple uₙ₊₁ = f(uₙ). Elle sert à générer la suite à partir d’un terme initial. (Source : Terminales, Chapitre 01)

• Représentation graphique : Visualisation de la suite sur un axe ou dans un plan, en traçant les points (n, uₙ) ou la courbe de la fonction f si uₙ = f(n). Elle facilite l’analyse du comportement de la suite. (Source : Terminales, Chapitre 01)

📝 Points essentiels

• La suite peut être définie de plusieurs façons : par une liste de termes, une formule explicite, ou une relation de récurrence. La formule explicite permet un calcul direct, tandis que la relation de récurrence nécessite un calcul étape par étape.

• La représentation graphique, soit sur un axe, soit dans un plan, permet d’observer visuellement la croissance, la décroissance ou la stabilité de la suite. La méthode consiste à tracer la courbe de la fonction f si uₙ = f(n), en ne conservant que les ordonnées pour n entiers naturels.

• La suite est une liste ordonnée de nombres, dont chaque terme est associé à un indice n ∈ ℕ. La notation (uₙ) ou (u(n)) est standard pour désigner la suite.

• La relation entre termes successifs (relation de récurrence) est souvent utilisée pour générer la suite, notamment lorsque la formule explicite est difficile à déterminer.

• La représentation graphique de suites définies par une fonction f (uₙ = f(n)) permet d’anticiper leur comportement asymptotique ou leur tendance générale.

💡 À retenir

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, définie soit explicitement, soit par une relation de récurrence, et peut être visualisée graphiquement pour analyser son comportement.

📖 2. Représentation graphique suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : Visualisation d'une suite par un graphique, permettant d’étudier son comportement (croissance, décroissance, oscillations). Elle peut se faire sur un axe ou dans un plan muni d’un repère (voir section 3.1).
• Courbe de la fonction f : La représentation graphique d’une suite définie par $u_n = f(n)$, obtenue en traçant la courbe de $f$ et en ne conservant que les points d’abscisse entiers naturels (voir exemple dans la section 3.1).
• Points de la suite : Points $(n, u_n)$ où $n$ est l’indice et $u_n$ la valeur du terme. La visualisation consiste à relier ces points pour observer la tendance générale.
• Méthode de tracé : On trace la courbe de $f$ puis on repère uniquement les points correspondant à des entiers naturels pour représenter la suite. Cela permet d’étudier son évolution sans représenter toute la courbe continue.
• Représentation dans un repère : Utilisation d’un repère cartésien pour représenter la suite, ce qui facilite l’analyse de son comportement (par exemple, croissance ou décroissance). La représentation graphique dans un plan est particulièrement utile pour visualiser les variations.
• Exemple illustratif : La suite $u_n = 0.5x^2 - 3x + 1$ représentée en rouge, où la courbe de la fonction $f(x)$ est tracée, puis les points $(n, u_n)$ sont extraits pour l’étude graphique (voir exemple dans la section 3.1).

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une suite $(u_n)$ permet d’observer visuellement si elle est croissante, décroissante ou stationnaire.
• Pour une suite définie par $u_n = f(n)$, la courbe de $f$ est tracée, puis on ne conserve que les points dont l’abscisse est un entier naturel, ce qui donne une visualisation discrète adaptée à l’étude de la suite.
• La méthode de représentation dans un repère cartésien facilite l’analyse qualitative du comportement de la suite, notamment pour repérer des tendances asymptotiques ou des oscillations.
• La visualisation graphique est un outil précieux pour comprendre intuitivement la nature d’une suite, en complément de l’analyse algébrique ou numérique.
• La représentation graphique peut aussi servir à vérifier des propriétés telles que la monotonie ou la borne supérieure/inferieure, en observant la tendance générale des points.

💡 À retenir

La représentation graphique d’une suite, par tracé de points ou courbes, permet d’observer intuitivement son comportement (croissance, décroissance, oscillations) et facilite l’analyse qualitative, notamment pour les suites définies par une fonction $f(n)$.

📖 3. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété mathématique : déclaration vérifiable, contenant un verbe, qui peut être une égalité, une inégalité ou une phrase, et qui dépend d’un entier naturel (ex : P(n)). (source : chapitre)
• Principe du raisonnement par récurrence : méthode permettant de démontrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ en trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion. (source : chapitre)
• Initialisation : vérification que P(n₀) est vraie pour la valeur de départ n₀. (source : chapitre)
• Hérédité : étape où l’on suppose P(k) vraie pour un entier fixé k ≥ n₀, et où l’on démontre que P(k+1) est également vraie. (source : chapitre)
• Principe de récurrence : conclusion qui affirme que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀, si les deux étapes précédentes sont validées. (source : chapitre)

📝 Points essentiels

• La propriété P(n) doit être clairement formulée avant la démonstration.
• La vérification de P(n₀) constitue la première étape cruciale, souvent appelée « étape d’initialisation ».
• La démonstration de l’hérédité repose sur l’hypothèse que P(k) est vraie, puis sur la preuve que P(k+1) en découle logiquement.
• La conclusion s’appuie sur le principe de récurrence, qui garantit la validité de P(n) pour tout n ≥ n₀.
• La difficulté principale réside dans la compréhension de l’étape d’hypothèse de récurrence et de la logique qui en découle, évitant ainsi le cercle vicieux ou la fausse impression de supposer ce qu’on veut démontrer.
• Exemple classique : démontrer que la somme 1+2+…+n = n(n+1)/2 pour tout n ≥ 1, en utilisant le principe de récurrence.
• La méthode est également applicable pour prouver des inégalités, des propriétés de suites, ou des formules générales.

💡 À retenir

Le raisonnement par récurrence est une méthode rigoureuse permettant de prouver qu’une propriété dépendant d’un entier naturel est vraie pour tous les n à partir d’un certain n₀, en s’appuyant sur une étape d’initialisation et une étape d’hérédité.

📖 4. Propriétés suites monotones

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite monotone : Suite qui est soit croissante, soit décroissante, soit constante à partir d’un certain rang n₀.
  AUTEUR (date) : "Une suite est croissante à partir d’un entier n₀ si pour tout n ≥ n₀, un+1 ≥ un."
• Suite croissante : Suite où chaque terme est supérieur ou égal au précédent à partir d’un certain rang.
  AUTEUR (date) : "Pour tout n ≥ n₀, un+1 ≥ un."
• Suite décroissante : Suite où chaque terme est inférieur ou égal au précédent à partir d’un certain rang.
  AUTEUR (date) : "Pour tout n ≥ n₀, un+1 ≤ un."
• Suite constante (ou stationnaire) : Suite dont tous les termes à partir d’un certain rang sont égaux.
  AUTEUR (date) : "Pour tout n ≥ n₀, un+1 = un."
• Suite bornée : Suite qui possède une majorante et une minorante.
  AUTEUR (date) : "Une suite est bornée si elle est majorée et minorée."
• Majorant / Minorant : Nombre M (ou m) tel que pour tout n, un ≤ M (ou un ≥ m).
  AUTEUR (date) : "M est un majorant de la suite (un) si pour tout n, un ≤ M."
• Critère de monotonicité via le signe de un+1 - un : Méthode pour démontrer qu’une suite est croissante ou décroissante en étudiant le signe de la différence.
  AUTEUR (date) : "Une suite (un) est croissante si un+1 - un ≥ 0 pour tout n."

📝 Points essentiels

• La propriété de monotonie d’une suite peut être démontrée en étudiant le signe de la différence un+1 - un ou en comparant le quotient un+1 / un à 1 si un > 0.
• La croissance ou décroissance peut aussi être déduite de la nature de la fonction f si la suite est définie par un= f(n) : si f est croissante sur [0, +∞[, alors (un) est croissante, et inversement.
• La méthode par récurrence permet de prouver la monotonie : vérifier l’initialisation (P(n₀)), puis montrer que si P(k) est vraie, alors P(k+1) l’est aussi (hérédité).
• Une suite bornée et monotone est convergente (théorème fondamental).
• La démonstration de la monotonie est essentielle pour l’étude du comportement asymptotique et la convergence des suites.

💡 À retenir

Une suite monotone, bornée, est toujours convergente, ce qui en fait un outil clé pour analyser leur comportement à l’infini. La démonstration de leur monotonicité repose souvent sur l’étude du signe de la différence ou du quotient entre termes successifs.

📖 5. Suites majorées/minorées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite (un) est dite majorée s'il existe un réel M, appelé majorant, tel que pour tout n ∈ ℕ, un ≤ M. (Source : terminales, 2024-2025)
• Suite minorée : Une suite (un) est dite minorée s'il existe un réel m, appelé minorant, tel que pour tout n ∈ ℕ, un ≥ m. (Source : terminales, 2024-2025)
• Suite bornée : Une suite (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire qu’il existe M et m tels que pour tout n, m ≤ un ≤ M. (Source : terminales, 2024-2025)
• Majorant / Minorant : Un nombre M (ou m) qui sert de limite supérieure (ou inférieure) à tous les termes d’une suite. (Source : terminales, 2024-2025)
• Propriété : Toute suite monotone et bornée est convergente (voir section 8 pour comportement asymptotique). (Source : terminales, 2024-2025)

📝 Points essentiels

• La notion de suite majorée ou minorée permet d’établir des bornes pour les termes d’une suite, ce qui est fondamental pour l’étude de leur comportement asymptotique.
• La propriété clé est que toute suite monotone et bornée converge (théorème fondamental).
• La démonstration qu’une suite est majorée ou minorée peut s’appuyer sur l’étude du signe de la différence entre termes consécutifs ou par comparaison avec une suite connue (exemple : suite géométrique ou arithmétique).
• La notion de bornitude est essentielle pour appliquer le théorème de convergence (voir section 8).
• La méthode pour prouver qu’une suite est majorée ou minorée consiste souvent à utiliser une inégalité ou une propriété de la suite, ou encore par récurrence (voir section 3).

💡 À retenir

Une suite bornée, qu’elle soit croissante ou décroissante, possède une limite finie, ce qui est une étape clé pour analyser son comportement à l’infini.

📖 6. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite numérique où chaque terme se déduit du précédent en lui ajoutant une constante appelée la raison. Formule : $u_{n+1} = u_n + r$. (Source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)
• Raison (r) : Nombre constant ajouté à chaque terme pour obtenir le suivant dans une suite arithmétique. Elle peut être positive, négative ou nulle.
• Formule explicite : Expression du terme général en fonction de l’indice n : $u_n = u_0 + n \times r$. Elle permet de calculer directement n’importe quel terme sans connaître les précédents. (Source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)
• Propriété graphique : La représentation d’une suite arithmétique sur un graphique est une droite, car les points sont alignés. La pente de cette droite est la raison r.
• Démonstration par récurrence : Méthode pour prouver que la formule explicite est vraie pour tout n, en vérifiant initialement puis en montrant que si elle est vraie pour un n, elle l’est aussi pour n+1. (Source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)

📝 Points essentiels

• La suite arithmétique est caractérisée par la constance de la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n = r$.
• La formule explicite $u_n = u_0 + n \times r$ permet de déterminer rapidement n’importe quel terme à partir du premier terme $u_0$ et de la raison r.
• La représentation graphique est une droite dont la pente est la raison r, ce qui facilite la visualisation de la croissance ou décroissance de la suite.
• La formule de la somme des n premiers termes est donnée par : $S_n = \frac{n}{2} (u_0 + u_{n-1})$ ou $S_n = \frac{n}{2} (2u_0 + (n-1)r)$.
• La démonstration par récurrence est une étape clé pour établir la validité des formules générales. Elle comprend l'initialisation, l’hérédité, puis la conclusion.

💡 À retenir

Une suite arithmétique est entièrement déterminée par son premier terme et sa raison ; sa formule explicite permet de calculer directement n’importe quel terme, et sa représentation graphique est une droite.

📖 7. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite (un) où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée la raison q. Formule : $u_{n+1} = u_n \times q$. (source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)

• Raison q : Nombre constant qui relie chaque terme au précédent dans une suite géométrique. Elle peut être positive, négative, ou inférieure à 1, selon la croissance ou décroissance de la suite. (source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)

• Expression explicite d'une suite géométrique : Pour tout n, $u_n = u_0 \times q^n$, où $u_0$ est le premier terme. Elle permet de calculer directement n'importe quel terme. (source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)

• Croissance et décroissance :

  • Si $q > 1$ et $u_0 > 0$, la suite est strictement croissante.
  • Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$, la suite est strictement décroissante.
  • Si $q = 1$, la suite est constante.
  • Si $q < 0$, la suite oscille en signe, selon la valeur de $q^n$. (source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)

• Somme des termes d'une suite géométrique : La somme des $n+1$ premiers termes est donnée par :
  $S_{n} = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad \text{si } q \neq 1$ pour $q=1$, la somme est simplement $(n+1) \times u_0$. (source : Chapitre 01, Lycée Montaigne, 2024-2025)

📝 Points essentiels

• La suite géométrique est caractérisée par sa raison $q$ et son premier terme $u_0$. La formule explicite $u_n = u_0 \times q^n$ permet de calculer rapidement n'importe quel terme.

• La croissance ou décroissance dépend du signe et de la valeur absolue de $q$.

  • Si $|q| > 1$, la suite diverge vers l'infini ou moins l'infini selon le signe.
  • Si $|q| < 1$, la suite tend vers 0 lorsque $n \to \infty$.
  • Si $q=1$, la suite est constante.

• La somme des termes d'une suite géométrique est utile pour analyser des séries ou des phénomènes exponentiels. La formule de la somme repose sur la différence géométrique $1 - q^{n+1}$.

• La représentation graphique d'une suite géométrique dépend de $q$ : croissance exponentielle si $|q| > 1$, décroissance si $|q| < 1$, ou ligne horizontale si $q=1$.

• La propriété de la suite géométrique est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle en sciences, économie, etc.

💡 À retenir

Une suite géométrique est entièrement déterminée par son premier terme et sa raison, et sa formule explicite permet de calculer rapidement ses termes ou sa somme. La nature de la croissance ou décroissance dépend de la valeur absolue et du signe de la raison $q$.

📖 8. Calcul termes suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite explicite : Une suite définie par une formule en fonction de n, par exemple $u_n = f(n)$. (Source : Terminales, Chapitre 01)
• Suite par récurrence : Une suite définie à partir d’un terme initial et d’une relation de dépendance entre termes consécutifs, par exemple $u_{n+1} = f(u_n)$. (Source : Terminales, Chapitre 01)
• Expression d’un terme : La formule permettant de calculer directement $u_n$ en fonction de n, souvent obtenue par résolution de relation de récurrence ou par formule explicite. (Source : Terminales, Chapitre 01)
• Récurrence : Technique de définition ou de démonstration utilisant la relation entre un terme et le précédent, principe fondamental du raisonnement par récurrence. (Source : Terminales, Chapitre 01)
• Formule de la somme d’une suite arithmétique : $S_n = \frac{n}{2} (u_0 + u_{n-1})$, permettant de calculer la somme des n premiers termes. (Source : Terminales, Chapitre 01)

📝 Points essentiels

• La détermination d’un terme $u_n$ peut se faire par formule explicite ou par relation de récurrence, selon la définition de la suite.
• La formule explicite facilite le calcul direct de tout terme sans remonter dans la suite, tandis que la relation de récurrence nécessite de calculer terme par terme.
• La résolution d’une relation de récurrence peut faire appel à différentes méthodes : substitution, changement de variable, ou utilisation de formules connues (arithmétique, géométrique).
• La représentation graphique d’une suite $(u_n)$ peut se faire en traçant la courbe de la fonction $f(n)$ ou en points dans un repère pour visualiser le comportement.
• La formule de la somme d’une suite géométrique : $\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$) est essentielle pour calculer la somme des termes.
• La méthode par récurrence est structurée en trois étapes : initialisation (vérification de la propriété pour $n_0$), étape d’hérédité (si vrai pour $k$, alors vrai pour $k+1$), conclusion.
• La formule de la somme d’une suite arithmétique : $S_n = \frac{n}{2} (u_0 + u_{n-1})$ permet de calculer la somme des premiers termes.

💡 À retenir

Le calcul des termes d’une suite repose sur la maîtrise des formules explicites et des relations de récurrence, ainsi que sur la capacité à résoudre ces relations pour déterminer rapidement un terme ou une somme. La méthode par récurrence est un outil fondamental pour démontrer des propriétés liées aux suites.

📖 9. Comportement asymptotique

🔑 Notions clés & Définitions

• Comportement asymptotique : étude de la tendance d'une suite (ou d'une fonction) lorsque l’indice (ou la variable) tend vers l’infini ou une valeur particulière. AUTEUR (date) : concept central en analyse pour analyser la stabilité ou la convergence d’une suite.

• Limite asymptotique : valeur vers laquelle une suite (un) tend lorsque n → +∞, si cette limite existe. Elle peut être finie ou infinie. La notation est généralement lim (un) = L ou lim n→+∞ un = L. AUTEUR (date) : notion fondamentale en analyse pour décrire le comportement à l’infini.

• Suite convergente : suite dont la limite asymptotique existe et est finie. La convergence implique que, pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, |un - L| < ε. AUTEUR (date) : définition clé en étude de la convergence.

• Suite divergente : suite dont la limite asymptotique n’existe pas ou tend vers +∞ ou -∞. Elle ne se stabilise pas vers une valeur finie. AUTEUR (date) : notion complémentaire à la convergence.

• Comportement limite (ou asymptotique) : description qualitative du comportement de la suite (ou fonction) à l’infini, par exemple : tend vers 0, tend vers une constante, diverge vers +∞, etc. AUTEUR (date) : concept utilisé pour classer les suites selon leur tendance.

📝 Points essentiels

• Lorsqu’on étudie le comportement asymptotique d’une suite (un), on cherche sa limite lorsque n → +∞. Si cette limite existe et est finie, la suite est dite convergente vers cette limite. Sinon, elle diverge ou tend vers l’infini.

• La limite asymptotique permet de comprendre la stabilité ou la tendance à long terme d’un phénomène modélisé par une suite. Par exemple, une suite (un) qui tend vers 0 indique une décroissance vers un état stable.

• Pour une suite (un), si lim n→+∞ un = L, alors pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, |un - L| < ε. La convergence est donc une propriété locale à partir d’un certain rang.

• La limite asymptotique peut être nulle, une constante non nulle, ou infinie. La connaissance de cette limite permet de faire des approximations ou de prévoir le comportement à long terme.

• La notion de comportement asymptotique est essentielle dans l’étude des suites arithmétiques, géométriques, ou plus complexes (exponentielles, logarithmiques, etc.), notamment pour déterminer si une suite se stabilise ou diverge.

💡 À retenir

Le comportement asymptotique d’une suite décrit sa tendance à long terme : elle peut converger vers une valeur finie, diverger vers l’infini, ou osciller sans limite. Cette étude est fondamentale pour analyser la stabilité et la croissance ou décroissance d’un phénomène.

📖 10. Étude variations suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation d'une suite : La façon dont les termes d'une suite évoluent en fonction de l'indice n, permettant d'analyser si la suite est croissante, décroissante ou stationnaire.
• Suite croissante (définie par PERROUX (date)) : pour tout n ≥ n₀, un+1 ≥ un. La suite augmente ou reste constante à partir d’un certain rang.
• Suite décroissante (définie par PERROUX (date)) : pour tout n ≥ n₀, un+1 ≤ un. La suite diminue ou reste constante à partir d’un certain rang.
• Suite monotone : une suite qui est soit croissante, soit décroissante, soit constante (définie par PERROUX (date)).
• Majorée / Minorée : une suite est majorée s'il existe M tel que pour tout n, un ≤ M ; minorée si m existe tel que pour tout n, un ≥ m (définition de PERROUX (date)).
• Suite bornée : suite à la fois majorée et minorée, donc limitée dans ℝ (définition de PERROUX (date)).

📝 Points essentiels

• La variation d'une suite peut être étudiée en analysant le signe de la différence un+1 – un ou le quotient un+1 / un si un > 0.
• La croissance ou décroissance d'une suite définie par une fonction f(n) peut être déduite de la monotonie de f sur [0, +∞[ : si f est croissante, la suite (un) est croissante, et inversement (PERROUX, date).
• Le principe de l'étude de variation consiste à déterminer le signe de un+1 – un pour n ≥ n₀, permettant de conclure sur la comportement global (croissance, décroissance, stationnarité).
• La notion de suite bornée est essentielle pour analyser le comportement limite et la convergence éventuelle d'une suite.
• La démonstration de la monotonie peut aussi s'appuyer sur le raisonnement par récurrence, en montrant que la propriété est vraie à partir d’un rang initial et qu’elle se maintient pour le rang suivant.

💡 À retenir

L’étude des variations d’une suite repose sur l’analyse du signe de la différence entre termes successifs ou du quotient, permettant de déterminer si la suite est croissante, décroissante ou stationnaire, ce qui est crucial pour comprendre son comportement asymptotique.

📊 Tableau de Synthèse : Suites et leurs propriétés

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre formule explicite et relation de récurrence : la première donne uₙ directement, la seconde nécessite un calcul étape par étape.
2. Oublier de vérifier la condition initiale lors du raisonnement par récurrence.
3. Interpréter à tort une représentation graphique : ne pas confondre la courbe continue de f(n) et la visualisation discrète des points (n, uₙ).
4. Supposer qu’une suite monotone est nécessairement bornée ou convergente.
5. Confondre suite croissante et suite majorée sans vérifier la borne supérieure.
6. Ne pas faire attention à la valeur de n₀ dans l’étude de la monotonie ou de la convergence.
7. Utiliser une formule explicite sans vérifier sa validité pour tous n ou sans justifier la dérivation ou la limite.

✅ Checklist Examen (avec auteurs et concepts clés)

1. Connaître la définition d’une suite numérique selon Terminales (fonction de ℕ dans ℝ).
2. Savoir écrire et utiliser une formule explicite pour calculer un terme uₙ.
3. Maîtriser la relation de récurrence et savoir la résoudre étape par étape.
4. Être capable de représenter graphiquement une suite à partir de la fonction f(n) ou des points (n, uₙ).
5. Appliquer le principe du raisonnement par récurrence pour démontrer une propriété.
6. Connaître la définition d’une suite monotone (croissante, décroissante, constante).
7. Identifier si une suite est majorée ou minorée, et connaître la notion de borne supérieure ou inférieure.
8. Analyser le comportement asymptotique d’une suite (limite quand n → ∞).
9. Vérifier la validité de la formule explicite pour tout n, en justifiant la dérivation ou la limite.
10. Comprendre et appliquer la méthode de tracé graphique pour observer la tendance d’une suite.
11. Savoir utiliser le principe de récurrence pour prouver une formule classique (ex : somme des n premiers entiers).
12. Connaître la définition et la propriété d’une suite bornée, et savoir déterminer si une suite converge ou diverge.