Scheda di revisione: Analyse du signe et résolution d'inéquations

📋 Plan du Cours

1. Etudier le signe de 𝑓 suivant les valeurs de 𝑥
2. En déduire les solutions de l’inéquation −3𝑥2 + 14𝑥 − 8 >
3. On va dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)(−𝑥 + 4
4. Etude du signe de −2𝑥+4 𝑥+3 Valeur interdite 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 Signe de −2𝑥 + 4 ∶ −2𝑥 + 4 > 0 ⟺ 4 > 2𝑥 ⟺ 4 2 >

📖 1. Etudier le signe de 𝑓 suivant les valeurs de 𝑥

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’une fonction : Déterminer les valeurs de x pour lesquelles une expression f(x) est strictement positive, nulle ou strictement négative.
• Fonction affine : Fonction définie sur ℝ de la forme f(x)=mx+p, avec m≠0.

📝 Points essentiels

• Étudier le signe de f(x) consiste à déterminer, pour chaque valeur de x, si f(x) est strictement positif, nul ou strictement négatif.
• Le signe de f(x) est souvent présenté sous la forme d’un tableau de signes.
• Pour une fonction affine f(x)=mx+p, l’inégalité f(x)>0 équivaut à mx+p>0, puis à une inégalité sur x : si m>0 alors x>−p/m, et si m<0 alors x<−p/m.

💡 À retenir

Étudier le signe de f(x) consiste à déterminer, pour chaque valeur de x, si f(x) est strictement positif, nul ou strictement négatif.

📖 2. En déduire les solutions de l’inéquation −3𝑥2 + 14𝑥 − 8 >

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du 1er degré : Inégalité qui contient un nombre inconnu noté 𝑥. Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui vérifient cette inégalité.

📝 Points essentiels

• Résoudre l’inéquation −3𝑥2 + 14𝑥 − 8 > 0 revient à déterminer les valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’expression est strictement positive.
• Pour transformer une inéquation en une inéquation équivalente, on peut développer, factoriser ou réduire des termes, puis appliquer les propriétés sur les inégalités ; deux inéquations équivalentes ont les mêmes solutions.
• On utilise la factorisation (3𝑥 − 2)(−𝑥 + 4) = −3𝑥2 + 14𝑥 − 8 pour relier le signe de −3𝑥2 + 14𝑥 − 8 à celui du produit (3𝑥 − 2)(−𝑥 + 4).
• Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui vérifient cette inégalité.
• Deux inéquations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.

💡 À retenir

Résoudre l’inéquation −3𝑥2 + 14𝑥 − 8 > 0 revient à déterminer les valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’expression est strictement positive.

📖 3. On va dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)(−𝑥 + 4

📝 Points essentiels

• Pour dresser le tableau de signes de f(x)=(3x−2)(−x+4), on repère les valeurs qui annulent chaque facteur : 3x−2=0 ⇔ x=2/3 et −x+4=0 ⇔ x=4.
• Le signe de 3x−2 est déterminé par m=3>0 : le facteur passe de « − » à « + » en traversant 2/3.
• Le tableau de signes de f(x) se construit en combinant les signes des deux facteurs (règle des signes du produit) et en plaçant les zéros aux points 2/3 et 4.
• Pour l’inéquation f(x)>0, le produit est strictement positif sur ]2/3;4[ et f(x) est nul en 2/3 et 4.

💡 À retenir

Le tableau de signes d’un produit s’obtient en deux étapes : trouver les valeurs qui annulent chaque facteur, puis combiner leurs signes pour déterminer le signe du produit.

📖 4. Etude du signe de −2𝑥+4 𝑥+3 Valeur interdite 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 Signe de −2𝑥 + 4 ∶ −2𝑥 + 4 > 0 ⟺ 4 > 2𝑥 ⟺ 4 2 >

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution : On appelle 𝑥 le nombre de patients soignés.
• On dresse le tableau de signes : On cherche la valeur qui annule le deuxième terme : −𝑥 + 4 = 0 ⇔ −𝑥 = −4 ⇔ 𝑥 = 4 De plus, ici 𝑚

📝 Points essentiels

• Valeur interdite : x+3=0 ⇔ x=−3, car le quotient n’est pas défini lorsque le dénominateur est nul.
• Signe du numérateur : −2x+4>0 ⇔ 4>2x ⇔ 2>x, donc −2x+4 est positif pour x<2.
• Signe d’un quotient et résolution d’inéquation quotient Définition :Une inéquation quotient est une inéquation de la forme 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) > 0 ou 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) < 0 ou 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ≥ 0 ou encore 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) ≤ 0.
• Dans une inéquation quotient, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur, puis on applique la règle des signes en tenant compte des valeurs interdites.
• Valeur interdite : 𝑥+3=0 ⇔ 𝑥=−3 (cette valeur est exclue du domaine car le quotient n’est pas défini).

💡 À retenir

Pour une inéquation quotient, le signe se déduit du numérateur et du dénominateur, mais la valeur interdite (dénominateur nul) impose une exclusion immédiate.

🧩 Compléments de couverture

1. Dans les propriétés des inégalités, ajouter (ou soustraire) le même nombre aux deux membres ne change pas le sens de l’inégalité : « NE CHANGE PAS le sens de l’inégalité ».
2. Dans les propriétés des inégalités, multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve le sens : « CONSERVE le sens de l’inégalité ».
3. Pour l’exercice 1, la justification de la factorisation est donnée par l’égalité développée : « (3𝑥 − 2)(−𝑥 + 4) = −3𝑥2 + 12𝑥 + 2𝑥 − 8 ».
4. Pour l’exercice 1, les solutions de l’inéquation sont données explicitement : « 𝑆 =] 2 3 ; 4[ ».
5. Pour l’exercice 1, il est demandé de vérifier avec le menu GRAPH de la calculatrice : « à l’aide du menu GRAPH de votre calculatrice ».
6. Pour l’exercice 2, la conclusion formulée est : « le service hospitalier a soigné au moins 18 patients ».
7. Méthode :Pour étudier le signe d’un quotient, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur, puis on applique la règle des signes en veillant aux éventuelles valeurs interdites.
8. Tableau de signes de l’expression 2𝑥 + 6, où 𝑥 est un nombre réel : Justification 2𝑥 + 6 > 0 ⟺ 2𝑥 > −6 ⟺ 𝒙 > −3 OU  2𝑥 + 6 = 0 ⟺ 2𝑥 = −6 ⟺ 𝒙 = −3 𝐸𝑇 𝑚 = 2 > 0 fonction croissante (du – vers +) 2)
9. Le problème peut se modéliser par l’inéquation : 1500 + 300𝑥 ≥ 6900 300𝑥 ≥ 6900 − 1500 300𝑥 ≥ 5400 𝑥 ≥ 18 Donc le service hospitalier a soigné au moins 18 patients.
10. • On cherche la valeur qui annule le premier terme : 𝑥 = 0 De plus ici 𝑚 = 1 > 0.
11. Chapitre 11 2nde Signe d’une fonction et inéquations I- Inéquation du premier degré à 1 inconnue 1.
12. Signe d’un produit et résolution d’inéquation produit Définition : Une inéquation produit est une inéquation de la forme 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) > 0 ou 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) < 0 ou 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) ≥ 0 ou encore 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) ≤ 0.
13. L’inéquation −3𝑥2 + 14𝑥 − 8 > 0correspond aussi à l’inéquation (3𝑥 − 2)(−𝑥 + 4) > 0.
14. • −2𝑥 + 4 𝑥 + 3 − | | + 0 − Les solutions de l’inéquation −2𝑥+4 𝑥+3 ≤ 0 sont 𝑆 =] − ∞;.

📊 Tableaux de Synthèse

Objet	Étapes à suivre (d’après le cours)	Résultat attendu
Signe d’une fonction (général)	Déterminer pour chaque valeur de x si f(x) est strictement positive, nulle ou strictement négative ; présenter souvent sous forme de tableau de signes	Savoir classer les valeurs de x selon le signe de f(x)
Inéquation −3x² + 14x − 8 > 0	Résoudre = trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l’expression est strictement positive ; utiliser la factorisation (3x − 2)(−x + 4) = −3x² + 14x − 8 ; relier le signe du polynôme à celui du produit	Solutions données : S = ]2/3 ; 4[
Tableau de signes de f(x) = (3x − 2)(−x + 4)	1) Repérer les zéros : 3x − 2 = 0 ⇔ x = 2/3 et −x + 4 = 0 ⇔ x = 4 ; 2) Déterminer le signe de chaque facteur (ex. m=3>0 : passe de « − » à « + » en traversant 2/3) ; 3) Combiner avec la règle des signes du produit ; pour f(x)>0 : produit strictement positif sur ]2/3;4[ et nul en 2/3 et 4	Pour f(x)>0 : ]2/3;4[
Inéquation quotient (valeurs interdites)	Valeur interdite : x+3=0 ⇔ x=−3 car le quotient n’est pas défini quand le dénominateur est nul ; dans une inéquation quotient, étudier numérateur et dénominateur puis appliquer la règle des signes en tenant compte des valeurs interdites	Exclusion immédiate des valeurs interdites

Expression / type d’inéquation	Points clés explicités dans le cours	Conclusion à maîtriser
Inéquation quotient : valeur interdite x+3=0	« Valeur interdite : x+3=0 ⇔ x=−3, car le quotient n’est pas défini lorsque le dénominateur est nul »	x = −3 est exclu
Signe du numérateur : −2x+4 > 0	−2x+4 > 0 ⇔ 4 > 2x ⇔ 2 > x, donc « −2x+4 est positif pour x<2 »	Numérateur positif pour x<2
Règles sur les inégalités (propriétés)	Ajouter/soustraire le même nombre aux deux membres ne change pas le sens ; multiplier/diviser par un nombre strictement positif conserve le sens ; deux inéquations équivalentes ont les mêmes solutions	Transformations équivalentes sans changer l’ensemble des solutions

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Oublier que « valeur interdite » signifie exclusion immédiate : si le dénominateur vaut 0 (ex. x+3=0 ⇔ x=−3), la valeur ne doit pas être incluse.
2. Confondre signe strict et égalité : pour f(x)>0, les zéros (ex. x=2/3 et x=4 dans le produit) ne sont pas dans l’ensemble des solutions.
3. Ne pas relier correctement l’inégalité au signe du produit : passer de −3x²+14x−8 à (3x−2)(−x+4) pour étudier le signe.
4. Se tromper sur le sens du passage « − » vers « + » d’un facteur affine quand m>0 (le cours indique explicitement m=3>0).
5. Appliquer une règle d’inégalité en oubliant la condition sur le multiplicateur/diviseur : conserver le sens seulement si on multiplie/divise par un nombre strictement positif.
6. Dresser un tableau de signes sans d’abord placer les valeurs qui annulent chaque facteur (les zéros doivent être repérés avant de combiner).
7. Mélanger « résoudre une inéquation » avec « trouver une valeur » : résoudre = trouver toutes les valeurs vérifiant l’inégalité.

✅ Checklist Examen

1. Définir correctement ce qu’est « étudier le signe » d’une fonction : strictement positive / nulle / strictement négative.
2. Savoir que pour une fonction affine f(x)=mx+p, résoudre f(x)>