Analyse du discriminant et du signe d'un trinôme quadratique

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et racines du trinôme
2. Signe du trinôme selon le discriminant

📖 1. Discriminant et racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant =b^2-4ac mesure le nombre de racines reelles deun trinf4me $ax^2+bx+c$.
• Racines $x_1$ et $x_2$ : Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent le trinf4me et se calculent a partir de $a,b,c$ et de .
• Racine double $x_S$ : La racine double correspond au cas of9 =0 et seobtient avec x_S=-frac{b}{2a}.

📝 Points essentiels

• On calcule le discriminant =b^2-4ac pour traiter $P(x)=ax^2+bx+c$.
• Si >0, le trinf4me admet deux racines reelles x_1=a0 rac{-b-a0\sqrt{}}{2a} et x_2=a0 rac{-b+a0\sqrt{}}{2a}.
• Si =0, il y a une racine double $x_S=-a0 rac{b}{2a}$ et on peut ecrire la factorisation avec $(x-x_S)^2$.
• Si <0, le trinf4me naadmets aucune racine dans $\mathbb{R}$.

📖 2. Signe du trinôme selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation pour >0 : Quand >0, $P(x)$ se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$, ce qui permet deobtenir son signe via les intervalles autour de $x_1$ et $x_2$.
• Factorisation pour =0 : Quand =0, $P(x)$ se factorise en $a(x-x_S)^2$, ce qui empeche le changement de signe au passage par $x_S$.
• Signe de $a$ : Le symbole $\mathrm{sgn}(a)$ indique le signe de $a$ et donne le signe de $P(x)$ quand $x\to\pm\infty$.

📝 Points essentiels