Quiz: Calcul intégral — 24 domande

1. Pour une fonction continue et positive sur [a ; b], que représente l’intégrale de f sur [a ; b] ?

A. La longueur de la courbe entre x = a et x = b

B. Le volume sous la courbe entre x = a et x = b

C. L’aire (en unités d’aire) de la surface délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b

D. L’aire algébrique de la surface délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b

Answer: (C)

Spiegazione

Si f est continue et positive sur [a ; b], l’intégrale correspond à l’aire de la région délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et x = a et x = b. L’aire algébrique n’est une notion pertinente qu’avec extension au cas de fonctions de signe quelconque.

2. Comment convertir une aire exprimée en unités d’aire en une unité de mesure comme le cm² lorsque les longueurs unitaires sont connues ?

A. En multipliant par la valeur de la longueur unitaire au carré

B. En divisant par la longueur unitaire

C. En ajoutant une constante correspondant à la conversion

D. En multipliant par la valeur de la longueur unitaire

Answer: (A)

Spiegazione

Une aire s’exprime en “unités d’aire” à partir d’une longueur unitaire, donc la conversion en cm² se fait en multipliant par l’unité de longueur au carré. Les autres opérations ne tiennent pas compte du caractère “au carré” de l’aire.

3. Quelle lecture correspond à la notation ∫ₐᵇ f(x) dx ?

A. « intégrale de a à b de f(x) dx »

B. « intégrale de f(x) de a à b dx »

C. « intégrale de a à b de x »

D. « intégrale de a à b de dx »

Answer: (A)

Spiegazione

La notation ∫ₐᵇ f(x) dx se lit « intégrale de a à b de f(x) dx ». Les bornes a et b ne sont pas la variable d’intégration, et dx ne correspond pas à une simple intégrale de dx.

4. Dans ∫ₐᵇ f(x) dx, quel est le rôle de x ?

A. x est la variable d’intégration, et on peut le remplacer par une autre lettre n’intervenant pas ailleurs

B. x représente l’intervalle [a ; b] et ne peut pas être modifié

C. x est la variable des abscisses, mais ne joue pas de rôle dans l’intégrale

D. x est une borne d’intégration, et sa valeur fixe détermine l’intervalle

Answer: (A)

Spiegazione

Dans ∫ₐᵇ f(x) dx, x est la variable d’intégration ; on peut donc la remplacer par une autre lettre, par exemple t, sans changer le sens. Les bornes d’intégration sont a et b, pas x.

5. Pour déterminer une intégrale par calcul d’aire, quelle démarche correspond au procédé attendu ?

A. Utiliser uniquement la longueur de l’intervalle [a ; b] et multiplier par f(a)

B. Intervertir les bornes sans repérer les zones, puis additionner

C. Calculer directement l’aire sans tracer la courbe, puis prendre sa moyenne

D. Tracer la courbe, repérer les surfaces délimitées, puis calculer et additionner les aires géométriques correspondantes

Answer: (D)

Spiegazione

La méthode consiste à tracer la courbe, identifier les surfaces délimitées par la courbe et les axes, puis calculer et additionner les aires géométriques. Les autres propositions ne réalisent pas le repérage des régions.

6. Pour la fonction y = 3 − x sur [2 ; 5], comment se comporte l’expression 3 − x selon la position par rapport à l’axe des abscisses ?

A. Elle est négative sur [2 ; 3] et positive sur [3 ; 5], d’où une séparation en deux aires

B. Elle est positive sur tout [2 ; 5], donc une seule aire suffit

C. Elle est positive sur [2 ; 3] et négative sur [3 ; 5], d’où une séparation en deux aires

D. Elle est nulle sur tout [2 ; 5], donc aucune aire n’est à calculer

Answer: (C)

Spiegazione

Sur [2 ; 3], 3 − x est au-dessus de l’axe, puis elle passe sous l’axe à partir de x = 3 : l’intégrale doit alors être décomposée en deux aires. Le changement de signe se fait bien à l’abscisse d’intersection avec l’axe.

7. Si f est continue, positive et monotone sur [a ; b], quelle est la longueur l de chaque sous-intervalle quand on partage [a ; b] en n intervalles de même longueur ?

A. l = b − a

B. l = (b − a)/n

C. l = n(b − a)

D. l = (a − b)/n

Answer: (B)

Spiegazione

Un partage en n intervalles de même longueur impose une largeur l égale à (b − a)/n. Les autres choix correspondent à des largeurs trop grandes ou au mauvais signe.

8. Sur un sous-intervalle [x ; x + l], entre quels deux rectangles l’aire sous la courbe est-elle encadrée lorsque f est continue et monotone ?

A. Entre les rectangles d’aires l² f(x) et l² f(x + l)

B. Entre les rectangles d’aires (b − a)f(x) et (b − a)f(x + l)

C. Entre les rectangles d’aires l f(x) et l f(x + l)

D. Entre les rectangles d’aires f(x) et f(x + l)

Answer: (C)

Spiegazione

Sur [x ; x + l], l’encadrement utilise les amplitudes l multipliées par les valeurs prises en x et en x + l. L’idée-clé est l’usage de l f(x) et l f(x + l), pas f seul.

9. Quel encadrement peut-on obtenir pour l’intégrale ∫₁² x² dx via un encadrement par rectangles ?

A. 1,00 < ∫₁² x² dx < 1,20

B. 2,10 < ∫₁² x² dx < 2,20

C. 3,00 < ∫₁² x² dx < 3,10

D. 2,31 < ∫₁² x² dx < 2,35

Answer: (D)

Spiegazione

Pour x² sur [1 ; 2], l’encadrement fourni est bien 2,31 < ∫₁² x² dx < 2,35. Les autres intervalles ne recouvrent pas la valeur visée.

10. Quelle est la valeur de l’intégrale ∫ₐᵃ f(x) dx pour toute fonction intégrable ?

A. Elle vaut ∫ₐᵇ f(x) dx

B. Elle vaut 0

C. Elle dépend uniquement de f(a)

D. Elle vaut −∫ₐᵇ f(x) dx

Answer: (B)

Spiegazione

Quand les bornes sont égales, l’intégrale sur un intervalle réduit à un point vaut 0 : ∫ₐᵃ f(x) dx = 0. Elle ne dépend donc pas de f(a).

11. Que devient ∫ᵦᵃ f(x) dx si on inverse les bornes par rapport à ∫ₐᵇ f(x) dx ?

A. Elle vaut ∫ₐᵇ f(x) dx

B. Elle vaut 0

C. Elle vaut −∫ₐᵇ f(x) dx

D. Elle vaut ∫ₐᵇ (−f(x)) dx

Answer: (C)

Spiegazione

Inverser les bornes change le signe de l’intégrale : ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx. La fonction n’est pas modifiée, seule l’orientation de l’intervalle l’est.

12. Quelle relation de Chasles relie ∫ₐᵇ f(x) dx, ∫ᵦᶜ f(x) dx et ∫ₐᶜ f(x) dx ?

A. ∫ₐᵇ f(x) dx − ∫ᵦᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx

B. ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵦᶜ f(x) dx = 0

C. ∫ₐᶜ f(x) dx = ∫ᵦᶜ f(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx

D. ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵦᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx

Answer: (D)

Spiegazione

La relation de Chasles exprime l’additivité sur des intervalles consécutifs : ∫ₐᵇ + ∫ᵦᶜ = ∫ₐᶜ. Les autres égalités correspondent à des soustractions ou à de fausses annulations.

13. Si f est continue et négative sur [a ; b], quelle expression donne l’aire géométrique délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b ?

A. −∫ₐᵇ (−f(x)) dx

B. −∫ₐᵇ f(x) dx

C. ∫ₐᵇ (−f(x)) dx

D. ∫ₐᵇ f(x) dx

Answer: (B)

Spiegazione

Comme f est négative, l’aire géométrique (positive) vaut −∫ₐᵇ f(x) dx. L’option ∫ₐᵇ f(x) dx serait négative et ne correspond pas à une aire.

14. Si f est continue sur [a ; b] et si on définit F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, quel est le sens de la variable d’intégration t ?

A. t correspond à la valeur finale x

B. t désigne une borne fixe égale à b

C. t est un paramètre extérieur non lié à x

D. t est une variable muette d’intégration

Answer: (D)

Spiegazione

Dans F(x)=∫ₐˣ f(t)dt, t est une variable muette : l’intégration “absorbe” t et il ne reste que x en variable de la fonction. Les bornes sont a et x, pas t.

15. Si F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt avec f continue, quelle est la dérivée F′(x) ?

A. F′(x) = 0

B. F′(x) = f(x)

C. F′(x) = f(a)

D. F′(x) = ∫ₐˣ f(t) dt

Answer: (B)

Spiegazione

Par le lien fondamental, la fonction définie par une intégrale vérifie F′(x)=f(x). Les autres choix oublient que la dérivée redonne la valeur de f au point x.

16. Pour étudier les variations de F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, quel outil utilise-t-on en priorité ?

A. On calcule directement la limite en x→a et en x→b uniquement

B. On utilise F′(x) = f(x), puis on regarde le signe de f

C. On compare ∫ₐˣ f(t) dt à ∫ₐˣ 1 dt

D. On utilise une formule de type Chasles pour déterminer le signe

Answer: (B)

Spiegazione

Les variations de F se déduisent de F′(x)=f(x) : le signe de f indique si F croît ou décroît. Les autres méthodes ne donnent pas directement cette information locale via la dérivée.

17. Si F est une primitive de f continue sur [a ; b], quelle expression donne la valeur de ∫ₐᵇ f(x) dx ?

A. F(a) + c avec une constante c

B. F(b) + F(a)

C. F(a) − F(b)

D. F(b) − F(a)

Answer: (D)

Spiegazione

On utilise le théorème fondamental : l’intégrale vaut la différence des valeurs de la primitive aux bornes, soit F(b) − F(a). L’option « F(a) − F(b) » correspond à l’ordre inversé des bornes.

18. Pour f continue sur un intervalle I et F une primitive de f, comment exprime-t-on l’intégrale de f sur [a ; b] ?

A. ∫ₐᵇ f(x) dx = (b − a)F(b)

B. ∫ₐᵇ f(x) dx = F(a) · F(b)

C. ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

D. ∫ₐᵇ f(x) dx = (b − a)F(a)

Answer: (C)

Spiegazione

L’intégrale de f sur [a ; b] est la différence F(b) − F(a) entre les valeurs de la primitive aux bornes. Les autres propositions n’expriment pas la différence aux extrémités.

19. Quelle méthode décrit le mieux le calcul d’une intégrale par primitive ?

A. Trouver F telle que F′ = f, calculer F(b), calculer F(a), puis soustraire F(a) de F(b)

B. Écrire f(x) sous la forme d’un produit, calculer séparément les deux facteurs, puis additionner

C. Appliquer une formule de linéarité à f pour transformer en deux intégrales plus simples

D. Utiliser uniquement un encadrement de f par deux constantes sur [a ; b]

Answer: (A)

Spiegazione

Pour calculer par primitive, on reconnaît une primitive F, on évalue en b et en a, puis on fait F(b) − F(a). Les autres méthodes ne correspondent pas au schéma de calcul demandé.

20. Pour tout réel k, quelle relation relie ∫ₐᵇ kf(x) dx à ∫ₐᵇ f(x) dx ?

A. ∫ₐᵇ kf(x) dx = k + ∫ₐᵇ f(x) dx

B. ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx

C. ∫ₐᵇ kf(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + k

D. ∫ₐᵇ kf(x) dx = (b − a)kf(a)

Answer: (B)

Spiegazione

La linéarité par homothétie donne directement ∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx. Les autres choix ajoutent une constante ou introduisent un facteur inadapté.

21. En notant A = ∫₀²π cos²(x) dx et B = ∫₀²π sin²(x) dx, quelle valeur obtient-on pour A + B ?

A. 0

B. 2π

C. π

D. 4π

Answer: (B)

Spiegazione

Comme cos²(x) + sin²(x) = 1, on a A + B = ∫₀²π 1 dx = 2π. Les autres valeurs correspondent à des erreurs de calcul ou à une autre combinaison.

22. Si f(x) ≥ 0 pour tout x dans [a ; b], quel résultat obtient-on pour ∫ₐᵇ f(x) dx ?

A. ∫ₐᵇ f(x) dx = 0

B. ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0

C. ∫ₐᵇ f(x) dx peut être négatif ou positif sans contrainte

D. ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ 0

Answer: (B)

Spiegazione

La positivité de l’intégrande entraîne la positivité de l’intégrale : si f(x) ≥ 0, alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≥ 0. Les options négatives contredisent cette règle.

23. Pourquoi peut-on encadrer e^(−x²) sur [0 ; 1] par 0 ≤ e^(−x²) ≤ e^(−x) ?

A. Parce que sur [0 ; 1], x² ≥ 1 et donc e^(−x²) ≥ e^(−x)

B. Parce que sur [0 ; 1], on a x² ≤ x et que l’exponentielle est croissante et positive

C. Parce que sur [0 ; 1], on a x ≤ x² et que l’exponentielle décroît

D. Parce que sur [0 ; 1], e^(−x²) est constante et égale à e^(−x)

Answer: (B)

Spiegazione

Sur [0 ; 1], on a x² ≤ x, et l’exponentielle est croissante et positive : on obtient bien e^(−x²) ≤ e^(−x). Les autres propositions inversent les inégalités ou n’utilisent pas la croissance de l’exponentielle.

24. À partir de l’encadrement de e^(−x²) sur [0 ; 1], quel intervalle obtient-on pour ∫₀¹ e^(−x²) dx ?

A. −(e − 1) ≤ ∫₀¹ e^(−x²) dx ≤ 0

B. 0 ≤ ∫₀¹ e^(−x²) dx ≤ 1

C. 0 ≤ ∫₀¹ e^(−x²) dx ≤ e − 1

D. 1 ≤ ∫₀¹ e^(−x²) dx ≤ e

Answer: (C)

Spiegazione

En encadrant l’intégrande puis en intégrant l’inégalité grâce à la positivité et à la comparaison, on obtient 0 ≤ ∫₀¹ e^(−x²) dx ≤ e − 1. Les autres bornes proviennent d’un encadrement différent ou d’un signe inversé.